imported>Mathze: Rechtschreibung

2026-04-30T09:54:00Z

Rechtschreibung

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Der '''Sinus cardinalis''', auch '''si-Funktion''', '''Kardinalsinus''' oder '''Spaltfunktion''' ist eine [[analytische Funktion]]. Die Bezeichnung ''Kardinalsinus'' geht auf [[Philip M. Woodward]] aus dem Jahr 1953 zurück.<ref>{{Literatur |Autor=Charles A. Poynton |Titel=Digital video and HDTV |Verlag=Morgan Kaufmann Publishers |Datum=2003 |ISBN=1-55860-792-7 |Seiten=147}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Phillip M. Woodward |Titel=Probability and information theory, with applications to radar |Verlag=Pergamon Press |Ort=London |Datum=1953 |ISBN=0-89006-103-3 |Seiten=29}}</ref> Die [[Nomenklatur]] ist in der Literatur nicht einheitlich festgelegt, insbesondere in der englischsprachigen Literatur wird die Bezeichnung <math>\operatorname{sinc}</math> sowohl für die normierte als auch für die nicht normierte Variante verwendet. In der deutschsprachigen Literatur wird eine Unterscheidung zwischen den beiden Festlegungen getroffen und die nicht normierte Version als
[[Datei:Si sinc.svg|mini|hochkant=1.3| {{Farblegende|#f23e3e|si(''x''): Nichtnormierter Sinus cardinalis}}
{{Farblegende|#3e71e6|sinc(''x'') = si(π·''x''): Normierter Sinus cardinalis}}]]

: <math>\operatorname{si}(x) = \frac{\sin x}{x}</math>

definiert.<ref>{{Literatur |Autor=Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel |Titel=Signale und Systeme |Auflage=5. |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2011 |ISBN=978-3-486-59748-6}}</ref> In der [[Informationstheorie]] und der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]], den Anwendungsgebieten der <math>\operatorname{sinc}</math>-Funktion, findet hingegen meist die normierte Form mit der Bezeichnung <math>\operatorname{sinc}</math> Anwendung:

: <math>\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}</math>

Die im deutschen Sprachraum übliche Bezeichnung <math>\operatorname{si}</math> für den nicht normierten Kardinalsinus ist nicht mit dem [[Integralsinus]] <math>\operatorname{Si}</math>, der [[Stammfunktion]] der <math>\operatorname{si}</math>-Funktion, zu verwechseln.

== Eigenschaften ==
=== Allgemeines ===
An der [[Stetig behebbare Definitionslücke|hebbaren Singularität]] bei <math>x=0</math> werden die Funktionen durch den Grenzwert <math>\operatorname{si}(0)=1</math> bzw. <math>\operatorname{sinc}(0)=1</math> stetig fortgesetzt, der sich aus dem [[Einschnürungssatz]] ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben.

Softwarepakete wie [[Matlab]] verwenden meist die normierte <math>\operatorname{sinc}</math>-Funktion, welche sich auch als Produkt oder mit Hilfe der [[Gammafunktion]] <math>\Gamma(\cdot)</math> ausdrücken lässt als:

: <math>\frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right) = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}</math>

Die [[Taylorreihe]] der <math>\operatorname{si}</math>-Funktion lässt sich unmittelbar aus der <math>\sin</math>-Funktion herleiten zu:

: <math> \frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} \mp \cdots</math>

Die [[Besselsche Differentialgleichung#Sphärische Besselfunktionen|sphärische Bessel-Funktion]] erster Art <math>j_0</math> ist mit der <math>\operatorname{si}</math>-Funktion identisch:
: <math>j_0(x)=\frac{\sin x}{x}</math>

=== Nullstellen ===
: <math>\operatorname{si}(x) = \frac{\sin x}{x}=\operatorname{sinc}\left(\frac{x}{\pi}\right)= 0</math> gilt für <math> \ x \in \{n\pi \ \mid \ n \in \mathbb Z \setminus \{0\} \}</math>

