2A00:1E:B001:E01:1F1:4C1A:A3DB:F7C1: /* Integralinduzierte signierte Maße */

2025-01-12T17:01:21Z

Integralinduzierte signierte Maße

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'''Signiertes Maß''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Maßtheorie]]. Es ist wie das [[Maß (Mathematik)|Maß]] eine auf einem Mengensystem, meist einer [[σ-Algebra]], definierte Funktion und unterscheidet sich von diesem nur darin, dass auch negative Werte zugelassen sind. Das signierte Maß stellt somit eine Verallgemeinerung des Maßbegriffs dar. Manchmal werden signierte Maße auch als '''Ladungsverteilungen''' bezeichnet, da sie bildlich jedem Teil eines geladenen Körpers die in ihm enthaltene Ladung zuweisen.

Mengen signierter Maße besitzen im Vergleich zu den gewöhnlichen Maßen mehr Struktur. So bildet beispielsweise die Menge aller signierten Maße auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] einen [[Vektorraum]] mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]].

== Definition ==

Sei <math>\Omega</math> eine nichtleere Menge und <math>\mathcal{C} \subseteq 2^\Omega</math> ein [[Mengensystem]] auf <math>\Omega</math> mit <math>\emptyset \in \mathcal{C}</math>.

Eine [[Mengenfunktion]] <math>\nu </math> von <math>\mathcal{C}</math> nach <math>[-\infty, +\infty)</math> oder <math>(-\infty, +\infty]</math> heißt ''signiertes Maß'', wenn gilt:
#<math>\nu(\emptyset) = 0</math>
#Für jede [[disjunkt]]e Familie <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math> und <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math> gilt
:: <math>\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math>.
::Diese Eigenschaft wird als [[σ-Additivität]] bezeichnet.

Ist das Mengensystem <math>\mathcal{C}</math> eine [[σ-Algebra]], so wird es im Folgenden mit <math>\mathcal{A}</math> bezeichnet. Insbesondere ist dann <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i</math> immer in <math>\mathcal{A}</math> enthalten.

== Bemerkungen zur Definition ==
Die Konvergenz der Reihe <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math> ist als [[unbedingte Konvergenz]] in <math>\overline{\mathbb{R}}</math> zu betrachten, das heißt, ihr [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] ist <math>\textstyle \nu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>.

Die Einschränkung auf entweder die Bildmenge <math>[-\infty, +\infty)</math> oder die Bildmenge <math>(-\infty, +\infty]</math> erfolgt, um die Assoziativität der Addition zu erhalten. Außerdem vermeidet sie das Auftreten von nicht definierten Ausdrücken wie <math> - \infty + \infty </math>.

Wählt man als Bildraum die Menge <math> (- \infty, + \infty )</math>, so kann auf die Forderung <math> \nu (\emptyset)=0 </math> verzichtet werden. Dies folgt daraus, dass <math> \nu(\emptyset) </math> eine reelle Zahl ist und
:<math> \nu(\emptyset)= \sum_{i \in \N} \nu(\emptyset) </math>
gilt.

== Beispiele ==
Die beiden hier angegebenen Beispiele sind gleichzeitig die klassischen Methoden, signierte Maße zu konstruieren.
=== Differenz von Maßen ===
Sind <math> \mu_1, \mu_2 </math> endliche Maße auf dem Messraum <math> (\Omega, \mathcal A) </math>, so sind
:<math> \nu_1= \mu_1 - \mu_2 \text{ und } \nu_2= \mu_2 - \mu_1 </math>

signierte Maße auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>. Bei einem der beiden Maße <math> \mu_1, \mu_2 </math> kann auf die Endlichkeit verzichtet werden, wenn man zulassen will, dass die signierten Maße die Werte <math> + \infty </math> oder <math> - \infty </math> annehmen können.

=== Integralinduzierte signierte Maße ===
Signierte Maße treten auch in der Integrationstheorie auf, sie werden von einem unbestimmten Integral induziert.

Sei <math>(\Omega,\mathcal{A},\mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>f \colon \Omega \rightarrow \bar{\mathbb{R}}</math> eine <math>\mathcal{A}</math>-<math>\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})</math>-[[Messbare Funktion|messbare]] Funktion. Ist <math>f</math> positiv (nimmt Werte in <math>[0,\infty]</math> an) oder [[Quasiintegrierbare Funktion|quasiintegrierbar]], so existiert das Integral <math>\textstyle \int_\Omega f\chi_{A} d\mu</math> mit <math>\chi</math> als Indikatorfunktion und <math>A\in \mathcal{A}</math> immer.
Die Abbildung <math>\textstyle \int f d\mu \colon \mathcal{A}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}</math> mit
:<math>(\int f d\mu)(A):= \int_\Omega f\chi_A d\mu</math>
definiert das unbestimmte <math>\mu</math>-Integral.
*Ist <math>f</math> positiv, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein Maß.
*Ist <math>f</math> integrierbar, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein endliches signiertes Maß, das heißt <math>\textstyle (\int f d\mu)(A)\in\mathbb{R}</math> für <math>A\in\mathcal{A}</math>.
*Ist <math>f</math> quasiintegrierbar, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein signiertes Maß.
Man verwendet für <math>\textstyle (\int f d\mu)(A)</math> üblicherweise die Kurzschreibweise <math>\textstyle \int_A f d\mu</math>.

