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Die '''Simpsonregel''' oder '''simpsonsche Formel''' (nach [[Thomas Simpson (Mathematiker)|Thomas Simpson]]) ist ein Verfahren der [[numerische Integration|numerischen Integration]], bei dem eine Näherung zum [[Integralrechnung|Integral]] einer in einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] schwer zu integrierenden [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] berechnet wird, indem man die Funktion durch eine exakt integrierbare [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] annähert.

== Regel ==
[[Bild:Simpsons method illustration.svg|mini|Simpsonsche Formel]]
Für eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon [a,b] \to \R</math> im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> wird eine [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] <math>P</math> als [[Interpolationspolynom]] durch die Funktionswerte an den Stellen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>m=\tfrac{a+b}2</math> gelegt. Das [[Integralrechnung|Integral]] von <math>f</math> nähert man dann durch das Integral der Parabel an. Die Simpsonregel für das Integral
:<math>J = \int_a^b f(x) \, \mathrm dx</math>
lautet dann
:<math>S(f) = \frac{b-a}{6} \cdot \left( f(a)+4f(m)+f(b) \right)</math>.
Der Wert <math>S(f)</math> ist dann eine Näherung von <math>J</math>. Somit ist die Simpsonregel eine [[Newton-Cotes-Formeln#Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln|abgeschlossene Newton-Cotes-Formel]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Josef Stoer]] |Titel=Einführung in die Numerische Mathematik I |TitelErg=Unter Berücksichtigung von Vorlesungen von [[F. L. Bauer]] |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=105 |Auflage=9. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York / Tokyo |Datum=2005 |ISBN=3-540-21395-3 |Seiten=157}}</ref>

== Fehlerabschätzung ==
Das '''Restglied''' (alternativ der '''Quadraturfehler''') <math>E(f)</math> beschreibt die Differenz des tatsächlichen [[Integralrechnung|Integrals]] und der Näherung durch die Simpsonregel:

:<math>J(f) = \int_a^b f(x)\, \mathrm dx = S(f) + E(f).</math>

Ist <math>f(x)</math> viermal [[stetig differenzierbar]] in <math>[a,b]</math>, dann gilt für das Restglied <math>E(f)</math> die Abschätzung

:<math>\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)^5}{2880} \max_{a \le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}.</math>

Ist <math>f(x)</math> zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer geeigneten Zwischenstelle <math>\zeta</math> aus <math>[a,b]</math> für das Restglied

:<math>E(f) = - \frac{(b-a)^5}{2880}{f^{(4)}(\zeta)}.</math>

Diese Restglieddarstellung wurde 1887 von [[Giuseppe Peano]] gefunden. Sie besagt insbesondere, dass die Simpsonregel [[Polynom|Polynome]] vom Grad drei exakt integriert, also einen Grad höher, als man nach Konstruktion erwarten würde. Diese Eigenschaft haben alle abgeschlossenen und offenen [[Newton-Cotes-Formeln]] von geradem Grad.<ref>{{Literatur |Autor=[[Josef Stoer]] |Titel=Einführung in die Numerische Mathematik I |TitelErg=Unter Berücksichtigung von Vorlesungen von [[F. L. Bauer]] |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=105 |Auflage=9. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York / Tokyo |Datum=2005 |ISBN=3-540-21395-3 |Seiten=161ff}}</ref>

== Veranschaulichung durch Rechteckflächen ==
[[Datei:Simpson quadratur rechtecke.svg|mini|hochkant=1.25|Simpsonsche Formel Veranschaulichung]]
Das [[Integralrechnung|Integral]] der Näherungs-Parabel ist gleich der schraffierten Fläche von sechs Rechtecken, deren Breite jeweils <math>\tfrac{1}{6}</math> des [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] <math>[a,b]</math> ist. Ein Rechteck hat dabei die Höhe <math>f(a)</math>, ein Rechteck die Höhe <math>f(b)</math> und vier Rechtecke die Höhe <math>f(m)</math>.

Hier sieht man auch den Zusammenhang mit der [[Trapezregel#Sehnentrapezformel|Sehnentrapezformel]]

:<math>T(f) = \frac{b-a}2\ \bigl( f(a) + f(b) \bigr) </math>

und der [[Trapezregel#Tangententrapezformel_oder_Mittelpunktsregel|Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel]]

:<math>M(f) = (b - a) \ f\left(\frac{a + b}{2} \right)</math>.

