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2024-11-27T00:10:45Z

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[[Datei:Simson neu1.svg|mini|hochkant=1.3|<div align="center"> Simson-Gerade </div>]]
Die '''simsonsche Gerade''' ist ein Gegenstand der [[Dreiecksgeometrie]]. Liegen die [[Fußpunkt]]e der von einem Punkt <math> P </math> aus gefällten [[Lot (Mathematik)|Lote]] auf die (eventuell verlängerten) Seiten eines [[Dreieck]]s <math> \triangle ABC </math> auf einer gemeinsamen Geraden, so wird diese Gerade als '''simsonsche Gerade''' oder '''wallacesche Gerade''' und der Punkt <math> P </math> als ihr ''Pol'' bezeichnet. Dies ist genau dann der Fall, wenn <math> P </math> auf dem [[Umkreis]] von <math> \triangle ABC </math> liegt.

Die Simson-Gerade ist irrtümlicherweise nach dem Mathematiker [[Robert Simson]] (1687–1768) benannt, in dessen Werk sich jedoch keine Arbeit zur Simson-Geraden finden lässt. In Wirklichkeit wurde sie 1797 von [[William Wallace (Mathematiker)|William Wallace]] (1768–1843) entdeckt.<ref name="coxeter">H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: ''Simson Lines''. § 2.5 in Geometry Revisited. In: ''Math. Assoc. Amer.,'' Washington DC 1967, S. 41.</ref>

== Weitere Eigenschaften ==
=== Parallelen zur Simson-Gerade ===
{| class="wikitable"
|-
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[[Datei:Simson neu2.svg|mini|hochkant=1.3|Simson-Gerade ist parallel zu AG<sub>BC</sub>, BG<sub>AC</sub> und CG<sub>AB</sub>]]
Jede Simson-Gerade eines Dreieckes besitzt drei besondere Parallelen, die jeweils durch einen der drei Eckpunkte des Dreiecks verlaufen. Genauer gesagt gilt der folgende Satz:

: Gegeben sind ein Dreieck <math> \triangle ABC </math>, ein Punkt <math> P </math> auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist G<sub>AB</sub> nun der Schnittpunkt des Lotes von <math> P </math> auf <math> AB </math> mit dem Umkreis, dann ist die Gerade CG<sub>AB</sub> parallel zur Simson-Geraden.<ref name="coxeter" />

|}

=== Schnittwinkel zwischen Simson-Geraden ===
{| class="wikitable"
|-
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[[Datei:Simson neu3.svg|mini|hochkant=1.3|<div align="center"> <math> 2\alpha=\beta </math></div>]]
Betrachtet man bei einem Dreieck zwei unterschiedliche Punkte auf dessen Umkreis, so erhält man zwei verschiedene Simson-Geraden. Der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] dieser beiden Simson-Geraden ist genau halb so groß wie der Winkel, den die beiden Punkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises bilden.

: Es seien <math> P_1 </math> und <math> P_2 </math> zwei Punkte auf dem Umkreis von <math> \triangle ABC </math> mit Mittelpunkt <math> O </math>. Weiterhin sei <math>\alpha </math> der Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden und <math> \beta=\angle P_1OP_2 </math>. Dann gilt <math>2\alpha=\beta</math>.<ref name="coxeter" />
|}

=== Simson-Gerade als Streckenhalbierende ===
{| class="wikitable"
|-
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[[Datei:Simson neu4.svg|mini|hochkant=1.3|<div align="center"><math>|HD|=|DP| </math></div>]]
Verbindet man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks, so wird diese Verbindungsstrecke von der zugehörigen Simson-Geraden halbiert.

: Gegeben sind ein Dreieck <math> \triangle ABC </math>, ein Punkt <math> P </math> auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist H der Höhenschnittpunkt von <math> \triangle ABC </math>, dann schneidet die Simson-Gerade die Strecke <math> \overline{HP} </math> in <math> G </math> und es gilt <math>|HG|=|GP| </math>. Außerdem liegt <math> G </math> auf dem [[Feuerbachkreis]].<ref name="coxeter" /><ref name="mathworld">{{MathWorld|id=SimsonLine|title=Simson-Gerade (engl.)}}</ref>
|}

