imported>Christian1985: /* Signatur einer Mannigfaltigkeit */

2026-01-01T15:03:01Z

Signatur einer Mannigfaltigkeit

Neue Seite

Die '''Signatur''' (auch '''Trägheitsindex''' oder '''Index''') ist ein Objekt aus der [[Mathematik]], das vor allem in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] aber auch in unterschiedlichen Bereichen der [[Differentialgeometrie]] betrachtet wird. Genau handelt es sich um ein [[Tupel|Zahlentripel]], das eine [[Invariante (Mathematik)|Invariante]] einer [[Symmetrische Bilinearform|symmetrischen Bilinearform]] ist. Dieses Zahlentripel ist also insbesondere unabhängig von der Basiswahl, bezüglich der die Bilinearform dargestellt wird. Grundlegend für die Definition der Signatur ist der [[Trägheitssatz von Sylvester]], benannt nach dem Mathematiker [[James Joseph Sylvester]]. Daher wird die Signatur manchmal auch '''Sylvester-Signatur''' genannt.

== Definition ==
Sei <math>V</math> ein endlichdimensionaler reeller [[Vektorraum]] und <math>s\colon V \times V \rightarrow \R</math> eine [[symmetrische Bilinearform]] mit der [[Bilinearform#Koordinatendarstellung|Darstellungsmatrix]]
:<math>A := \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0\\
0 & \ddots & 0 & & & & & & \vdots\\
0 & 0 & 1 & 0 & & & & & 0\\
0 & & 0 & -1 & 0 & & & & 0\\
\vdots & & & 0 & \ddots & 0 & & & \vdots\\
0 & & & & 0 &-1 & 0 & & 0\\
0 & & & & & 0 & 0 & 0 & 0\\
\vdots & & & & & & 0 & \ddots & 0\\
0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>.

Diese Matrix hat auf der [[Hauptdiagonale]]n die Einträge <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>0</math>, alle anderen Koeffizienten sind <math>0</math>.

Mit <math>r_+(s)</math> wird nun die Anzahl der <math>1</math>-Einträge, mit <math>r_-(s)</math> die Anzahl der <math>-1</math>-Einträge und mit <math>r_0(s)</math> die Anzahl der 0-Einträge bezeichnet. Dann heißt das Tripel
:<math>\sigma(s) := (r_+(s), r_-(s), r_0(s))</math>
Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von <math>s</math>. Da nach dem [[Trägheitssatz von Sylvester]] jede symmetrische Bilinearform eine [[Diagonalmatrix]] wie <math>A</math> als Darstellungsmatrix besitzt, ist die Signatur für alle symmetrischen Bilinearformen [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]].

Stehen auf der Hauptdiagonalen der Darstellungsmatrix <math>A</math> keine Null-Einträge (ist also die symmetrische Bilinearform [[Ausgeartete Bilinearform|nicht ausgeartet]]), dann wird der Koeffizient <math>r_0(s)</math> auch manchmal weggelassen und man nennt das Tupel
:<math>\sigma(s) := (r_+(s), r_-(s))</math>
die Signatur von <math>s</math>.
Gelegentlich wird auch
:<math>\operatorname{sign}(s):=r_+(s)-r_-(s)</math>

als Signatur bezeichnet (insbesondere, wenn keine Ausartung vorliegt). Mitunter wird <math>r_-(s)</math> auch ''Index'' genannt.<ref>Abraham, Marsden, Ratiu, S. 398.</ref>

Der Begriff der Signatur wird auch für [[Symmetrische Matrix|symmetrische Matrizen]] <math>A \in \R^{n \times n}</math> verwendet. Er bezeichnet dann die Signatur der durch <math>s(x,y) = x^T A y</math> für <math>x,y \in \R^n</math> definierten symmetrischen Bilinearform.

