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2026-02-28T07:33:11Z

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'''Shephards Lemma''' (auch '''Lemma von Shephard''') besagt in der [[Haushaltstheorie]], dass die [[Hicks’sche Nachfragefunktion]] nach einem Gut der Ableitung der [[Ausgabenfunktion]] nach dem Preis dieses Gutes entspricht. In der [[Theorie des Unternehmens]] besagt es, dass die bedingte Faktornachfrage nach einem Produktionsfaktor der Ableitung der [[Kostenfunktion (Wirtschaft)|Kostenfunktion]] nach dem Faktorpreis dieses Produktionsfaktors entspricht. Die beiden Anwendungen sind analog.

Benannt ist das Lemma nach dem amerikanischen [[Ökonom]]en und [[Statistiker]] [[Ronald Shephard]].

== Darstellung ==
=== Theorie des Haushalts ===
Man geht zunächst von einem Ausgabenminimierungsproblem aus, das durch

:<math>\min_{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}_{+}^{n}}\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i} </math> unter der Nebenbedingung <math>u(x_{1},\ldots,x_{n})=\overline{u} </math>

gegeben ist, wobei <math>u(\cdot)</math> [[Stetige Funktion|stetig]], [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und [[Quasikonvexe Funktion|strikt quasikonkav]] sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die <math>n</math> Güter aus dem Warenkorb minimiert, wobei aber ein gewisses Nutzenniveau gewahrt werden soll. Die Lösung eines solchen Ausgabenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion <math>\mathbf{x}^{*}</math>, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Gütern nachgefragt werden sollte, um das gegebene Nutzenniveau möglichst kostengünstig zu erzielen. Es ist folglich <math>\mathbf{x}^{*}</math> eine Funktion des Preisvektors <math>\mathbf{p}=(p_{1},\ldots,p_{n})</math> und des festgelegten Nutzenniveaus <math>\overline{u}</math>. Man bezeichnet das so gegebene <math>\mathbf{x}^{*}</math> als ''Hick’sche Nachfrage'' und vereinbart <math>\mathbf{x}^{*}(\mathbf{p},\overline{u})\equiv\mathbf{x}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})</math>.

Die diesem <math>\mathbf{x}^{*}</math> zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene <math>\mathbf{x}^{*}</math> einsetzt. Man bezeichnet sie als ''[[Ausgabenfunktion]]'' <math>e</math>:

:<math>e=e(\mathbf{p},\overline{u})=\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})</math>

Sie liefert die tatsächlichen Ausgaben, die im Ausgabenminimum für gegebenes Nutzenniveau zu tätigen sind.

{{Kasten|
''Shephards Lemma in der Haushaltstheorie<ref>Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 35–39.</ref>:'' Die Hick’sche Nachfrage nach einem Gut ''j'' ist gegeben durch die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis <math>p_{j}</math> des Gutes:

:<math>\frac{\partial e(\mathbf{p},\overline{u})}{\partial p_{j}}=x_{j}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})</math>
}}

=== Theorie des Unternehmens ===
Man geht zunächst von einem Kostenminimierungsproblem aus, das durch

:<math>\min_{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}_{+}^{n}}\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i} </math> unter der Nebenbedingung <math>f(x_{1},\ldots,x_{n})=y</math>

gegeben ist, wobei <math>f(\cdot)</math> [[Stetige Funktion|stetig]], [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und [[Quasikonvexe Funktion|strikt quasikonkav]] sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die <math>n</math> Produktionsfaktoren minimiert, wobei aber eine gewisse Outputmenge <math>y</math> hervorgebracht werden soll (<math>f</math> ist die [[Produktionsfunktion]]). Die Lösung eines solchen Kostenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion <math>\mathbf{x}^{*}</math>, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Faktoren nachgefragt werden sollte, um das gegebene Produktionsziel möglichst kostengünstig zu erreichen. Es ist folglich <math>\mathbf{x}^{*}</math> eine Funktion des Faktorpreisvektors <math>\mathbf{w}=(w_{1},\ldots,w_{n})</math> und des festgelegten Outputniveaus <math>y</math>. Man bezeichnet das so gegebene <math>\mathbf{x}^{*}</math> als ''bedingte Faktornachfrage.''

Die diesem <math>\mathbf{x}^{*}</math> zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene <math>\mathbf{x}^{*}</math> einsetzt. Man bezeichnet sie als ''[[Kostenfunktion]]'' <math>c</math>:

:<math>c=c(\mathbf{w},y)=\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{*}(\mathbf{w},y)</math>

Sie liefert die tatsächlichen Kosten, die im Kostenminimum für eine gegebene Outputmenge anfallen.

{{Kasten|
''Shephards Lemma in der Theorie der Unternehmung<ref>Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 136–138.</ref>:'' Die bedingte Faktornachfrage nach einem Produktionsfaktor ''j'' ist gegeben durch die partielle Ableitung der Kostenfunktion nach dem Preis <math>w_{j}</math> des Produktionsfaktors:

:<math>\frac{\partial c(\mathbf{w},y)}{\partial w_{j}}=x_{j}^{*}(\mathbf{w},y)</math>
}}

== Herleitung ==
Das Lemma ist eine direkte Anwendung des [[Envelope-Theorem]]s.

== Siehe auch ==
* [[Hotellings Lemma]]
* [[Slutsky-Zerlegung]]
* [[Envelope-Theorem]]

== Literatur ==
* Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: ''Advanced Microeconomic Theory.'' 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
* Ronald W. Shephard: ''Cost and production functions.'' Springer, Berlin 1981, ISBN 3-540-11158-1 (Nachdr. d. Ausg. Princeton 1953).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Entscheidungstheorie]]
[[Kategorie:Haushaltstheorie]]
[[Kategorie:Theoreme der Ökonomie]]

Shephards Lemma - Versionsgeschichte

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