imported>Carsten Steger: Link nach Umbenennung angepasst.

2026-03-09T07:46:36Z

Link nach Umbenennung angepasst.

Neue Seite

{{Weiterleitungshinweis|Hypertetraeder|Für den ebenfalls so genannten 4-dimensionalen Spezialfall siehe [[5-Zell]].}}
[[Datei:tetrahedron.png|mini|Ein 3-Simplex oder [[Tetraeder]]]]
In der [[Mathematik]] – und hier insbesondere in der [[Geometrie]] und der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] – bezeichnet man (für eine gegebene [[natürliche Zahl]] <math>n \in \N</math>) als '''Simplex''' (neutr.) oder '''''n''-Simplex''' ein spezielles ''n''-dimensionales [[Polytop (Geometrie)|Polytop]]. Ein solches nennt man gelegentlich auch ''n''-dimensionales '''Hypertetraeder.''' Es handelt sich um die einfachste Form eines Polytops.

Jedes <math>n</math>-dimensionale Simplex besitzt <math>n + 1</math> Ecken. Man erzeugt ein <math>n</math>-Simplex aus einem <math style="white-space:nowrap;">(n-1)</math>-Simplex, indem man einen ''affin unabhängigen'' Punkt (s. u.) hinzunimmt und alle Ecken des <math style="white-space:nowrap;">(n-1)</math>-Simplexes mit diesem Punkt in Form einer ''[[Kegel (Geometrie)|Kegelbildung]]'' durch [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] verbindet.<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=20 ff}}</ref> Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe ''[[Punkt (Geometrie)|Punkt]]'', ''Strecke'', ''[[Dreieck]]'', ''[[Tetraeder]]'', ''[[5-Zell]]''. Ein <math>n</math>-Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf <math>n</math> Dimensionen.

== Definitionen ==
=== Affine Unabhängigkeit ===
Gegeben sei ein <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> und darin für ein <math>k \in \N</math> endlich viele Punkte <math>v_0,\ldots, v_k \in V</math>.

Man nennt diese Punkte ''affin unabhängig'',<ref name="Harzheim-4">{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=4}}</ref> falls für je <math>k+1</math> beliebig gewählte Skalare <math>t_0,\ldots,t_k\in\mathbb{R}</math> gilt, dass aus <math>t_0 v_0+\cdots + t_k v_k=0</math> und <math>t_0+\cdots+t_k=0</math> stets <math>t_0=\cdots=t_k=0</math> folgt. Anders ausgedrückt: Es gibt keinen <math>k-1</math>-dimensionalen affinen Unterraum <math>V_0 \subset V </math>, in dem all diese <math>k+1</math> Punkte liegen. Das bedeutet: Die Menge <math>\{v_1-v_0, \ldots , v_k-v_0\}</math> ist linear unabhängig.<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=5}}</ref> In diesem Falle ist jeder der Punkte <math>v_j</math> (<math>j=0, 1,\ldots ,k</math>) von den übrigen Punkten <math>v_0,\ldots,v_{j-1}, v_{j+1},\ldots, v_k </math> ''affin unabhängig'' und genauso von dem durch <math>v_0,\ldots,v_{j-1}, v_{j+1},\ldots, v_k </math> ''aufgespannten affinen Unterraum''.

Eine Menge von Punkten eines <math>n</math>-dimensionalen Vektorraums <math>V</math> über <math>\R</math> (<math>n \in \N</math>) nennt man ''in allgemeiner Lage'', wenn jede aus höchstens <math>n+1</math> Punkten bestehende Teilmenge ''affin unabhängig'' ist.<ref name="Harzheim-4" />

=== Simplex ===
Ist nun <math>V = \R^n \; (n \in \N) </math> (oder ein beliebiger ''<math>n</math>''-dimensionaler Vektorraum über <math>\R</math>) und sind weiter für ein <math>k \in \N</math> darin liegende affin unabhängige Punkte <math>v_0, \ldots , v_k</math> gegeben, so ist das ''von <math>v_0, \ldots , v_k </math> aufgespannte (oder erzeugte) Simplex'' <math>\Delta </math> gleich folgender Menge:
: <math>\Delta = \left\{x \in \R^n \Bigg\vert \exists t_0, \ldots, t_k \in [0, 1] \left( \sum_{i=0}^kt_i=1 \wedge x = \sum_{i=0}^kt_iv_i \right) \right\}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=26}}</ref>

Die Punkte <math>v_i</math> werden ''Eckpunkte von <math>\Delta</math>'' und <math>(t_0,...,t_k) \in [0,1]^{k+1}</math> [[baryzentrische Koordinaten]] genannt. Die Zahl <math> k </math> ist die ''Dimension des Simplexes''. Ein Simplex der Dimension <math>k</math> wird auch kurz ''<math>k</math>-Simplex'' genannt. Ein solches Simplex ist also nichts weiter als die [[konvexe Hülle]] von endlich vielen affin unabhängigen Punkten im <math>\R^n</math>,<ref>{{Literatur |Autor=H. Schubert |Titel=Topologie |Datum=1975 |Seiten=165}}</ref> welche dann die Eckpunkte dieses Simplexes sind.