=== Maxima und Minima ===
[[Datei:Si cos.svg|hochkant=1.5|mini|
Die Extrema von si(''x'') fallen mit ihren Schnittpunkten (kleine, weiße Punkte) mit dem [[Kosinus]] zusammen
{{Farblegende|#f13333|si(''x'') = sin(''x'')/''x''}}
{{Farblegende|#3369e4|cos(''x'')}}]]
Die Extrema von <math>\operatorname{si}</math> mit positiver <math>x</math>-Koordinate <math>x_n, n \geq 1</math>, liegen in guter Näherung bei
: <math> x_n \approx (n+\tfrac12)\pi - \frac1{(n+\frac12)\pi} </math>  ,
wobei für ungerade <math>n</math> ein Minimum angenommen wird und für gerade <math>n</math> ein Maximum.
Für das erste Extremum mit positiver <math>x</math>-Koordinate – das Minimum bei <math>x_1 \approx 4{,}49 </math> – ist der absolute Fehler des Näherungswertes bereits deutlich kleiner als 1/100.

Neben diesen Extrema und dem absoluten Maximum bei 0 besitzt die Kurve wegen ihrer Symmetrie zur <math>y</math>-Achse auch Extrema bei <math>-x_n</math>.
{| class="wikitable zebra" style="margin-left:2em; text-align:center;"
|+ Maxima und Minima von si(''x'') = sin(''x'')/''x''
|-
! ''x'' || min / max
|-
| 0 || max
|-
| ≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284 || min
|-
| ≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873 || max
|-
| ≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452 || min
|-
| ≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973 || max
|-
| ≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989 || min
|-
| ≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049 || max
|-
| ≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493 || min
|-
| ≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998 || max
|-
| ≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531 || min
|-
| ≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334 || max
|-
| ≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935 || min
|-
| ≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476 || max
|- style="border-top: 2px solid"
| ≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)<sup>−1</sup> || min
|-
| ≈ (2n+½)·π − ((2n+½)·π)<sup>−1</sup> || max
|}

=== Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ===
Die sinc-Funktion ist die Fouriertransformierte der [[Rechteckfunktion]]

: <math>\operatorname{rect} \left(\frac{t}{\tau} \right) =\chi_{[-\tau/2,\tau/2]}(t)
:= \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} </math>

denn es gilt

: <math>\mathcal F(\chi_{[-\tau/2,\tau/2]})(\omega)
= \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} \mathrm e^{-\mathrm{i} \omega t}\, \mathrm dt
= \frac1{\sqrt{2\pi}}\,\tau \,\operatorname{si} \left( \frac{\omega \tau}{2} \right)</math>  .

Aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass die sinc-Funktion analytisch und damit beliebig oft stetig differenzierbar ist. Aus der [[Parsevalsche Gleichung|Plancherel-Identität]] der Fourier-Transformation folgt weiter, dass sie orthogonal zu Verschiebungen ihrer selbst um ganzzahlige Vielfache von <math>\pi</math> ist, es gilt

: <math>\langle \operatorname{si}(x-k\pi), \, \operatorname{si}(x-l \pi)\rangle
=\frac\pi2 \int_{-1}^1\mathrm e^{-\mathrm{i}(l-k)\pi t} \, \mathrm dt=\pi\operatorname{si}((l-k)\pi)
=\pi\delta_{l,k}
</math>  ,

wobei <math>\delta_{l,k}</math> das [[Kronecker-Delta]] bezeichnet.

Mit einer passenden Normierung bilden diese Verschiebungen der sinc-Funktion also ein [[Orthonormalsystem]] im [[Lp-Raum|Funktionenraum]] <math>L^2(\R)</math> . Die Projektion auf den von den <math>\operatorname{sinc}(x-k\pi)</math> aufgespannten Unterraum ergibt sich als

: <math>P(f)(x)=\frac1\pi\sum_{k=-\infty}^\infty \langle f(t),\,\operatorname{si}(t-k\pi)\rangle\;\operatorname{si}(x-k\pi)</math>  .

Aufgrund der Interpolationseigenschaft gilt <math>P(f)(n\pi)=\frac1\pi\langle f(t),\,\operatorname{si}(t-n\pi)\rangle\;</math> , also

: <math>P(f)(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty P(f)(k\pi)\;\operatorname{si}(x-k\pi)</math>  .

Funktionen aus diesem Unterraum sind also durch ihre Werte an den Stellen <math>\{k\pi:k\in\Z\}</math> eindeutig bestimmt.

