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2019-09-19T19:46:57Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den Shiftoperator aus der Mathematik. Für die Shiftoperatoren aus der Informatik siehe [[Bitweiser Operator]].}}
'''Shiftoperatoren''' (Shift-Operatoren, Verschiebeoperatoren, Verschiebungsoperatoren) werden im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] betrachtet. Beim ''unilateralen Shiftoperator'' (s. u.) handelt es sich um einen konkreten nicht[[normaler Operator|normalen]] [[linearer Operator|Operator]] auf einem [[Hilbertraum]]. Dieser Operator hat viele Eigenschaften, zu denen es keine endlichdimensionale Entsprechung gibt.

== Definition ==
Ein unendlichdimensionaler [[Separabler Raum|separabler]] Hilbertraum ist nach dem [[Satz von Fischer-Riesz]] [[Isometrie|isometrisch]] [[Isomorphismus|isomorph]] zu <math>\textstyle \ell^2(I) := \{(a_i)_{i\in I} \in {\mathbb C}^I; \,\sum_{i\in I}|a_i|^2 < \infty\}</math>, wobei <math>I</math> eine [[abzählbar unendlich]]e Menge ist, zum Beispiel <math>I={\mathbb Z}</math> oder <math>I={\mathbb N}</math>. Der Operator

:<math>W:\ell^2({\mathbb Z}) \rightarrow \ell^2({\mathbb Z}), \,\, (a_n)_{n\in{\mathbb Z}} \mapsto (a_{n-1})_{n\in{\mathbb Z}} </math>

heißt ''bilateraler Shiftoperator''.

:<math>S:\ell^2({\mathbb N}) \rightarrow \ell^2({\mathbb N}), \,\, (a_n)_{n\in{\mathbb N}} \mapsto (0,a_1,a_2,\ldots) </math>

heißt ''unilateraler Shiftoperator''. Die Bezeichnung ''Shiftoperator'' rührt daher, dass diese Operatoren die Folgenglieder um eine Indexposition verschieben. Beim bilateralen Shiftoperator sind Indizes auf beiden Seiten der Null betroffen, positive wie negative, beim unilateralen Shiftoperator nur die Indizes einer Seite, nämlich nur die positiven. In der mathematischen Literatur steht ''Shiftoperator'', ohne weiteren Zusatz, in der Regel für den unilateralen Shiftoperator. Oft lässt man auch den Wortbestandteil ''Operator'' fort und spricht einfach vom ''Shift''.

Fasst man <math>\ell^2({\mathbb N})</math> als Unterraum von <math>\ell^2({\mathbb Z})</math> auf, indem man <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots)</math> mit <math>(\ldots,0,a_1,a_2,a_3,\ldots)</math> identifiziert, so sieht man, dass <math>S=W|_{\ell^2({\mathbb N})}</math> ist, das heißt, der unilaterale Shiftoperator ist eine Einschränkung des bilateralen Shiftoperators.

== Der bilaterale Shift ==
Der bilaterale Shift <math>W</math> ist ein [[unitärer Operator]], die [[Umkehrfunktion|Umkehrung]] ist der [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]]

<math>W^*:\ell^2({\mathbb Z}) \rightarrow \ell^2({\mathbb Z}), \,\, (a_n)_{n\in{\mathbb Z}} \mapsto (a_{n+1})_{n\in{\mathbb Z}} </math>.

Das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] des bilateralen Shifts ist die gesamte Kreislinie, das heißt
<math>\sigma(W) = \{\lambda\in{\mathbb C};\,|\lambda|=1\}</math>. Kein Element des Spektrums ist ein [[Eigenwert]].

== Der unilaterale Shift ==
Der unilaterale Shift <math>S</math> ist eine [[Isometrie]], die nicht [[Surjektivität|surjektiv]] ist, denn das Bild ist die Menge aller Folgen aus <math>\ell^2({\mathbb N})</math>, deren erste Komponente 0 ist. Damit ist <math>S</math> ein [[Injektivität|injektiver]] linearer Operator, der nicht surjektiv ist; dies ist ein Phänomen, das in der Theorie der endlichdimensionalen Räume, das heißt in der [[lineare Algebra|linearen Algebra]], nicht vorkommt.

Der [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] ist

<math>S^* \colon \ell^2({\mathbb N}) \rightarrow \ell^2({\mathbb N}), \,\, (a_n)_{n\in{\mathbb N}} \mapsto (a_2,a_3,\ldots) </math>.

Damit folgt sofort <math>S^*S=id</math> und <math>SS^* = P_{im(S)}</math>, wobei letzteres für die [[Orthogonalprojektion]] auf das Bild von <math>S</math> steht. Insbesondere ist <math>S</math> nicht [[normaler Operator|normal]]. Man kann sogar zeigen, dass der Shiftoperator von jedem unitären Operator genau den maximal möglichen Normabstand 2 hat.