Während die zwei äußeren Rechtecke der mit <math>\tfrac{1}{3}</math> skalierten Sehnentrapezformel entsprechen, entsprechen die übrigen Rechtecke der mit <math>\tfrac{2}{3}</math> skalierten Tangententrapezformel. Es ergibt sich die Ausgangsformel der simpsonschen Formel:

:<math> S(f) = \frac 13 \ T(f) + \frac 23 \ M(f) </math>

aus der sich nach Einsetzen und Umformen die bereits bekannte simpsonsche Formel ergibt:

:<math>S(f) = \frac{b - a}{6} \left(f(a) + 4f\left(\frac{a + b}{2}\right)+f(b) \right)</math>.

== Beispiel ==
Wir betrachten im Folgenden das Beispiel
: <math> J(f) = \int_{0}^{2}3^{3x-1} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{3^{3x-2}}{\ln(3)} \right]_{0}^{2} = \frac{3^{3 \cdot 2 - 2}}{\ln(3)} - \frac{3^{3 \cdot 0 - 2}}{\ln(3)} = \frac{728}{9 \ln(3)} = 73{,}628239 \dots</math>
'''Bemerkung''': Diese Funktion dient der Veranschaulichung und ist auf einfache Weise [[Elementare Funktion|elementar]] [[Integrierbare Funktion|integrierbar]]. In der Praxis werden die simpsonsche Formel und effizientere Verfahren zur [[numerische Integration|numerischen Integration]] üblicherweise auf Funktionen angewendet, die nicht oder nicht effektiv elementar integrierbar sind.

Gute Ergebnisse erzielt man, indem das [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] in mehrere Teilintervalle zerlegt und die Simpsonregel in jedem dieser Teilintervalle anwendet. Diese Summationsvarianten werden nachfolgend vorgestellt und jeweils auf dieses Beispiel angewendet.

== Summierte simpsonsche Formel ==
Um das [[Integralrechnung|Integral]] noch besser annähern zu können, unterteilt man das [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> in nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle. In jedem Teilintervall wendet man die simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die ''summierte'' oder ''zusammengesetzte'' Simpsonregel. Es gibt unterschiedliche Notationen für die Unterteilung in Teilintervalle, die zu verschiedenen Formulierungen der summierten simpsonschen Formel führen.

=== Variante 1 ===
[[Datei:Simpson regel zusammengesetzt.svg|right|mini|hochkant=1.25|Summierte simpsonsche Formel für <math>N=2</math>]]
Hier unterteilt man das Intervall <math>[a,b]</math> in <math>N</math> nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle <math>[x_i,x_{i+1}]</math> der Länge <math>h</math>. In jedem Teilintervall wendet man die simpsonsche Formel
:<math>\frac{h}{6} \cdot (f(x_i) + 4 \cdot f \left( \frac{x_{i}+x_{i+1}}2 \right) + f(x_{i+1}))</math>
an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Mit
:<math>h = \frac{b-a}{N}</math>
und
:<math>x_i = a+i\cdot h</math>
erhält man:
:<math>S^{(N)}(f) = \frac h6 \cdot \left( f(x_0) + 4 \cdot f \left( \frac{x_0+x_1}2 \right) + 2 \cdot f(x_1) + 4 \cdot f \left( \frac{x_1+x_2}2 \right) + \dotsb + 2 \cdot f(x_{N-1}) + 4 \cdot f \left( \frac{x_{N-1}+x_N}2 \right) + f(x_{N})\right)</math>
bzw.
:<math>S^{(N)}(f)=\frac h6 \cdot \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{N-1}f(x_i) + 4 \sum_{i=1}^{N}f \left(\frac{x_{i-1}+x_i}2\right) + f(x_N) \right)</math>.