Die Rechteckfunktion als Fouriertransformierte der <math>\operatorname{sinc}</math>-Funktion hat beschränkten Träger, ist daher samt den Linearkombinationen ihrer Verschiebungen bandbeschränkt. Umgekehrt ist jede bandbeschränkte als eine solche Linearkombination darstellbar, und daher durch die Funktionswerte an den genannten Stützstellen eindeutig bestimmt. Das ist die Aussage des [[Abtasttheorem|WKS-Abtasttheorems]].

=== Ableitungen ===
Die <math>n</math>-te [[Differentialrechnung|Ableitung]] von

: <math>\operatorname{si}(x) = \frac{\sin x}{x}</math>

lässt sich für alle <math>x \neq 0</math> analytisch bestimmen zu:

: <math>\frac{\mathrm{d}^n\! \operatorname{si}(x)}{\mathrm{d} x^n} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m!} (-1)^{n-m} \frac{\mathrm{d}^m \,\sin\,x}{\mathrm{d}\,x^m} \frac{1}{x^{n-m+1}} = \frac{1}{x} \left( \frac{\mathrm{d}^n \,\sin\,x}{\mathrm{d}\,x^n} - n \frac{\mathrm{d}^{n-1} \operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}\,x^{n-1}} \right) </math>

Die daraus gebildeten ersten zwei Ableitungen lauten:

: <math>\frac{\mathrm{d}\operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\cos\,x}{x} - \frac{\sin\,x}{x^2}</math>

: <math>\frac{\mathrm{d}^2\operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{\sin\,x}{x} - \frac{2\,\cos\,x}{x^2} + \frac{2\,\sin\,x}{x^3}</math>

Für beliebige <math>n</math> erhält man für <math>x \neq 0</math> die Formel:

:<math>\frac{\mathrm{d}^n\operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}x^n} = n!\left(\frac{-1}{x}\right)^n \left( \operatorname{si}(x) \sum_{m=0}^{\bigl \lfloor \frac{n}{2} \bigr \rfloor} \frac{\left(-x^2 \right)^{m}}{(2m)!} - \cos\,x \sum_{m=0}^{\bigl \lfloor \frac{n-1}{2} \bigr \rfloor} \frac{\left(-x^2 \right)^{m}}{(2m+1)!} \right) </math>

welche bei <math>x = 0</math> den Wert <math>\left.\frac{\mathrm{d}^n\operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}x^n} \right|_{x=0} = \frac{\cos\,\frac{n \pi}{2}}{n+1}</math> hat.
=== Fläche ===
{{Hauptartikel|Integralsinus}}

Die gesamte Fläche unter dem Integral beträgt

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{si}(x)\ \mathrm dx = \pi</math>

und entsprechend

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}(x)\ \mathrm dx = 1</math>.

== Beziehung zur Delta-Distribution ==
Mit der normierten sinc-Funktion lässt sich die [[Delta-Distribution]] durch den schwachen Grenzwert definieren:

: <math>\lim_{a \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x} = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).</math>

Der auftretende Grenzwert ist kein gewöhnlicher Grenzwert, da die linke Seite der Gleichung nicht konvergiert. Genauer definiert der Grenzwert eine Distribution

: <math>\lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,\mathrm dx = \varphi(0)</math>

für jede [[Schwartz-Funktion]]. In der obigen Gleichung geht die Zahl der Oszillationen pro Längeneinheit der Sinc-Funktion zwar für <math>a\rightarrow 0</math> gegen Unendlich, trotzdem oszilliert die Funktion für jedes <math>a</math> im Intervall <math>\pm\frac{1}{\pi x}</math>.

Diese Definition zeigt, dass man von der Delta-Distribution nicht wie von einer gewöhnlichen Funktion denken sollte, die ausschließlich für <math>x=0</math> einen beliebig großen Wert annehmen. Ein ähnliches Problem zeigt auch das [[Gibbs’sches Phänomen|Gibbs-Phänomen]].