== Signatur der Minkowski-Metrik ==
Ein wichtiges Beispiel aus der Physik ist die [[Minkowski-Metrik]] der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]]. Dies ist eine symmetrische Bilinearform mit der Darstellungsmatrix
:<math>\eta=\pm \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}</math>.
Dabei steht der Eintrag <math>\eta_{00}</math> links oben in der Matrix für die Zeitkoordinate, welche das entgegengesetzte [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zu den übrigen drei räumlichen Koordinaten besitzt. Die Signatur <math>(1,3)</math>, in der die Zeit ein positives Vorzeichen hat, wird auch als <math>(+,-,-,-)</math> geschrieben und in englischsprachiger Literatur {{lang|en|''West Coast convention''}} genannt. Die umgekehrte Signatur <math>(3,1)</math> als <math>(-,+,+,+)</math> geschrieben und {{lang|en|''East Coast convention''}} genannt.<ref>{{Literatur|Titel=What Makes Time Special?|Autor=Craig Callender|Verlag=Oxford University Press|Jahr=2017|ISBN=9780198797302|Seiten=123|Online={{Google Buch|BuchID=1joqDwAAQBAJ|Seite=123}}}}</ref>

Mithilfe der Signatur der Metrik lässt sich ein Vektor <math>u</math> anhand seines Skalarprodukts <math>\eta(u,u)</math> als zeitartig, lichtartig oder raumartig klassifizieren. So gilt für die {{lang|en|''East Coast convention''}} <math>(-,+,+,+)</math>:
* <math>\eta(u,u)>0</math> raumartig
* <math>\eta(u,u)=0</math> lichtartig
* <math>\eta(u,u)<0</math> zeitartig
und für die {{lang|en|''West Coast convention''}} <math>(+,-,-,-)</math>:
* <math>\eta(u,u)>0</math> zeitartig
* <math>\eta(u,u)=0</math> lichtartig
* <math>\eta(u,u)<0</math> raumartig

== Algorithmus zur Bestimmung der Signatur ==
Um die Signatur einer symmetrischen Bilinearform <math>s\colon V \times V \rightarrow \R</math> zu berechnen, muss nicht notwendigerweise der [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] der Darstellungsmatrix von <math>s</math> ermittelt werden. Nachdem eine beliebige Darstellungsmatrix <math>B</math> (nicht notwendigerweise in Diagonalform) der symmetrischen Bilinearform <math>s</math> bestimmt wurde, kann diese auch als eine Darstellungsmatrix eines [[Endomorphismus]] aufgefasst werden. Von dieser Matrix kann man dann die [[Eigenwert]]e bestimmen. Bezeichnet man dann mit <math>r_+(s)</math> die Anzahl der positiven Eigenwerte, mit <math>r_-(s)</math> die Anzahl der negativen Eigenwerte und mit <math>r_0(s)</math> die Vielfachheit des Eigenwerts <math>0</math>, dann entspricht
:<math>\sigma(s) := (r_+(s), r_-(s), r_0(s))</math>
der Signatur von <math>s</math>.

=== Beispiel ===
Sei <math>s(x,y) = \tfrac{1}{2}x_1y_2 + \tfrac{1}{2} y_1x_2</math> eine symmetrische Bilinearform. So hat die darstellende Matrix der [[Kanonische Basis|kanonischen Basis]] die Form
:<math> M_\mathcal{K}(s) = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} </math>.
Fasst man diese Matrix zwischenzeitlich als selbstadjungierten Endomorphismus von <math>\R^2</math> auf, so weiß man auf Grund des [[Spektralsatz]]es, dass es eine [[Orthonormalbasis]] aus [[Eigenvektor]]en gibt, sodass <math>S^t M_\mathcal{K}(s) S</math> Diagonalgestalt hat. Multipliziert man jeden Eigenvektor noch mit <math>|\lambda_i|^{-\frac{1}{2}}</math>, wobei <math>\lambda_i</math> der entsprechende Eigenwert ist, und führt dann die Basistransformation durch, so erhält man eine Diagonalmatrix mit Einträgen 1 und −1 auf der Diagonalen. Hier kann man direkt die Signatur ablesen. In unserem konkreten Beispiel lauten die Eigenwerte <math>\tfrac{1}{2}</math> und <math>-\tfrac{1}{2}</math> und die orthonormalen Eigenvektoren <math>\textstyle \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)</math> und <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix}1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)</math>. Multipliziert man diese Basis noch wie oben beschrieben mit <math>|\lambda_i|^{-\frac{1}{2}}</math>, so erhält man als Transformationsmatrix
:<math> T = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>
und die Basistransformation sieht folgendermaßen aus:
:<math> T^t M_\mathcal{K}(s) T = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
Also hat die der Matrix zugeordnete Bilinearform die Signatur <math>(1,1,0)</math>. Bei diesem Beispiel muss man allerdings beachten, dass Bilinearformen keine Eigenwerte besitzen und dass der Weg über die Eigenwerte nur ein Trick zum Rechnen ist.

