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2026-04-21T07:14:09Z

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Der '''Sierpinski-Teppich''' ist ein [[Fraktal]], das auf den polnischen Mathematiker [[Wacław Sierpiński]] zurückgeht und das dieser in einer ersten Beschreibung im Jahre 1916 vorgestellt hat. Es ist verwandt mit dem [[Sierpinski-Dreieck]] und dem [[Menger-Schwamm]].<ref name="Alexandroff">P. S. Alexandroff: ''Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie.'' 1984, S. 191–192.</ref><ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik.'' 2015, S. 225–226.</ref>

== Konstruktionsskizze ==
[[Datei:Animated Sierpinski carpet.gif|mini|Schrittweise Konstruktion des Sierpinski-Teppichs]]

Aus einem [[Quadrat]] wird in der Mitte ein <math>\tfrac{1}{9} </math> der [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] entfernt. Aus den um das Loch verbliebenen 8 [[Quadratisch|quadratischen]] Feldern wird wiederum je ein <math>\tfrac{1}{9} </math> der Fläche entfernt und so weiter.

{| cellspacing="10"
|-
|[[Datei:Sierpinski carpet 0.svg|122px|rand]]||[[Datei:Sierpinski carpet 1.svg|122px|rand]]||[[Datei:Sierpinski carpet 2.svg|122px|rand]]||[[Datei:Sierpinski carpet 3.svg|122px|rand]]||[[Datei:Sierpinski carpet 4.svg|122px|rand]]||[[Datei:Sierpinski carpet 5.svg|122px|rand]]
|- align="center"
|Stufe 0||Stufe 1||Stufe 2||Stufe 3||Stufe 4||Stufe 5
|}

Die [[fraktale Dimension]] des ''Sierpinski-Teppichs'' beträgt <math> \frac{\ln 8}{\ln 3}\approx 1{,}8928</math> – insbesondere ist sein [[Flächeninhalt]] (im [[Lebesgue-Maß]]) gleich 0.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/SierpinskiCarpet.html Sierpiński Carpet]</ref>

Die Konstruktion ähnelt stark der Konstruktion der [[Cantor-Menge]], dort wird aus einer [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] der mittlere Teil entfernt, oder dem [[Sierpinski-Dreieck]], bei dem aus einem Dreieck der Mittelteil entfernt wird.

Die Verallgemeinerung des Sierpinski-Teppichs in 3 [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] ist der [[Menger-Schwamm]].<ref>Larry Riddle, Agnes Scott College: [https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/carpet/carpet.htm Sierpinski Carpet]</ref>

== Mathematische Zusammenhänge ==
Als klassisches [[Fraktal]] ist der Sierpinski-Teppich ein Musterbeispiel für exakte [[Selbstähnlichkeit]]: Die in jedem Schritt erzeugten Teilquadrate enthalten verkleinerte exakte Kopien des gesamten Fraktals. Eine passende [[Größenordnung|Skalierung]] eines beliebigen [[Quadratisch|quadratischen]] Teils des Fraktals erscheint wie das Gesamtobjekt selbst. Es ist somit ''skaleninvariant''.

Nach <math>k</math> [[Iteration]]sschritten bleiben <math>8^k</math> Teilquadrate ''gleicher'' Seitenlänge übrig und es werden <math>\frac{8^k - 1}{7}</math> [[Quadrat]]e ''verschiedener'' Seitenlänge entfernt.

Die folgende [[Tabelle]] zeigt die Anzahlen der verschiedenen Teilquadrate des Sierpinski-Teppichs nach <math>k</math> [[Iteration]]sschritten für <math>k \leq 4</math>:
{| class="wikitable" style="text-align:right"
! colspan="5" |Anzahl der Teilquadrate
|-
!Iterationsschritt
!übriggeblieben
!neu gelöscht
!insgesamt gelöscht
!insgesamt
|-
!k
|8k
|8k − 1
|(8k − 1) / 7
|(8k + 1 − 1) / 7
|-
!0
|1
|0
|0
|1
|-
!1
|8
|1
|1
|9
|-
!2
|64
|8
|9
|73
|-
!3
|512
|64
|73
|585
|-
!4
|4096
|512
|585
|4681
|}

=== Flächeninhalt ===
Mit jedem Iterationsschritt verringert sich der ''gesamte'' [[Flächeninhalt]], der am Anfang <math> A_0 = a^2</math> beträgt, um <math>\frac{1}{9}</math>, oder anders ausgedrückt, er [[Multiplizieren|multipliziert]] sich mit dem Faktor <math>\frac{8}{9}</math>. Der Flächeninhalt des verbliebenen Sierpinski-Teppichs lässt sich als [[Folge (Mathematik)|Folge]] darstellen: Ist <math> a</math> die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats, so gilt für die explizite Darstellung <math>A_k = \left(\frac{8}{9}\right)^k \cdot a^2 </math> und für die [[Rekursion|rekursive]] Darstellung <math>A_{k+1} = A_k - \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^k \cdot a^2</math>, <math> A_0 = 1 </math>. Er teilt sich auf <math>8^k</math> Teilquadrate mit der Seitenlänge <math>\frac{a}{3^k}</math> auf. Der Flächeninhalt der übriggebliebenen Teilquadrate geht gegen 0, wenn die Anzahl <math>k</math> der Schritte sehr groß wird und gegen [[Unendlichkeit|unendlich]] geht. Formal lässt sich das mit <math> \lim_{k \to \infty} A_k = \lim_{k \to \infty} \left(\tfrac{8}{9}\right)^k \cdot a^2 = 0</math> ausdrücken.