=== Geradenschar ===
{| class="wikitable"
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[[Datei:Simson-deltoid-anim.gif|mini|429px|<div align="center">Simson-Geraden als Tangenten einer Deltoide</div>]]
Lässt man den Simson-Pol <math> P </math> auf dem Kreis wandern, dann besitzt die so entstehende Geradenschar von Simson-Geraden eine [[Deltoide]], auch als Steiner-[[Hypozykloide]] bezeichnet, als [[Einhüllende|Hüllkurve]].<ref name="coxeter" /><ref name="mathworld" />
|}

=== Sonstiges ===
Besitzen zwei Dreiecke denselben Umkreis und ihre zugehörigen Simson-Geraden denselben Pol, so ist der Schnittwinkel der beiden Simson-Geraden unabhängig von der Wahl des Pols. Mit anderen Worten: Für alle Punkte <math>P</math> auf dem gemeinsamen Umkreis der beiden Dreiecke ergibt sich ein gleich großer Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden.

Die Simson-Gerade beziehungsweise eine auf ihr liegende Strecke lässt sich auch als entartetes [[Fußpunktdreieck]] auffassen. Verbindet man die Fußpunkte eines Punktes in der Ebene, so erhält im Normalfall ein Dreieck. Nähert sich der Punkt in der Ebene dem Umkreis des Ausgangsdreiecks an, dann geht das Fußpunktdreieck in eine Strecke auf der Simson-Gerade über.

== Beweis ==
[[Datei:Simson neu proof.svg|mini|hochkant=1.4|Skizze zum Beweis der Kollinearität der Fußpunkte]]
Bewiesen wird: Liegt <math> P </math> auf dem Umkreis von <math> \triangle ABC </math>, so liegen die Fußpunkte auf einer gemeinsamen Geraden.
Dazu zeigt man, dass <math>\angle EFP + \angle PFD = 180^\circ</math> gilt.

Die Fußpunkte <math>E</math> und <math>F</math> liegen auf dem [[Satz des Thales|Thaleskreis]] über <math>[PA]</math>. Da [[Kreiswinkel|Umfangswinkel (Peripheriewinkel)]] über demselben Kreisbogen gleich groß sind, folgt
: <math>\begin{align}
\angle EFP &=90^\circ+\angle EFA = 90^\circ+\angle EPA \\
&=90^\circ+(90^\circ - \angle PAC) =180^\circ - \angle PAC
\end{align}
</math>.
Andererseits ist <math>PBCA</math> voraussetzungsgemäß ein [[Sehnenviereck]]. Die gegenüberliegenden Winkel <math>\angle PAC</math> und <math>\angle CBP</math> dieses Vierecks ergänzen sich daher zu <math>180^\circ</math>. Insgesamt ergibt sich also
: <math>\angle EFP = \angle CBP</math>.

Die Punkte <math>D</math> und <math>F</math> liegen auf dem Thaleskreis über <math>[PB]</math>, sodass auch <math>PBDF</math> ein Sehnenviereck ist. Ähnlich wie vorher schließt man <math>\angle PFD = \angle DBP </math>. Wegen <math>\angle DBP + \angle CBP = 180^\circ</math> erhält man daraus
: <math>\begin{align}
\angle PFD &= 90^\circ-\angle DFB= 90^\circ-(90^\circ-\angle PBD) \\
&= \angle PBD =180^\circ - \angle CBP
\end{align}
</math>.

Damit ist mit
: <math>\angle EFP + \angle PFD = \angle CBP + (180^\circ - \angle CBP) = 180^\circ</math>
die Behauptung bewiesen.

Bemerkung: Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Höhenfußpunkte. Liegen diese anders, muss die Begründung entsprechend variiert werden.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie''. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 170–172.
* [[H. S. M. Coxeter]], S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie''. Klett, Stuttgart 1983.
* Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 137 ff., 206 ff., 243, 251 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel ''Modern Geometry'').
* [[Ross Honsberger]]: ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry''. MAA, 1995, S. 43–48, 82–83, 121, 128–136.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Simson line|Simson-Gerade}}
* [https://www.geogebra.org/m/y9q44rty Simson-Gerade] auf geogebra.org (interaktive Illustration)
* {{MathWorld |id=SimsonLine |title=Simson-Gerade (engl.)}}
* [http://matheplanet.com/default3.html?article=1082 Simson-Gerade] auf [[Matroids Matheplanet]]
* [http://www.matheraetsel.de/texte/simpson-gerade-main.pdf Simson-Gerade] (PDF; 48 kB) matheraetsel.de
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml Simson-Gerade] (englisch) cut-the-knot.org

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)]]

Simsonsche Gerade - Versionsgeschichte

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