=== Das Spektrum des Shiftoperators ===
Das Spektrum von <math>S</math> ist die volle Kreisscheibe: <math>\sigma(S)= \{\lambda\in{\mathbb C};\,|\lambda|\le 1\}</math>. Keiner der Spektralpunkte ist ein [[Eigenwert]]. Die Spektralpunkte <math>\lambda</math> mit <math>|\lambda|=1</math> sind aber sogenannte ''approximative Eigenwerte'', das heißt, es gibt eine Folge <math>(x_n)_n</math> von Vektoren mit [[Skalarproduktnorm|Norm]] 1, so dass <math>\|Sx_n-\lambda x_n\|\to 0</math>. Für die inneren Spektralpunkte <math>\lambda</math> mit <math>|\lambda|<1</math> gilt das nicht.

Das Spektrum des adjungierten Operators <math>S^*</math> ist ebenfalls die volle Kreisscheibe und der Kreisrand besteht ebenfalls aus lauter approximativen Eigenwerten, die keine echten Eigenwerte sind. Die inneren Spektralpunkte <math>\lambda</math> mit <math>|\lambda|<1</math> sind sämtlich Eigenwerte von <math>S^*</math>. Die zugehörigen [[Eigenraum|Eigenräume]] sind alle eindimensional, der Eigenraum zu <math>\lambda</math> wird von <math>(1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\ldots)</math> erzeugt.

=== Der Shiftoperator als Fredholm-Operator ===
Der Shiftoperator <math>S</math> ist ein [[Fredholm-Operator]] mit <math>\mathrm{ind}(S) = \mathrm{dim} (\mathrm{ker} (S)) - \mathrm{codim} (\mathrm{im}(S)) = -1</math>. Daher ist das Bild <math>\pi(S)</math> in der [[Calkin-Algebra]] unitär, was man aber auch ohne den Begriff des Fredholm-Operators den Formeln <math>S^*S=id</math> und <math>SS^* = P_{im(S)}</math> entnimmt. Das Spektrum von <math>\pi(S)</math> ist die Kreislinie.

=== Wold-Zerlegung ===
Ein stetiger linearer Operator <math>T</math> auf einem Hilbertraum H ist unitär äquivalent zum Shiftoperator, wenn es einen unitären Operator <math>U:H\rightarrow \ell^2({\mathbb N})</math> gibt mit <math>T = U^*SU</math>. Ist <math>T</math> irgendein Operator auf <math>H</math>, so heißt ein Unterraum <math>V\subset H</math> ''invariant'' (bezüglich <math>T</math>), falls <math>T(V)\subset V</math>.
Mit diesen Begriffen kann man nun alle Isometrien auf einem Hilbertraum beschreiben. Eine Isometrie ist im Wesentlichen eine direkte Summe aus einem unitären Operator und einigen Shiftoperatoren, genauer:

* Ist <math>T</math> eine Isometrie auf einem Hilbertraum <math>H</math>, so zerfällt <math>H</math> in eine direkte Summe <math>\textstyle G \oplus \bigoplus_{i\in I}H_i</math> invarianter Unterräume, so dass <math>T|_{G}</math> unitär ist und jeder Operator <math>T|_{H_i}</math> unitär äquivalent zum Shiftoperator ist.

Dabei kann <math>G=\{0\}</math> sein, das heißt, der unitäre Anteil der Isometrie verschwindet, aber auch <math>G=H</math> und somit <math>I=\emptyset</math>, dann ist die Isometrie unitär. Diese Darstellung einer Isometrie nennt man auch ihre ''Wold-Zerlegung'' oder ''Wold-von Neumann-Zerlegung'' (nach [[Herman Wold]] und [[John von Neumann]]).

=== Der Shiftoperator auf H<sup>2</sup> ===
Sei <math>\Gamma = \{\lambda \in {\mathbb C};\,|\lambda|=1\}</math> die Kreislinie und <math>\mu</math> das auf 1 normierte [[Lebesgue-Maß]] auf <math>\Gamma</math>, das heißt das [[Bildmaß]] des Lebesgue-Maßes auf dem Einheitsintervall [0,1] unter der Abbildung <math>t\to e^{2\pi it}</math>. <math>H^2</math>, der sogenannte [[Hardy-Raum]], ist definiert als der von den Funktionen <math>z\mapsto z^n, n=0,1,2,\ldots</math> erzeugte Unterraum im Hilbertraum <math>L^2(\Gamma,\mu)</math>.

Man kann zeigen, dass die Multiplikation mit der Funktion <math>id_\Gamma:z\mapsto z</math> einen stetigen, linearen Operator auf <math>H^2</math> definiert. Da die Funktionen <math>z\mapsto z^n</math> eine [[Orthogonalbasis]] des Hardy-Raums bilden, ist dieser Operator unitär äquivalent zum Shiftoperator, und man bezeichnet ihn auch einfach als Shiftoperator. In dieser speziellen Darstellung des Shiftoperators erscheint der Shiftoperator als ein Multiplikationsoperator.

== Quellen ==
* [[Paul Halmos]]: A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 0387906851

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Shiftoperator - Versionsgeschichte

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