== Eigenschaften ==
Gegeben seien <math> A,B \in \mathcal A </math> und <math> B \subset A </math>. Ist <math> |\nu(A)| < \infty</math>, so ist auch stets <math> |\nu(B)| < \infty </math>, denn es gilt <math> \nu(A)= \nu(A \setminus B)+ \nu(B) </math> wegen der σ-Additivität und daraus folgt dann die Endlichkeit der rechten Seite.

Sind <math> A, (A_i)_{i \in \N } \in \mathcal A</math> mit disjunkten <math> A_i </math> und sind
:<math> A= \bigcup_{i \in \N} A_i \text{ sowie } |\nu(A)|< \infty</math>,

so ist die Reihe <math> \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i) </math> absolut konvergent. Denn es ist für jede Bijektion <math> \pi \colon \N \to \N </math> immer
:<math> \bigcup_{i \in \N} A_{\pi(i)}= A = \bigcup_{i \in \N} A_i </math>

und somit
:<math> \sum_{i=1}^\infty \nu(A_{\pi(i)}) = \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i) </math>.

Also konvergiert die Reihe [[Unbedingte Konvergenz|unbedingt]] und damit auch [[Absolute Konvergenz|absolut]].

=== Stetigkeit von oben ===
Ist <math>\mathcal{C}</math> ein [[Mengenring|Ring]], so ist <math>\nu</math> [[Stetigkeit von oben|stetig von oben]], das heißt, dass für jede [[Monoton fallende Mengenfolge|monoton fallende Folge]] <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math>, <math>|\nu(A_1)|<\infty</math> und <math>\textstyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math>
:<math>\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i)= \nu\left(\bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>
gilt. Ist <math>\mathcal{C}</math> eine σ-Algebra, so ist die Eigenschaft immer erfüllt.

=== Stetigkeit von unten ===
Ein signiertes Maß auf einer σ-Algebra <math> \mathcal A</math> ist [[stetigkeit von unten|stetig von unten]], das heißt, für eine [[monoton wachsende Mengenfolge]] <math> (A_i)_{i \in \N }</math> in <math> \mathcal A </math> gilt
:<math>\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i)= \nu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>.

== Abgeleitete Begriffe ==
=== Positive und negative Mengen ===
Eine Menge <math> A \in \mathcal A </math> wird eine '''positive Menge''' genannt, wenn für jede weitere Menge <math> B \subset A </math> mit <math> B \in \mathcal A </math> gilt, dass
: <math> \nu(B) \geq 0 </math>.

Ebenso wird eine Menge <math> A \in \mathcal A </math> eine '''negative Menge''' genannt, wenn für jede weitere Menge <math> B \subset A </math> mit <math> B \in \mathcal A </math> gilt, dass
: <math> \nu(B) \leq 0 </math>.

Eine Menge <math>A \in \mathcal{A}</math> heißt '''[[Nullmenge]],''' wenn für jede weitere Menge <math>B \in \mathcal{A}</math> mit <math>B \subset A</math> gilt, dass
: <math>\nu(B) = 0</math>.
Äquivalent dazu ist <math>A</math> eine Nullmenge genau dann, wenn <math>A</math> eine positive und eine negative Menge ist.

=== Signierter Maßraum ===
Ist <math> \mathcal A </math> eine σ-Algebra über der Grundmenge <math> \Omega </math> und <math> \nu </math> ein signiertes Maß, so nennt man das Tripel <math> (\Omega, \mathcal A, \nu )</math> einen '''signierten Maßraum'''.

=== Endliches signiertes Maß ===
Ein signiertes Maß <math> \nu </math> heißt endlich, wenn <math> |\nu(A)|< \infty </math> für alle <math> A \in \mathcal A </math>.
Dies ist äquivalent zu <math> |\nu(\Omega)|< \infty </math> oder zur Endlichkeit der [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] von <math> \nu </math>.

=== σ-endliches signiertes Maß ===
Ein signiertes Maß heißt σ-endlich, wenn es eine Folge <math> (A_n)_{n \in \N} </math> von Mengen aus <math> \mathcal A </math> gibt, so dass
:<math> \Omega= \bigcup_{n \in \N} A_n </math>

und <math> |\nu(A_n)| < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math>. Dies ist äquivalent dazu, dass die Variation von <math> \nu </math> ein [[Sigma-endliches Maß|σ-endliches Maß]] ist.

=== Reguläres signiertes Maß ===
Ein endliches signiertes Maß auf einem [[Hausdorff-Raum]], versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]], heißt regulär, wenn die Variation des signierten Maßes ein [[reguläres Maß]] ist.