=== Seitenflächen und Rand ===
Es sei <math>\Delta</math> ein <math>k</math>-Simplex. Jedes in <math>\Delta</math> enthaltene Simplex, welches durch eine nicht leere Teilmenge der Eckpunkte von <math>\Delta</math> aufgespannt wird, heißt ''Seite'' (seltener ''Facette'' oder ''Untersimplex'') von <math>\Delta</math>. Die nulldimensionalen Seiten (Facetten) sind gerade die ''Eckpunkte'' oder ''Ecken'', die 1-Seiten (oder 1-Facetten) sind die ''Kanten'' und die <math>(k-1)</math>-Seiten oder <math>(k-1)</math>-Facetten heißen ''Seitenflächen''. Die Vereinigung der Seitenflächen heißt der '''Rand''' <math>\partial\Delta</math> des Simplexes <math>\Delta</math>:
:<math>\partial\Delta= \left\{x \in \R^n \Bigg\vert \exists t_0, \ldots, t_k \in [0, 1] \exists j \in \{0, \ldots, k\} \left( \sum_{i=0}^kt_i=1 \wedge t_j = 0 \wedge x = \sum_{i=0}^kt_iv_i \right) \right\}</math>
Die Anzahl der <math>d</math>-Seiten (oder <math>d</math>-Facetten) des <math>k</math>-Simplexes ist gleich dem [[Binomialkoeffizient]]en <math>\tbinom{k+1}{d+1}</math>.<ref>Jonathan Schneider: [https://homepages.math.uic.edu/~jschnei3/Writing/Simplexes ''Geometry of Simplexes.'']</ref>

Das <math>k</math>-Simplex ist das einfachste <math>k</math>-dimensionale [[Polytop (Geometrie)|Polytop]], gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das [[Simplex-Verfahren]] aus der [[Optimierung (Mathematik)|linearen Optimierung]] und genauso das [[Downhill-Simplex-Verfahren]] in der nichtlinearen Optimierung benannt.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
| rowspan="2"|  
! rowspan="2" align="left"| [[Schläfli-Symbol|Schläfli-]]<br />[[Schläfli-Symbol|Symbol]]
!colspan="8" class="hintergrundfarbe6"| Anzahl der Grenzelemente
|- class="hintergrundfarbe6"
!0-dim.
!1-dim.
!2-dim.
!3-dim.
!{{nowrap|4-dim.}}
!<math>\ldots</math>
!<math>(n\!-\!1)</math>-dim.
!<math>n</math>-dim.
|-
! class="hintergrundfarbe6"| Punkt
|style="text-align:left"| <math>()</math>
| class="hintergrundfarbe5" |1
|
|
|
|
|
|
|
|-
! class="hintergrundfarbe6"| Strecke
|style="text-align:left"| <math>\{\}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |2
| class="hintergrundfarbe5" |1
|
|
|
|
|
|
|-
! class="hintergrundfarbe6"| Dreieck
| style="text-align:left"| <math>\{3\}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |3
| class="hintergrundfarbe5" |3
| class="hintergrundfarbe5" |1
|
|
|
|
|
|-
! class="hintergrundfarbe6"| Tetraeder
| style="text-align:left"| <math>\{3,3\}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |4
| class="hintergrundfarbe5" |6
| class="hintergrundfarbe5" |4
| class="hintergrundfarbe5" |1
|
|
|
|
|-
! class="hintergrundfarbe6"| 5-Zell
| style="text-align:left"| <math>\{3,3,3\}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |5
| class="hintergrundfarbe5" |10
| class="hintergrundfarbe5" |10
| class="hintergrundfarbe5" |5
| class="hintergrundfarbe5" |1
|
|
|
|- style="line-height:89%"
! class="hintergrundfarbe6"| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| colspan="8" class="hintergrundfarbe5"| <math>\vdots</math>
|-
! class="hintergrundfarbe6"| <math>n</math>-dim. Simplex
| style="text-align:left"| <math>\{3^{n-1}\}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\binom{n + 1}{1}</math><math> = n + 1</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\binom{n + 1}{2}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\binom{n + 1}{3}</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\binom{n + 1}{4}</math>
| align="center" class="hintergrundfarbe5" |<math>\ldots</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\ldots</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\binom{n + 1}{n}</math><math> = n + 1</math>
| class="hintergrundfarbe5" |<math>\binom{n + 1}{n + 1}</math><math> = 1</math>
|}