=== Zusammenhang mit dem Quadratgitter ===
[[Datei:Tiling Regular 4-4 Square.svg|mini|[[Quadratgitter]]]]

Der Sierpinski-Teppich steht im Zusammenhang mit dem [[Quadratgitter]], das die [[euklidische Ebene]] vollständig mit [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Quadrat]]en ausfüllt (siehe Abbildung). Dieses Quadratgitter ist [[spiegelsymmetrisch]], [[punktsymmetrisch]], [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[Translationssymmetrie|translationssymmetrisch]] und eine sogenannte [[platonische Parkettierung]] (englisch: ''uniform tiling'').

Das [[Quadratgitter]] ist eine feinere Zerlegung des Sierpinski-Teppichs nach dem [[Iteration]]sschritt <math>k</math>. Dabei werden die gelöschten [[Quadrat]]e des Iterationsschritts <math>i</math>, deren Seitenlänge um den Faktor <math>3^{k - i}</math> größer als die Seitenlänge der übriggebliebenen Quadrate ist, jeweils in <math>(3^{k - i})^2 = 9^{k - i}</math> [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Quadrate mit dieser Seitenlänge zerlegt. Das äußere Gebiet, das theoretisch ins [[Unendlichkeit|Unendliche]] der [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] [[Ebene Geometrie|Ebene]] geht, wird ebenfalls in solche Quadrate zerlegt. Der Sierpinski-Teppich nach dem Iterationsschritt <math>k</math> überdeckt ziemlich offensichtlich <math>9^k</math> Quadrate des Quadratgitters.

== Programmierung ==
Das folgende [[Java-Applet]] zeichnet einen Sierpinski-Teppich mit Hilfe einer [[Rekursive Programmierung|rekursiven]] [[Methode (Programmierung)|Methode]]:<ref>Rosetta Code: [https://rosettacode.org/wiki/Sierpinski_carpet Sierpinski carpet]</ref>
<syntaxhighlight lang="java">
import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class SierpinskiCarpet extends Applet
{
private Graphics graphics = null;

public void init()
{
graphics = getGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen im Applet.
resize(729, 729); // Größe des Fensters auf Breite und Höhe 3^6 = 729 setzen
}

public void paint(Graphics graphics)
{
// Rekursion starten
drawSierpinskiCarpet(0, 0, getWidth(), getHeight()); // Aufruf der rekursiven Methode
}

private void drawSierpinskiCarpet(int x, int y, int breite, int hoehe)
{
if (breite >= 3 && hoehe >= 3) // Wenn Breite und Höhe mindestens 3 Pixel, dann Quadrat ausfüllen und in 8 Teilquadrate zerlegen
{
int b = breite / 3;
int h = hoehe / 3;
graphics.fillRect(x + b, y + h, b, h); // Quadrat ausfüllen
for (int k = 0; k < 9; k++) // for Schleife für das Zerlegen in 8 Teilquadrate
{
if (k != 4) // Das mittlere Teilquadrat wird nicht ausgefüllt.
{
int i =(k -1) / 3; // Spaltenindex des Teilquadrats
int j = k % 3; // Zeilenindex des Teilquadrats
drawSierpinskiCarpet(x + i * b, y + j * h, b, h); // Rekursive Aufrufe der Methode für das Zerlegen des aktuellen Quadrats in 8 Teilquadrate mit 1/3 der Breite und Höhe.
}
}
}
}
}
</syntaxhighlight>

== Topologie ==
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] betrachtet man den Sierpinski-Teppich als [[Unterraum#Topologischer Raum|Unterraum]] des mit der [[Euklidischer Abstand|euklidischen Metrik]] versehenen <math>{\R}^2</math>. Er stellt ein im <math>{\R}^2</math> [[Nirgends dichte Menge|nirgends dichtes]], [[Lokal zusammenhängender Raum|lokal zusammenhängendes]], [[metrisches Kontinuum]] dar und gilt – zusammen mit dem [[Sierpinski-Dreieck]] – nicht zuletzt deswegen als besonders bemerkenswerter [[topologischer Raum]].<ref name="Alexandroff" />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Pavel Aleksandrov|P. S. Alexandroff]]
|Titel=Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=85
|Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1984
|ISBN=}}
* {{Literatur
|Autor=Claudi Alsina, Roger B. Nelsen
|Titel=Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2015
|ISBN=978-3-662-45460-2
|DOI=10.1007/978-3-662-45461-9}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commons|Sierpinski carpet|Sierpinski-Teppich}}

[[Kategorie:Fraktale Geometrie]]
[[Kategorie:Topologie]]

Sierpinski-Teppich - Versionsgeschichte

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