==== Beispiel ====
Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei <math>N = 3</math> und somit die Schrittweite <math>h = \tfrac 23</math>. Dann ist
:<math>\begin{align}
S^{(3)}(f) &= \frac 2{18}\left( f(0) + 2\left(f\left(\frac 23\right) + f\left(\frac 43\right)\right)
+4\left(f\left(\frac{1}{3}\right) + f\left(\frac{3}{3}\right) + f\left(\frac{5}{3}\right) \right) + f(2) \right)\\
&=\frac{2002}{27} = 74{,}\overline{148}\\
\end{align}</math>.

Sei <math>N = 6</math> und somit die Schrittweite <math>h = \tfrac 26 = \tfrac 13</math>. Dann ist
:<math>\begin{align}
S^{(6)}(f) &= \frac 1{18}\left( f(0) + 2\left(f\left(\frac 13\right) + f\left(\frac 23\right) + f(1) + f\left(\frac 43\right) + f\left(\frac 53\right)\right) + f(2)\right) \\
&+\frac 1{18}\left(4\left(f\left(\frac{1}{6}\right) + f\left(\frac{3}{6}\right) + f\left(\frac{5}{6}\right) + f\left(\frac{7}{6}\right) + f\left(\frac{9}{6}\right) + f\left(\frac{11}{6}\right) \right)\right) \\
&= \frac{728 \cdot (\sqrt 3 + 1)}{27} = 73{,}664184 \dots
\end{align}</math>

Diese Simpson-Näherung ist gleichwertig zu

:<math>\frac 13 \left(T^{(6)}(f)+2M^{(6)}(f)\right) = \frac{4 \cdot T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)}{3} = \frac{728 \cdot (\sqrt 3 + 1)}{27} = 73{,}664184 \dots,</math>

wobei <math>T^{(6)}(f)</math> bzw. <math>T^{(12)}(f)</math> den Wert der [[Trapezregel#Sehnentrapezformel|Sehnentrapezformel]] und <math>M^{(6)}(f)</math> den Wert der [[Trapezregel#Tangententrapezformel_oder_Mittelpunktsregel|Tangententrapezformel]] bezeichnet.

==== Fehlerabschätzung ====
Die Fehlerabschätzung für das Restglied <math>E(f) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm dx - Q(f)</math> lautet:

:<math>\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)}{2880}h^4 \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|},</math>

beziehungsweise für reellwertige Funktionen mit einer geeigneten Zwischenstelle <math>\zeta</math> aus dem Intervall <math>[a,b]</math>

:<math>E(f) = -\frac{(b-a)}{2880}h^4f^{(4)}(\zeta).</math>
Der Faktor <math> h^4 </math> in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), wie es beim [[Romberg-Verfahren]] mit der Romberg-Folge der Fall ist, der Fehler in etwa um den Faktor 16 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

==== Beispiel ====
Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit <math>f^{(4)}(x)=3^{3x+3} \cdot \ln(3)^4</math> folgt
:<math>\max_{0\le x\le 2} \left|f^{(4)}(x)\right|=3^{3\cdot2+3} \cdot \ln(3)^4=3^9\cdot(\ln(3))^4</math>
und somit die Fehlerabschätzung
:<math>\left| E^{(3)}(f)\right|\le\frac{2}{2880} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4}\cdot3^9\cdot(\ln(3))^4=\frac{27\cdot(\ln(3))^4}{10}= 3{,}933\dotso</math>,
die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert
:<math> E^{(3)}(f)=-0{,}5199\dotso.</math>
Analog erhält man die Fehlerabschätzung
:<math>\left| E^{(6)}(f)\right|\le\frac{2}{2880} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4}\cdot3^9\cdot(\ln(3))^4=\frac{27\cdot(\ln(3))^4}{160}= 0{,}2458\dotso</math>,
die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert
:<math>E^{(6)}(f)=-0{,}0359\dotso</math>.
Es gilt
:<math>\left| E^{(6)}(f)\right|=0{,}0359\dotso \approx \frac{\left| E^{(3)}(f)\right|}{16}=\frac{0{,}5199\dotso}{16}=0{,}03249\dotso</math>.