== Anwendung ==
=== Signalverarbeitung ===
Die <math>\operatorname{sinc}</math>-Funktion hat insbesondere in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] eine große Bedeutung. Sie tritt in der sogenannten Samplingreihe (oder Kardinalreihe, [[Edmund Taylor Whittaker|E. T. Whittaker]] 1915) auf, mit Hilfe derer ein kontinuierliches bandbeschränktes Signal <math>x</math> aus seinen Abtastwerten <math>x(k \Delta t) </math> rekonstruiert bzw. eine beliebige Stützstellenfolge zu einem kontinuierlichen Signal fortgesetzt wird:

: <math>x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{ x(k \Delta t) \cdot \operatorname{sinc} \left( \frac{1}{\Delta t} (t-k \Delta t) \right)}</math>

Diese ist die [[Interpolation (Mathematik)|Interpolationsformel]] geringster Schwankung, d. h., das Frequenzspektrum ist beschränkt und hat die kleinstmögliche höchste (Kreis-)Frequenz <math>\tfrac{\pi}{\Delta t}</math> bzw. Frequenz <math>\tfrac1{2\Delta t}</math>. Ist die Voraussetzung der Bandbeschränktheit für das Signal <math>x</math> nicht mehr gegeben, hat also das Ausgangssignal Anteile höherer Frequenzen, so ist die Folge dieser Abtastwerte zu grobmaschig, die hochfrequenten Anteile werden in zusätzliche niederfrequente Anteile umgesetzt, d. h., es tritt [[Alias-Effekt|Aliasing]] (Fehlzuordnung der Frequenzanteile) auf.

=== Beugung am Spalt ===
Bei der [[Schlitzblende|Beugung]] von Wellen an einem Spalt bilden die Amplituden ein Beugungsmuster, das sich durch [[Fouriertransformation]] einer rechteckigen Öffnungsfunktion erklären lässt. Deshalb wird der Kardinalsinus auch als '''Spaltfunktion''' bezeichnet. Die bei der Beugung von Licht vom Auge wahrgenommene Helligkeitsverteilung ist allerdings das Quadrat der Wellenamplitude; sie folgt daher der quadrierten Funktion <math> \operatorname{sinc}^2</math>.

=== Primzahlverteilung und Kernphysik ===
Der Funktionsterm <math>\textstyle \left(\tfrac{\sin\pi x}{\pi x}\right)^{\!2}</math>
beschreibt in der Physik die Paar-Korrelations-Verteilung der Energien der [[Eigenzustand|Eigenzustände]] von schweren Atomkernen. In der Mathematik beschreibt er die mit der Verteilung von [[Primzahl]]en assoziierte Paar-Korrelation der Nullstellen für die [[Riemannsche Zetafunktion]]. Die Gemeinsamkeit liegt in der beiden zugrundeliegenden Theorie der [[Zufallsmatrix|Zufallsmatrizen]], worauf zuerst der Physiker [[Freeman Dyson]] 1972 im Gespräch mit dem Mathematiker [[Hugh Montgomery (Mathematiker)|Hugh Montgomery]] hinwies.

=== Kreissektor ===
[[Datei:Sinc-Zusammenhang-am-Kreis.svg|mini|Abbildung 1: Skizze zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen dem Kardinalsinus und einem rechtwinkligen Dreieck in einem Kreissektor]]
Gegeben sei ein spitzwinkliger [[Kreissektor]], in welchem eine Gerade durch einen der beiden äußeren Eckpunkte so eingezeichnet wird, dass ein [[rechtwinkliges Dreieck]] entsteht, siehe Abbildung 1. Hier ist die Gegenkathete, <math>h</math>, gleich dem Produkt aus der Länge des zugehörigen Kreisbogens, <math>b</math>, und dem Kardinalsinus des eingeschlossenen Mittelpunktswinkels, <math>\alpha</math>. Der Radius des Kreises, <math>R</math>, spielt in dieser Gleichung keine Rolle.

== Abgrenzung ==
Die [[Tanc-Funktion]] weist eine strukturell hohe Ähnlichkeit zu der Spaltfunktion auf, zählt aber nicht zu den Kardinalfunktionen.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Sinc function|Sinc-Funktion}}
* {{MathWorld |id=SincFunction |title=Sinc Funktion}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Nachrichtentechnik]]

Sinc-Funktion - Versionsgeschichte

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