== Wichtige Aussagen ==
=== Hahn-Jordan-Zerlegung ===
{{Hauptartikel|Hahn-Jordan-Zerlegung}}
Die Hahn-Jordan-Zerlegung liefert eine Aufteilung eines signierten Maßes. Dabei wird entweder die Grundmenge auf fast eindeutige Weise in eine positive Menge und eine negative Menge zerlegt (Hahnscher Zerlegungssatz) oder das signierte Maß wird in zwei (gewöhnliche) Maße aufgeteilt, von denen mindestens eines endlich ist und die zusammen das signierte Maß ergeben (Jordanscher Zerlegungssatz).

Zu jedem signierten Maß <math> \mu </math> existieren also eine positive Menge <math> P </math> und eine negative Menge <math> N </math>, so dass <math> N \cup P = \Omega </math> und <math> N \cap P = \emptyset </math> ist.

Ebenso existieren Maße <math> \mu^+, \mu^- </math> (die sogenannte [[positive Variation]] und die [[negative Variation]]), von denen mindestens eines endlich ist, die [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander sind und für die <math> \mu= \mu^+-\mu^- </math> gilt.

Es gilt dann
:<math> \mu^+(A)=\mu(P\cap A), \quad \mu^-(A)= -\mu(N \cap A) </math>.

Das Maß <math> |\mu|= \mu^+ + \mu^- </math> nennt man dann die [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] von <math> \mu </math>, die Zahl <math> |\mu|(\Omega) </math> die [[Totalvariationsnorm]] des signierten Maßes.

=== Satz von Radon-Nikodym ===
{{Hauptartikel|Satz von Radon-Nikodym}}
Ist <math>\mu</math> ein [[σ-endliches Maß|σ-endliches]] Maß auf dem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(X,\mathcal{A})</math> und ist <math>\nu</math> ein signiertes Maß, das [[Absolut stetiges Maß|absolut stetig]] bezüglich <math>\mu</math> ist (<math>\nu \ll \mu </math>), so besitzt <math>\nu</math> eine Dichtefunktion bezüglich <math>\mu</math>, das heißt, es existiert eine [[messbare Funktion]] <math>f\colon X \to \R</math>, so dass
:<math>\nu(E) = \int_{E} f \,\mathrm{d}\mu</math> für alle <math>E \in \mathcal A</math>.

=== Zerlegungssatz von Lebesgue ===
{{Hauptartikel|Zerlegungssatz von Lebesgue}}
Ist <math>\mu</math> ein σ-endliches Maß auf dem Messraum <math>(X,\mathcal{A})</math> und ist <math>\nu</math> ein σ-endliches signiertes Maß, so existiert genau eine Zerlegung <math> \nu= \tau+ \pi </math> mit signierten Maßen <math> \tau , \pi </math>, so dass <math> \tau </math> absolut stetig bezüglich <math> \mu </math> ist und <math> \pi </math> singulär bezüglich <math> \mu </math> ist.

=== Satz von Vitali-Hahn-Saks ===
{{Hauptartikel|Satz von Vitali-Hahn-Saks}}
Der Satz von Vitali-Hahn-Saks besagt, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein signiertes Maß definiert.

== Räume signierter Maß ==
Im Gegensatz zu den Maßen bilden die signierten Maße auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] einen reellen [[Vektorraum]], wenn sie endlich sind. Insbesondere ist jede reelle [[Linearkombination]] signierter Maße ebenfalls ein signiertes Maß. Die Maße bilden dann einen [[Konvexer Kegel|konvexen Kegel]] in diesem Vektorraum. Wichtige [[Konvexe Menge|konvexe Teilmengen]] sind die [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e und die [[Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß]]e.

Versieht man den Vektorraum der endlichen signierten Maße mit der [[Totalvariationsnorm]] als [[Norm (Mathematik)|Norm]], so erhält man einen [[Normierter Raum|normierten Raum]]. Dieser Raum ist sogar [[Vollständiger Raum|vollständig]], es handelt sich also um einen [[Banachraum]].

Dieser Raum kann noch mit einer Ordnungsstruktur versehen werden, diese wird definiert als
:<math> \mu \leq \nu \; \iff \, \mu(A) \leq \nu (A) \quad \text{für alle } A \in \mathcal A </math>.

Damit werden die endlichen signierten Maße zum [[Riesz-Raum]] und sogar zum [[Banach-Verband]]. Außerdem ist er [[ordnungsvollständig]].

Reguläre signierte Maße treten beispielsweise auch in der [[Funktionalanalysis]] als [[Dualraum]] der im unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen, der sogenannten [[C0-Funktion|C<sub>0</sub>-Funktionen]], auf.

== Anwendungen ==
Mit signierten Maßen lassen sich zum Beispiel Verteilungen von positiven und negativen Ladungen in einem Stoff modellieren.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
*{{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
*{{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Signiertes Maß - Versionsgeschichte

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