== Beispiel ==
* Ein 0-Simplex ist ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]].
* Ein 1-Simplex ist eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]].
* Ein 2-Simplex ist ein [[Dreieck]].
* Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecks[[Ebene (Mathematik)|ebene]] liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
* Ein 4-Simplex heißt auch [[5-Zell]].
* Ein Beispiel eines <math>n</math>-Simplex im <math>\R^n</math> (und zwar eines mit rechtwinkliger Ecke im Ursprung) ist durch
:: <math>\left\{x\in\R^n\mid x_i\geq0,\, \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\leq1\right\}</math>
: gegeben. Dieses Simplex heißt '''Einheitssimplex'''. Es wird vom [[Nullvektor]] und den Einheitsvektoren <math>e_1, \dotsc, e_n</math> der [[Standardbasis]] des <math>\R^n</math> aufgespannt und hat mit der Länge der Einheitsvektoren <math>c=1</math> das Volumen <math>1 / n!\,</math>.

== Volumen ==
Das Volumen des Einheitssimplex des <math>\mathbb R^n</math> beträgt <math>1/n!</math>.
Sind <math>v_{0},\ldots ,v_{n}</math> Punkte des <math>\mathbb R^n</math>, so lautet die [[affine Abbildung]], die das Einheitssimplex auf das von <math>v_{0},\ldots ,v_{n}</math> aufgespannte Simplex transformiert
:: <math>
x\mapsto v_0+A x
\quad\text{mit } A=\left({v_1-v_0,\dots,v_n-v_0}\right)\in\mathbb R^{n\times n}
</math>
und das Volumen des Simplex ist gegeben durch <math>\left|\det A\right| / n!</math>.

== Standard-Simplex ==
In der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]], insbesondere der Definition der [[Singuläre Homologie|singulären Homologie]], spielen die sogenannten Standard-Simplexe eine wichtige Rolle.

Das <math>n</math>-dimensionale Standardsimplex <math>\Delta^n</math> ist das im <math>\R^{n+1}</math> von den [[Einheitsvektor]]en <math>e_1, \dots, e_{n+1}</math>, also von den Ecken
: <math>v_0=(1,0,0,\ldots,0),v_1=(0,1,0,\ldots,0),v_2=(0,0,1,\ldots,0),\ldots,v_n=(0,0,0,\ldots,1)</math>
aufgespannte <math>n</math>-Simplex.<ref>{{Literatur |Autor=I. M. James |Titel=Handbook of Algebraic Topology |Verlag=Elsevier Science |Datum=1995 |ISBN=0-08-053298-5 |Seiten=3}}</ref>
Das <math>n</math>-Standardsimplex entspricht damit der größten Seitenfläche eines <math>(n+1)</math>-Einheitssimplex.

Ein ''singuläres <math>n</math>-Simplex'' ist per Definition eine stetige Abbildung des Standard-Simplex <math>\Delta^n</math> in einen topologischen Raum <math>X</math>, siehe [[singuläre Homologie]].

== Simplexe mit einer rechtwinkligen Ecke ==
Eine rechtwinklige Ecke bedeutet hier, dass je zwei in dieser Ecke zusammenlaufende Kanten einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] bilden. Anders ausgedrückt, das <math>n</math>-Simplex hat eine Ecke, an der seine an ihr anliegenden <math>n</math>-dimensionalen [[Hyperfläche]]n zueinander orthogonal sind. Ein solches Simplex stellt eine Verallgemeinerung rechtwinkliger Dreiecke dar und in ihm gilt eine <math>n</math>-dimensionale Version des [[Satz des Pythagoras|Satzes von Pythagoras]] wie folgt.<ref>A. K. Austin, R. J. Webster: ''3147. A Note on Pythagoras’ Theorem.'' In: ''The Mathematical Gazette'', Band 50, Nr. 372, 1966, S. 171, [[doi:10.2307/3611958]]. {{JSTOR|3611958}}.</ref>

Die Summe der quadrierten <math>(n-1)</math>-dimensionalen Volumen der an der rechtwinkligen Ecke anliegenden [[Hyperfläche]]n ist gleich dem quadrierten <math>(n-1)</math>-dimensionalen Volumen der der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegenden Hyperfläche. Es gilt also:
: <math>\sum_{k=1}^n |A_k|^2 = |A_0|^2.</math>
Hierbei sind die Hyperflächen <math>A_1, \ldots, A_n</math> paarweise orthogonal zueinander, aber nicht orthogonal zu der Hyperfläche <math>A_0</math>, die der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegt.

