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2026-03-09T07:45:54Z

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Ein '''Simplizialkomplex''' ist ein Begriff der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]]. Bei einem Simplizialkomplex handelt es sich um ein rein [[Kombinatorik|kombinatorisch]] beschreibbares Objekt, mit dessen Hilfe die entscheidenden Eigenschaften von bestimmten, als [[Triangulierung (Topologie)|triangulierbar]] bezeichneten [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe dazu verwendet, für den zugrundeliegenden topologischen Raum [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]] zu definieren.

Die Idee des Simplizialkomplexes besteht darin, einen topologischen Raum dadurch zu untersuchen, dass – sofern möglich – durch Zusammenfügen von [[Simplex (Mathematik)|Simplizes]] eine Menge im ''d''-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] konstruiert wird, die [[Homöomorphismus|homöomorph]] ist zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung zum Zusammenbau“ der Simplizes, das heißt die Angaben darüber, wie die Simplizes zusammengefügt sind, wird dann in Form einer Sequenz von [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]] rein algebraisch charakterisiert.

== Grundidee ==
Der formalen Definition eines Simplizialkomplexes liegt die Idee zugrunde, dass bestimmte Teilmengen des <math>d</math>-dimensionalen euklidischen Raums zerlegt werden können in [[Punkt (Mathematik)|Punkte]], [[Strecke (Geometrie)|Strecken]], [[Dreieck]]e, [[Tetraeder]] und so weiter. Da es sich bei den vier aufgezählten geometrischen Objekten um die einfachsten [[Polytop (Geometrie)|Polytope]] der jeweiligen [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>n=0,1,2,3</math> handelt, die als <math>n</math>-[[Simplex (Mathematik)|Simplex]] bezeichnet werden, handelt es sich allgemein um Zerlegungen in <math>n</math>-Simplizes: Punkt (0-Simplex), Gerade (1-Simplex), Dreieck (2-Simplizes), Tetraeder (3-Simplex), [[5-Zell]] (4-Simplex), 5-Simplex und so weiter.

Bei der formalen Beschreibung einer solchen Zerlegung im Rahmen eines Simplizialkomplexes werden die Kantenlängen ausgeblendet. Maßgeblich ist nur die Art des „Zusammenbaus“, d. h. die Information darüber, wie die <math>n</math>-Simplizes aneinandergefügt sind. Diese Informationen dienen dann dazu, die zerlegte [[Punktmenge]] zu charakterisieren.

== Definitionen ==
=== Abstrakter Simplizialkomplex ===
[[Datei:DreidimensionalerSimplizialerKomplex.PNG|mini|Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex]]
Ein ''abstraktes Simplex'' <math>\sigma</math> ist eine endliche nichtleere Menge. Ein Element eines abstrakten Simplexes nennt man ''Ecke'' von <math>\sigma</math>, eine nichtleere Teilmenge von <math>\sigma</math> ist wieder ein abstraktes Simplex und wird ''Facette'' (oder ''Seite'') von <math>\sigma</math> genannt.

Ein ''abstrakter'' oder auch ''kombinatorischer Simplizialkomplex'' <math>\mathcal{K}</math> ist eine Menge von Simplizes mit der Eigenschaft, dass jede Facette <math>\sigma'\subseteq\sigma</math> eines Simplexes <math>\sigma\in\mathcal{K}</math> wieder zu <math>\mathcal{K}</math> gehört, also <math>\sigma'\in\mathcal{K}</math>. Die Vereinigungsmenge aller Ecken von Simplizes des Simplizialkomplexes <math>\mathcal{K}</math> wird ''Eckenmenge'' oder ''Eckpunktbereich'' genannt und mit <math>V(\mathcal{K})</math> bezeichnet.<ref>[[Heinz Hopf|H. Hopf]], [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow|P. Alexandroff]]: ''Topologie'', Berlin, 1935, S. 158 ([https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN379157292 online])</ref>

Die Dimension eines abstrakten Simplex, das <math>k+1</math> Ecken enthält, ist definiert als <math>k</math>, und die Dimension des Simplizialkomplexes <math>\mathcal{K}</math> ist definiert als das Maximum der Dimension aller Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt <math>\mathcal{K}</math> unendlichdimensional.

Der Simplizialkomplex <math>\mathcal{K}</math> heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.

Das <math>n</math>-Skelett <math>\mathcal{K}_n</math> eines Simplizialkomplexes <math>\mathcal{K}</math> ist die Menge aller seiner Simplizes der Dimension <math>\le n</math>.

=== Geometrischer Simplizialkomplex ===
Ein ''geometrischer Simplizialkomplex'' <math>\mathcal{S}</math> ist eine Menge von [[Simplex (Mathematik)|Simplizes]] in einem euklidischen Raum <math>\R^d</math> mit der Eigenschaft, dass jede Facette <math>\sigma'\subseteq\sigma</math> eines Simplexes <math>\sigma\in\mathcal{S}</math> wieder zu <math>\mathcal{S}</math> gehört und dass für alle Simplizes <math>\sigma,\tau\in \mathcal{S}</math> der [[Schnittmenge|Durchschnitt]] <math>\sigma\cap\tau</math> entweder [[Leere Menge|leer]] oder eine gemeinsame Facette von <math>\sigma</math> und <math>\tau</math> ist. Mit <math>|\mathcal{S}|</math> wird die Vereinigung aller Simplizes des geometrischen Komplexes bezeichnet.