Die obige Diagonalform ließe sich auch mit dem [[Gauß-Algorithmus]] berechnen, indem Umformungen immer gleichermaßen auf Zeilen und Spalten angewendet werden.

== Spezialfall ==

Gegeben ist eine symmetrische, nicht-singuläre Matrix. Dann ist die Signatur gegeben durch:

:<math>\mathrm{sign}(A) = \mathrm{sgn}(A_1) + v_g - v_a\;.</math>

Hierbei bezeichnet <math>A_1</math> den ersten [[Minor (Mathematik)|Hauptminor]] von <math>A</math>. Die beiden anderen Größen ergeben sich bei Berechnung der [[Determinante (Mathematik)|Determinanten]] der weiteren Minoren, wobei nur das Vorzeichen wichtig ist. <math>v_g</math> ist die Anzahl an gleichbleibenden Vorzeichen von <math>\det(A_k)</math> nach <math>\det(A_{k+1})</math> und <math>v_a</math> die Anzahl an [[Vorzeichenwechsel]] von <math>\det(A_k)</math> nach <math>\det(A_{k+1})</math>.

== Die Signatur in der Differentialgeometrie ==
=== Signatur einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit ===
{{Hauptartikel|Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit}}

In der [[Differentialgeometrie]] verallgemeinert man symmetrische Bilinearformen auf [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en in Form symmetrischer kovarianter glatter [[Tensorfeld]]er zweiter Stufe. Ein solches Tensorfeld wirkt dann in jedem Punkt auf dem jeweiligen [[Tangentialraum]] als Bilinearform. Ist die Signatur der jeweiligen Bilinearform in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit dieselbe und sind diese nicht ausgeartet, so spricht man von einer Pseudo-Riemannschen Metrik und nennt eine Mannigfaltigkeit, die mit einer solchen Metrik versehen ist, ''[[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit]]''. Solche Mannigfaltigkeiten sind Untersuchungsgegenstand der [[Pseudo-riemannsche Geometrie|Pseudo-Riemannschen Geometrie]] und spielen eine wichtige Rolle in der Physik.

=== Signatur einer Mannigfaltigkeit ===
{{Hauptartikel|Signatur (Topologie)}}

In der [[Globale Analysis|globalen Analysis]], einem Teilbereich der Differentialgeometrie, betrachtet man die Signatur einer Mannigfaltigkeit. Um die Signatur eines solchen „gekrümmten Raums“ zu definieren, wird eine spezielle Bilinearform gewählt und festgelegt, dass ihre Signatur die Signatur der Mannigfaltigkeit ist. Der [[Signatursatz von Hirzebruch]] ist eine zentrale Aussage in diesem Kontext. Er setzt die Signatur, die eine Invariante der Bilinearform ist, mit einer Invarianten der Mannigfaltigkeit in Verbindung.

Sei <math>M</math> eine [[Kompakter Raum|kompakte]], [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] [[glatte Mannigfaltigkeit]], deren Dimension <math>n</math> durch <math>4</math> teilbar ist. Außerdem wird mit <math>H^{*}(M)</math> die [[De-Rham-Kohomologie]] von <math>M</math> bezeichnet. Betrachte die [[Bilinearform]] <math>s \colon H^\frac{n}{2}(M) \times H^\frac{n}{2}(M) \to \R</math>, die durch
:<math>(\alpha, \beta) \mapsto \int_M \alpha \wedge \beta</math>
definiert ist. Diese ist symmetrisch und aufgrund der [[Poincaré-Dualität]] nichtausgeartet, das heißt <math>r_0(s) = 0</math>. Dann ist die Signatur <math>\operatorname{sign}(M)</math> der Mannigfaltigkeit <math>M</math> definiert als die Signatur <math>\operatorname{sign}(s)</math> der Bilinearform <math>s</math>, das heißt<ref>Nicole Berlin, [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat Kernels and Dirac Operators''. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20062-2, S. 128–129.</ref>
:<math>\operatorname{sign}(M) := \operatorname{sign}(s) = r_+(s) - r_-(s).</math>

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra.'' Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.
* {{Literatur|Autor=R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu|Titel=Manifolds, Tensor Analysis, and Applications|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Ort=Berlin|Jahr=2003|ISBN=3-540-96790-7}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Signatur (Lineare Algebra) - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Signatur einer Mannigfaltigkeit */