Im Falle eines 2-Simplex entspricht dies einem rechtwinkligen Dreieck und dem [[Satz des Pythagoras]] und im Falle eines 3-Simplex einem Tetraeder mit einer Würfelecke und dem [[Satz von de Gua]].

== Grundlegende Homöomorphieeigenschaften ==
* Zwei Simplexe <math>\Delta \subset \R^n</math> und <math>{\Delta}^* \subset \R^m</math> '''gleicher Dimension''' sind stets [[homöomorph]]. Eine solche Homöomorphie liegt also genau dann vor, wenn die Eckpunktmengen beider Simplexe identische Anzahl haben.<ref>{{Literatur |Autor=H. Schubert |Titel=Topologie |Datum=1975 |Seiten=165}}</ref>
* Das zu einem Simplex [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale]] Polytop ist wieder ein Simplex derselben Dimension. Simplizes sind also selbst-dual.
* Ein <math>k</math>-Simplex im <math>\R^n</math> ist stets homöomorph zur [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Einheitskugel|<math>k</math>-dimensionalen Einheitskugel]] <math>\overline{B_{\R^k}} = \{v \in \R^k : \| v \|_2 \leq1 \} \subset \R^k</math>. Folglich ist jedes Simplex eines euklidischen Raumes eine [[Kompakter Raum|kompakte Menge]].<ref>{{Literatur |Autor=H. Schubert |Titel=Topologie |Datum=1975 |Seiten=166}}</ref>

== Euklidischer simplizialer Komplex ==
Ein ''euklidischer simplizialer Komplex'' (engl. ''Euclidean simplicial complex''<ref>{{Literatur |Autor=J. M. Lee |Titel=Introduction to Topological Manifolds |Datum=2011 |Seiten=149}}</ref>), in der deutschen Literatur meist ''simplizialer Komplex'' genannt,<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=34}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=H. Schubert |Titel=Topologie |Datum=1975 |Seiten=167}}</ref> ist eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>\mathcal{K}</math> von Simplexen im <math>\R^n</math> mit folgenden Eigenschaften:

# Mit jedem Simplex <math>\Delta \in \mathcal{K}</math> gehört auch jede Seite von <math>\Delta </math> zu <math>\mathcal{K}</math>.
# Der Schnitt von zwei Simplexen von <math>\mathcal{K}</math> ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplexe.
# Jeder Punkt eines Simplexes aus <math>\mathcal{K}</math> hat (bzgl. der [[Standardtopologie]] des <math>\R^n</math>) eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]], welche höchstens endlich viele Simplexen aus <math>\mathcal{K}</math> schneidet (''Lokalendlichkeit'').<ref>Oft, wie etwa bei Harzheim, S. 34, oder bei Schubert, S. 167, wird sogar gefordert, dass nur ''endlich viele'' Simplexe in dem simplizialen Komplex auftreten.</ref>

Die Vereinigung <math>\textstyle \Sigma = \bigcup {\mathcal{K}}</math>, gebildet über alle Simplexe von <math>\mathcal{K}</math> und versehen mit der vom <math>\R^n</math> herrührenden [[Unterraumtopologie]], heißt das ''zu <math>\mathcal{K}</math> gehörige [[Polyeder]]''. Die zugehörige Familie <math>\mathcal{K}</math> nennt man dann auch eine ''Triangulation'' oder ''simpliziale Zerlegung''<ref>{{Literatur |Autor=H. Schubert |Titel=Topologie |Datum=1975 |Seiten=167}}</ref> von <math>\Sigma</math>. Falls ein solches <math>\mathcal{K}</math> existiert, heißt <math>\Sigma</math> ''triangulierbar''.<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=26}}</ref>

Ein ''Polyeder'', welches durch einen endlichen simplizialen Komplex trianguliert wird, ist stets eine [[Kompakter Raum|kompakte Teilmenge]] des <math>\R^n</math>.<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=37}}</ref>