==== Fehlerschätzung ====
Rechnet man die Simpsonregel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von Intervallen <math>N \ne M </math>, so erhält man folgende Fehlerschätzung:

:<math> E^{(N)}(f)\approx \frac{M^4}{M^4-N^4}\left(S^{(M)}(f)-S^{(N)}(f)\right).</math>

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle <math> M=2N </math> (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:
:<math> E^{(N)}(f)\approx \frac {16}{15} \left(S^{(2N)}(f)-S^{(N)}(f)\right).</math>

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man
:<math> E^{(3)}(f)=-0{,}5199\dots \approx \frac {16}{15} \left(S^{(6)}(f)-S^{(3)}(f)\right) = -0{,}5162\dots</math>

=== Variante 2 ===
[[Datei:Simpson regel zusammengesetzt2.svg|right|mini|hochkant=1.25|Summierte simpsonsche Formel für N=4]]
Hier unterteilt man das Intervall <math>[a,b]</math> in <math>n = \tfrac{N}{2}</math> nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle <math>[x_i,x_{i+2}]</math> mit Mittelpunkt <math>x_{i+1}</math> und Länge <math>2h</math> mit <math>h = \tfrac{b-a}{N}</math>. Da <math>N</math> jetzt gegenüber Variante 1 doppelt so groß ist, ist <math>h</math> gegenüber Variante 1 nur halb so groß. Somit muss in allen Formeln von Variante 1 das <math>h</math> durch <math>2h</math> ersetzt werden.

Für jedes gerade <math>i</math> wendet man auf das Intervall <math>[x_i,x_{i+2}]</math> die simpsonsche Formel
:<math>\frac{2h}{6} \cdot (f(x_i) + 4 \cdot f(x_{i+1}) + f(x_{i+2}))=\frac{h}{3} \cdot (f(x_i) + 4 \cdot f(x_{i+1}) + f(x_{i+2}))</math>
an und addiert danach die entstandenen Näherungen.

Für gerades <math>N</math> gilt nun <math>n = \tfrac{N}{2}</math>, <math>h = \tfrac{b-a}{N}</math> und <math>x_k=a+k\cdot h</math> und man erhält:

:<math>S^{(n)}(f)=\frac{h}{3}\left( f(x_0)+4\cdot f(x_1)+2\cdot f(x_2)+4\cdot f(x_3)+2\cdot f(x_4)+\dotsb +4\cdot f(x_{N-1})+f(x_N)\right).</math>
bzw.

:<math>S^{(n)}(f)= \frac{h}{3}\left( f(x_0)+ 2 \sum_{k=1}^{n-1}f(x_{2k})+ f(x_{2n}) + 4\sum_{k=1}^{n}f(x_{2k-1}) \right)</math>

==== Beispiel ====
Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei <math>N = 6</math>, <math>n = \tfrac{N}{2} = 3</math> und die Schrittweite <math>h = \tfrac 26 = \tfrac 13</math>. Dann ist
:<math>\begin{align}
S^{(3)}(f) &= \frac 19\left( f(0) + 2\left(f\left(\frac 23\right) + f\left(\frac 43\right)\right) + f(2)
+4\left(f\left(\frac{1}{3}\right) + f\left(\frac{3}{3}\right) + f\left(\frac{5}{3}\right) \right)\right)\\
&=\frac{2002}{27} = 74{,}\overline{148}\\
\end{align}</math>.
Das ist das gleiche Resultat wie in Variante 1.

==== Fehlerabschätzung ====
Die Fehlerabschätzung für das Restglied <math>E^{(n)}(f) = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm dx - S^{(n)}(f)</math> lautet nun

:<math>\left| E^{(n)}(f) \right| \le \frac{(b-a)}{2880}(2h)^4 \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}=\frac{(b-a)}{180}h^4 \max_{a \le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|},</math>

beziehungsweise für reellwertige Funktionen mit einer geeigneten Zwischenstelle <math>\zeta</math> aus dem Intervall <math>[a,b]</math>

:<math>E^{(n)}(f) = -\frac{(b-a)}{180}h^4f^{(4)}(\zeta).</math>

== Zusammenhang mit anderen Formeln ==
Addiert man zum Näherungswert <math> S^{(N)}(f)</math> die Fehlerschätzung für <math> E^{(N)}(f)</math>, so erhält man die i. A. bessere Formel:

:<math> R^{(N)}(f) = S^{(N)}(f) + \frac{16}{15}\left(S^{(2N)}(f)-S^{(N)}(f)\right) = \frac{16 \cdot S^{(2N)}(f)-S^{(N)}(f)}{15}.</math>
Das ist die Formel für die 3. Spalte des Rechenschemas der [[Romberg-Integration]] bei Verwendung der Romberg-Folge und gleichzeitig das Resultat der Milne-Regel (Abgeschlossene [[Newton-Cotes-Formel]] mit Genauigkeitsgrad 5) bei Anwendung auf <math> N</math> Teilintervalle von <math> [a,b].</math>

Angewandt auf obiges Beispiel erhält man mit

:<math> R^{(3)}(f) = \frac{16 \cdot S^{(6)}(f)-S^{(3)}(f)}{15} = \frac{16 \cdot 73{,}664\dots-74{,}\overline{148}}{15}=73{,}63192\dots </math>

eine bessere Näherung für das exakte Integral <math> J(f) = \int_{0}^{2}3^{3x-1} \, \mathrm{d}x = 73{,}628239 \dots</math>

als mit <math> S^{(3)}(f) = 74{,}\overline{148}</math> oder <math> S^{(6)}(f)= 73{,}664\dots, </math>

bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie bei <math> S^{(6)}(f) </math>, nämlich 13 Stück.

== Geschichte ==
Die Formel wurde erstmals von [[Evangelista Torricelli]] benutzt, ist aber nach [[Thomas Simpson (Mathematiker)|Thomas Simpson]] benannt.

=== Keplersche Fassregel ===
Die Anwendung der Simpsonregel auf [[Rotationskörper]] entspricht der Keplerschen Fassregel, die [[Johannes Kepler]] bereits 1615 aufstellte. Über die Entstehungsgeschichte berichtet Kepler in der Widmung der späteren Veröffentlichung. Nachdem 1611 Keplers erste Frau in [[Prag]] gestorben war, heiratete er – nun in Linz arbeitend – 1613 wieder. Er kaufte für die Hochzeit einige Fässer Wein. Als der Wein eingekellert war, kam der Verkäufer mit einer Messrute und bestimmte den Inhalt für alle Fässer ohne Überlegung oder Rechnung nach der gleichen Methode. Die Messrute wurde mit ihrer metallenen Spitze durch das Spundloch quer bis zu den Rändern der beiden Böden eingeführt und die Marke am Spundloch ergab den Rauminhalt. Kepler wunderte sich, dass eine Diagonale durch die Fasshälfte ein Maß für den Rauminhalt abgeben sollte, und bezweifelte die Richtigkeit dieser Methode, da ein sehr niedriges Fass mit etwas breiteren Böden und daher sehr viel kleinerem Rauminhalt die gleiche Visierlänge besitzen könnte.

Kepler verfasste daraufhin die Schrift ''Nova Stereometria doliorum vinariorum'' 1615 (Neue Inhaltsberechnung von Weinfässern), in der er nach überprüfbaren Methoden zur Inhaltsberechnung von Weinfässern suchte. Eine dieser Methoden bestand darin, die Krümmung des Fasses durch eine [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] anzunähern, da Inhaltsberechnungen mit Hilfe von Parabeln seit [[Archimedes]] exakt durchgeführt werden konnten.

Unter anderem beschrieb er darin eine Formel zur Berechnung der Kapazität (genauer des [[Volumen]]s) von [[Fass|Weinfässern]] mit unregelmäßigen Formen. Diese Formel liefert exakte Werte für den [[Kreiszylinder]] und [[Kegelstumpf]] (einschließlich [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]) und gute Näherungen für [[Kugel]], [[Rotationsellipsoid]], [[elliptisches Paraboloid]] und [[einschaliges Hyperboloid]], also Rotationskörper durch rotierende Kegelschnitte.