=== Geometrische Realisierung ===
Ein geometrischer Simplizialkomplex <math>\mathcal{S}</math>, dessen Ecken einem gegebenen abstrakten Simplizialkomplex <math>\mathcal{K}</math> entsprechen, heißt ''geometrische Realisierung'' des Simplizialkomplexes <math>\mathcal{K}</math>. Sie wird mit <math>\vert \mathcal{K}\vert</math> bezeichnet. Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander [[homöomorph]].

Zu einem Punkt <math>x\in\vert\mathcal{K}\vert</math> gibt es einen eindeutigen Simplex aus <math>\mathcal{K}</math>, in dessen Innerem <math>x</math> liegt. Dieser Simplex wird als ''Trägersimplex'' von <math>x</math> bezeichnet.

Ein ''simplizialer'' ''Teilkomplex'' <math>\mathcal{S}'\subseteq S
</math> ist eine Menge von Simplizes in <math>\mathcal{S}</math> derart, dass die Vereinigung der Simplizes in <math>\mathcal{S}'</math>einen simplizialen Komplex bildet.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Seifert, William Threlfall |Titel=Lehrbuch der Topologie |Hrsg=AMS Chelsea Publ. |Datum=2004-01-20 |ISBN=9780821835951 |Seiten=47}}</ref>

=== Triangulierung ===
Ein topologischer Raum heißt [[Triangulierung (Topologie)|triangulierbar]], wenn er homöomorph zu einem geometrischen Simplizialkomplex ist.

== Abschluss, Stern und Link ==
Sei <math>M </math> eine Menge von Simplizes in einem geometrischen Simplizialkomplex <math>\mathcal{S}</math>. Man kann nun durch drei Konstruktionen <math>M</math> zu einem Teilkomplex von <math>\mathcal{S}</math> machen, wobei der ''[[Stern (Topologie)|Stern]]'' von <math>M</math> beim Beweis des [[Simpliziale Approximation|simplizialen Approximationssatzes]] gebraucht wird.<gallery class="center" widths="300" heights="110">
Datei:Simplicial complex closure.svg|Zwei Simplizes (gelb) und deren Abschluss (grün).
Datei:Simplicial complex star.svg|Ein Simplex und dessen Stern.
Datei:Simplicial complex link.svg|Ein Simplex und dessen Link.
</gallery>

=== Abschluss ===
Der Abschluss <math>\operatorname{cl}(M)</math> von <math>M</math> ist der kleinste simpliziale Teilkomplex von <math>\mathcal{S}</math>, der jedes Simplex in <math>M</math> enthält. Man definiert <math>\operatorname{cl}(M)=\{\sigma \in \mathcal{S} : \sigma \text{ ist eine Seite eines Simplex in } M\}</math>. Der Abschluss entsteht, indem man zu jedem Simplex in <math>M</math> all seine Seiten (''Facetten'') hinzufügt.

=== Stern ===
Der [[Stern (Topologie)|Stern]] <math>\operatorname{st}(M)</math> von <math>M</math> ist der Abschluss aller Simplizes, die eine Seite in <math>M</math> besitzen. Man definiert <math>\operatorname{st}(M)=\operatorname{cl}(\{\sigma \in \mathcal{S} : \sigma \text{ besitzt eine Seite in } M\})</math>. Den Stern kann man verstehen als die ''kleinste simpliziale Umgebung'' von <math>M</math> in <math>\mathcal{S}</math>. Weiterhin bildet <math>\overset{\circ}\operatorname{st}(\operatorname{cl}(M))</math> eine offene simpliziale Umgebung von <math>M</math> in <math>\mathcal{S}</math>.

=== Link ===
Der Link <math>\operatorname{lk}(M)</math> besteht aus allen Simplizes im Stern von <math>M</math>, die kein Simplex von <math>M</math> treffen. Man definiert: <math>\operatorname{lk}(M)=\{\sigma \in \operatorname{st}(M): \sigma \cap \tau = \emptyset \text{ für alle } \tau \in M\}</math>. Den Link kann man als den [[Rand (Topologie)|topologischen Rand]] der simplizialen Umgebung auffassen.<ref>{{Literatur |Autor=Fridtjof Toenniessen |Titel=Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie |Auflage=1 |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2017-08 |ISBN=978-3662549636 |Seiten=163-164}}</ref>

== Simpliziale Abbildungen ==
Eine simpliziale Abbildung <math>f\colon \mathcal{K}\to \mathcal{L}</math> ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen <math>f\colon V(\mathcal{K})\to V(\mathcal{L})</math>, bei der für jedes Simplex aus <math>\mathcal{K}</math> dessen Ecken unter der Abbildung <math>f</math> auf die Ecken eines Simplex in <math>\mathcal{L}</math> abgebildet werden.<ref>H. Hopf, P. Alexandroff: ''Topologie'', Berlin, 1935, S. 172 ([https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN379157292 online])</ref>

Eine simpliziale Abbildung <math>f\colon \mathcal{K}\to \mathcal{L}</math> induziert eine stetige Abbildung <math>\vert f\vert\colon\vert \mathcal{K}\vert\to\vert \mathcal{L}\vert</math>. Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine [[Affine Abbildung|affin lineare]] Fortsetzung konstruiert.

Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung <math>g\colon \vert \mathcal{K}\vert\to\vert \mathcal{L}\vert</math> nach endlich vielen [[Baryzentrische Unterteilung|baryzentrischen Unterteilungen]] durch eine simpliziale Abbildung <math>f\colon \operatorname{Bd}^m(\mathcal{K})\to \mathcal{L}</math> approximieren, siehe [[simplizialer Approximationssatz]]. Hierbei steht <math>\operatorname{Bd}</math> für die baryzentrische Unterteilung.

Eine simpliziale Abbildung, die [[Bijektion|bijektiv]] ist, das heißt, die [[Umkehrabbildung]] ist auch eine simpliziale Abbildung, nennt man einen simplizialen [[Isomorphismus]].

== Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex ==
Sei <math>\mathcal{K}</math> ein endlicher Simplizialkomplex. Die <math>p</math>-te simpliziale Gruppe von <math>\mathcal{K}</math> ist die [[freie abelsche Gruppe]], die von der Menge der Simplizes mit Dimension <math>p</math> erzeugt wird, sie wird mit <math>C^\Delta_p(\mathcal{K})</math> notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale <math>p</math>-Ketten. Wählt man eine [[totale Ordnung]] für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von <math>\mathcal{K}</math> liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne <math>p</math>-Simplex. Ein [[Randoperator]] <math>\partial \colon C^\Delta_p(\mathcal{K}) \to C^\Delta_{p-1}(\mathcal{K})</math> wird dann definiert durch

: <math>\partial(\langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_p} \rangle) := \sum_{i=0}^p (-1)^i \langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_{i-1}}, v_{k_{i+1}} , \ldots , v_{k_p} \rangle ,</math>

wobei <math>\langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_p} \rangle</math> das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt <math>\partial (\partial c)= 0</math> für alle simplizialen <math>p</math>-Ketten <math>c</math>. Daher ist <math>(C^\Delta_p(\mathcal{K}),\partial)</math> ein [[Kettenkomplex]] und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine [[Homologie (Mathematik)|Homologie]] erklären. Diese Homologie wird [[simpliziale Homologie]] genannt.

== Anwendung in der Graphentheorie ==
Man kann einem [[Graphentheorie|Graphen]] Simplizialkomplexe zuweisen, um so untere Schranken an die [[Färbung (Graphentheorie)|chromatische Zahl]] zu beweisen. Wahrscheinlich am bekanntesten sind die Nachbarschaftskomplexe von [[László Lovász]].
{{Hauptartikel|Topologische_Kombinatorik#Anwendungen von Methoden aus der Topologie auf Probleme der diskreten Mathematik}}

== Geschichte ==
Triangulierungen und ein in Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent zu dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden von [[Henri Poincaré]] gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen wurde erstmals 1912 von [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]] verwendet. In den 1920er-Jahren entstand dann die Sichtweise, die zum Begriff des Kettenkomplexes führte.<ref>Jean Dieudonné: ''A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960'', S. 4–6, Boston 1989, Reprint 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, {{DOI|10.1007/978-0-8176-4907-4}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Simpliziales Polytop]]
* [[Simpliziale Menge]]
* [[Simpliziale Homologie]]
* [[CW-Komplex]] – ein allgemeinerer Begriff, der Simplizialkomplexe als Spezialfall umfasst.
* [[Fahnenkomplex]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Quellen ==
* John M. Lee: ''Introduction to Topological Manifolds.'' Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2 (''Graduate Texts in Mathematics'' 202), Seiten 96, 323–324
* {{EoM|Titel=Simplicial complex|Autor=S. N. Malygin & M. M. Postnikov|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Simplicial_complex}}

== Weblinks ==
* [[Jörg Bewersdorff]]: [http://www.galois-theorie.de/pdf/algebraische-topologie-fixpunkte.pdf Algebraische Topologie und Fixpunkte]. Einführender Überblicksartikel (PDF-Datei; 179 kB).
* Jie Wu: {{Webarchiv |url=http://www.math.nus.edu.sg/~matwml/courses/Graduate/MA5209%20Algebraic%20Topology/References/WuJie.pdf |text=Lecture Notes on Algebraic Topology: Simplicial Complexes (PDF; 713 kB) |wayback=20160304074658}}.

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Simplizialkomplex - Versionsgeschichte

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