== Abstrakter simplizialer Komplex ==
{{Hauptartikel|Simplizialkomplex}}

Ein ''abstrakter simplizialer Komplex'' (engl. ''abstract simplicial complex''<ref>{{Literatur |Autor=J. M. Lee |Titel=Introduction to Topological Manifolds |Datum=2011 |Seiten=153}}</ref>) <math>\mathcal{K}</math> ist eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von [[Leere Menge|nichtleeren]], endlichen Mengen (welche ''(abstrakte) Simplexe'' genannt werden), die folgende Eigenschaft erfüllt:<ref>{{Literatur |Autor=J. M. Lee |Titel=Introduction to Topological Manifolds |Datum=2011 |Seiten=153 ff}}</ref>
* Mit <math>\Delta \in \mathcal{K}</math> ist stets auch jede nichtleere Teilmenge von <math>\Delta</math> in <math>\mathcal{K}</math> enthalten.<ref>Bei Schubert, S. 169, ist hier die Rede von einem „simplzialen Schema“. Ein abstraktes Simplex nennt Schubert ''ausgezeichnete Menge''. Zudem fordert er noch, dass jedes Element der Grundmenge in einer ausgezeichneten Menge, also einem abstrakten Simplex, enthalten ist.</ref>

Jedes Element eines Simplexes heißt Ecke und jede nichtleere Teilmenge heißt Seite (oder Facette). Die Dimension eines (abstrakten) Simplexes mit <math>k+1</math> Ecken ist definiert als <math>k</math>. Die Dimension eines Simplizialkomplexes ist definiert als das Maximum der Dimensionen aller darin vorkommenden Simplexe, sofern dieses Maximum existiert. In diesem Falle bezeichnet man den Simplizialkomplex als ''endlichdimensional'' und besagtes Maximum als seine ''Dimension''. Falls die Dimensionen der Simplexe des Simplizialkomplexes nicht nach oben beschränkt sind, so heißt der Simplizialkomplex ''unendlichdimensional''.

== Anwendung ==
Eine Anwendung findet sich im [[Downhill-Simplex-Verfahren]]. Das ist ein [[Optimierung (Mathematik)|Optimierungsverfahren]], bei dem man <math>n</math> Parameterwerte finden will, indem man sie so lange variiert, bis die Abweichung zwischen Messwerten und einer Theoriefunktion, die von diesen Parametern abhängt, minimal wird. Dazu wird im <math>n</math>-dimensionalen Parameterraum ein Simplex aus Parametersätzen aufgespannt, für jeden Punkt des Simplex die Fehlerfunktion berechnet und dann im Laufe des Algorithmus der jeweils „schlechteste“ dieser Punkte durch einen (hoffentlich) „besseren“ (mit kleinerem Fehlerwert) ersetzt, so lange, bis ein Konvergenz- oder sonstiges Abbruchkriterium erfüllt ist. Als Anfangskonfiguration wird meistens ein ''Simplex mit einer rechtwinkligen Ecke'' (wie oben erläutert) verwendet.

''Simplexe'', ''simpliziale Komplexe'' und ''Polyeder'' finden darüber hinaus eine breite Anwendung in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Als eines der herausragenden Anwendungsbeispiele ist hier der [[Fixpunktsatz von Brouwer]] zu nennen, von dem [[Bronisław Knaster]], [[Kazimierz Kuratowski]] und [[Stefan Mazurkiewicz]] im Jahre 1929 gezeigt haben, dass dieser Satz und verwandte Sätze der Topologie im Rahmen der ''Simplextheorie'' mit elementaren kombinatorischen Methoden, insbesondere unter Benutzung des [[Emanuel Sperner#Das Spernersche Lemma|Spernerschen Lemmas]], ableitbar sind.<ref>{{Literatur |Autor=E. Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=56–65, 317}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=B. Knaster, C. Kuratowski, S. Mazurkiewicz |Titel=Ein Beweis des Fixpunktsatzes für <math>n</math>-dimensionale Simplexe |Datum=1929 |Seiten=132 ff}}</ref>

== Literatur ==
'''Artikel'''
* [[Bronisław Knaster]], [[Kazimierz Kuratowski|Casimir Kuratowski]], [[Stefan Mazurkiewicz]]: ''Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe.'' In: ''[[Fundamenta Mathematicae]].'' Band 14, Nr. 1, 1929, S. 132–137 ([http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv14i1p11bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1929-14-1;10&qt=CHILDREN-STATELESS online]).

'''Monographien'''
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie
|Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1978
|ISBN=3-534-07016-X
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264]}}
* {{Literatur
|Autor=John M. Lee
|Titel=Introduction to Topological Manifolds
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics, 202
|Auflage=2.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York u. a.
|Datum=2011
|ISBN=978-1-4419-7939-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Simplex}}
{{Commonscat|Simplex|audio=0|video=0}}
* {{MathWorld|id=Simplex|title=Simplex}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polytop]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Simplex (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>Carsten Steger: Link nach Umbenennung angepasst.