Der Name Fassregel lässt sich durch die folgende Anwendung begründen: Zur Berechnung des Volumens eines [[Weinfass]]es sei <math>q(x)</math> die Querschnittsfläche quer zur Längsachse in der Entfernung <math>x</math> vom Boden des Fasses. Sie lässt sich durch Bestimmung des Umfanges leicht ausrechnen. Ist <math>h</math> die Höhe des Fasses, so ist das [[Volumen]] gleich
: <math>V = \int_0^h q(x)\,\mathrm dx.</math>
Die Keplersche Fassregel gibt nun
: <math>V \approx \frac{h}{6} \cdot \left(q(0) + 4q \left( \frac{h}{2} \right) + q(h)\right)</math>
als [[Näherungswert]] für das Volumen eines Körpers, dessen Querschnitt an drei Stellen bekannt ist. Ist der Körper ein [[Rotationskörper]], so gilt bei Rotation der (Radius-)Funktion <math>r(x)</math> um die x-Achse:

:<math>\begin{align}
V &= \pi \cdot \int_0^h (r(x))^2 \mathrm{d}x\\
&\approx \pi \frac{h}{6} \cdot \left(\left(r(0)\right)^2 + 4\left(r \left( \frac{h}{2} \right)\right)^2 + (r(h))^2\right)
\end{align}</math>

Ist <math>u</math> der Umfang von Boden und Deckel und <math>U</math> der [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] in der Mitte des Fasses, so ergibt sich daraus der Näherungswert <math>N</math>
:<math>\begin{align}
V &\approx N \\
&=\pi \frac{h}{6}\cdot \left(2 \left( {\frac{u}{2\pi}} \right)^2 + 4 \left( {\frac{U}{2\pi}} \right)^2 \right)\\
&=\pi \frac{h}{6}\cdot \left(2 \left( \frac{u^2}{4\pi^2} \right) + 4 \left( \frac{U^2}{4\pi^2} \right) \right)\\
&= \frac{h}{6\pi}\cdot \left(\frac{1}{2} u^2 + U^2 \right)
\end{align}</math>
:Also (selbstverständlich Innenmaße):
:<math>V_\text{Fass} \approx \frac h{12\pi}\cdot \left(u^2 + 2U^2\right)</math>
oder
:<math>V_\text{Fass} \approx \frac{\pi h}{12} \cdot \left(d_\text{Rand}^2 + 2 d_\text{Mitte}^2 \right)</math>.

==== Parabolische Krümmung ====
[[Datei:Fassregel 1.svg|thumb|Fass mit parabolischer Krümmung]]
Hat das Fass eine parabolische Krümmung, so erhält man das Fass durch Rotation der Funktion des [[Radius]] <math>r(x) = ax^2 + bx + c</math> um die x-Achse. Legt man zur Vereinfachung das Achsenkreuz in die Mitte des Fasses, so gilt <math>r(x) = ax^2 +c \,.</math>

Mit <math>r_r = r\left(\tfrac{h}{2}\right)</math> und <math>r_0= r(0)</math> ergeben sich die Parameter
:<math>a= \frac{4}{h^2}(r_r-r_0)</math> und <math>c=r_0</math>
und damit
:<math>r(x) = \frac{4}{h^2}(r_r-r_0) \cdot x^2 + r_0 \,.</math>
Mit <math>r_r = \frac{u}{2 \pi}</math> und <math>r_0 = \frac{U}{2 \pi}</math> also

:<math>\begin{align}
r(x) &= \frac{4}{h^2} \left(\frac{u}{2 \pi} - \frac{U}{2\pi}\right) \cdot x^2 + \frac{U}{2\pi} \\
&= 2 \frac{u-U}{\pi h^2} x^2+ \frac{U}{2\pi}
\end{align}</math>

Für den Querschnitt <math>q(x) = \pi \cdot r(x)^2</math> ergibt das
:<math>q(x) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{4 (u-U)^2}{h^4} \cdot x^4 + \frac{ 2 U (u-U)}{h^2} \cdot x^2 + \frac{U^2}{4} \right)</math>
Damit gilt für das [[Volumen]] unter Beachtung der Symmetrie der [[Gerade Funktion|geraden Funktion]]:
:<math>\begin{align}
V &= \int_{-\frac{h}{2}}^\frac{h}{2} q(x) \,\mathrm dx \\
&= 2 \cdot \int_{0}^\frac{h}{2} q(x) \,\mathrm dx \\
&= \frac{2}{\pi} \cdot \int_{0}^\frac{h}{2} \left(\frac{4 (u-U)^2}{h^4} \cdot x^4 + \frac{ 2 U (u-U)}{h^2} \cdot x^2 + \frac{U^2}{4} \right) \,\mathrm dx \\
&= \frac{2}{\pi} \left[ 4 \frac{(u-U)^2}{h^4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{2U (u-U)}{h^2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{U^2}{4} \cdot x \right]_0^\frac{h}{2} \\
&= \frac{2}{\pi} \left( 4 \frac{(u-U)^2}{h^4} \cdot \frac{h^5}{2^5 \cdot 5} + \frac{2U (u-U)}{h^2} \cdot \frac{h^3}{2^3 \cdot 3} + \frac{U^2}{4} \cdot \frac{h}{2} \right) \\
&= \frac{1}{\pi}\left( 8 \frac{(u-U)^2}{2^5 \cdot 5} h + 4 \frac{U(u-U)}{2^3 \cdot 3} h + 2 \frac{U^2}{2 \cdot 4} h \right)\\
&= \frac{h}{\pi} \left( \frac{1}{20} (u-U)^2 + \frac{1}{6} U (u-U) + \frac{1}{4} U^2 \right)
\end{align}</math>
oder:
:<math>\begin{align}
V &= \frac{h}{\pi} \left( \frac{1}{20} (u^2 - 2uU + U^2) + \frac{1}{6} (Uu -U^2) + \frac{1}{4} U^2 \right) \\
&= \frac{h}{60 \pi} \left( 3 u^2 - 6 uU + 3 U^2 + 10 Uu - 10 U^2 + 15 U^2 \right) \\
&= \frac{h}{60 \pi} \left( 3 u^2 + 4 uU + 8 U^2 \right)
\end{align}</math>

Als Fehler erhält man:

:<math> E(f) = V - N = \frac{h}{60\pi}\cdot \left( 3u^2 + 4Uu + 8 U^2 \right) -\frac h{12\pi} \cdot \left( u^2 + 2U^2 \right) = - \frac{h}{30\pi} \cdot (u-U)^2.</math>

An diesem Beispiel kann man die Gültigkeit der oben angegebenen Formel

:<math>E(f) = - \frac{(b-a)^5}{2880}{f^{(4)}(\zeta)}</math>

gut verifizieren. Hier ist <math>b-a=h</math> und

:<math>f(x) = \pi \cdot (r(x))^2 = \pi \cdot \left({2\frac{u-U}{\pi h^2}}x^2+{\frac{U}{2\pi}} \right)^2</math>

ein [[Polynom]] vom Grad 4 mit konstanter 4. [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]]:

:<math>f^{(4)}(x) = \frac{96\cdot (u-U)^2}{\pi \cdot h^4}.</math>

Für den Fehler erhält man

:<math> E(f) = - \frac{h^5}{2880}\cdot \frac{96\cdot (u-U)^2}{\pi \cdot h^4}=- \frac{h}{30\pi}\cdot (u-U)^2 \le 0,</math>

somit den gleichen Wert wie oben.

Der Fehler ist kleiner oder gleich Null. Damit ist die Näherung <math>N</math> größer oder gleich dem exakten [[Volumen]] <math>V</math>. Der Fehler ist umso größer, je mehr sich <math>u</math> und <math>U</math> unterscheiden, je gewölbter das Fass ist. Der Fehler ist genau dann 0, wenn <math>u=U</math>, das Fass also ein [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] ist, in Übereinstimmung mit obiger Aussage, dass die Formel für Zylinder exakt ist.

== Verwendung als Runge-Kutta-Verfahren ==

Die Simpsonregel lässt sich auch als [[Runge-Kutta-Verfahren]] darstellen, und zwar mit dem [[Butcher-Tableau|Butcher-Schema]]

:<math>\begin{array}{c|ccc}
0 & 0 & 0 & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\
1 & -1 & 2 & 0\\
\hline
& \frac{1}{6} & \frac{4}{6} & \frac{1}{6}
\end{array}.</math>

== Literatur ==

* Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik.'' 6. Auflage, Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311–316.
* Johannes Kepler: ''Neue Stereometrie der Fässer''. Aus dem Lateinischen übersetzt und herausgegeben von R. Klug. W. Engelmann. Leipzig, 1908.

== Weblinks ==
{{commonscat|Simpson's rule}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Simpsonregel - Versionsgeschichte

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