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2020-10-03T13:42:07Z

Sesquilinearformen auf Modulen

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Als '''Sesquilinearform''' (lat. ''[[sesqui]]'' = anderthalb) bezeichnet man in der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die [[Lineare Abbildung|linear]] in einem, [[Semilineare Abbildung|semilinear]] im anderen ihrer beiden Argumente ist. Ein klassisches Beispiel ist die durch
:<math>f((v_1,\ldots,v_n),(w_1,\ldots,w_n))=\overline{v}_1 w_1+\ldots+\overline{v}_n w_n</math>
definierte Abbildung <math>f\colon\Complex^n\times\Complex^n\to\Complex</math>, das komplexe [[Standardskalarprodukt]].
Hierbei bezeichnet der Querstrich die [[komplexe Konjugation]].

Die beiden Argumente können verschiedenen [[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>V,W</math> entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper <math>K</math> zugrunde liegen muss; eine Sesquilinearform ist eine Abbildung <math>f \colon V\times W\to K</math>; sie ist eine [[Linearform]] bezüglich des einen und eine [[Semilinearform]] bezüglich des anderen Argumentes. Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen; in der Physik ist es üblich, das semilineare Argument zuerst zu nennen.

Über den [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] stimmt das Konzept der Sesquilinearform mit dem der [[Bilinearform]] überein.

== Definition ==
Es seien <math>V,W</math> [[Vektorraum|Vektorräume]] über den [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].

Eine Abbildung
:<math>S\colon V\times W\to\mathbb C,\quad (v,w)\mapsto S(v,w)=\langle v,w\rangle</math>
heißt ''Sesquilinearform'', wenn <math>S</math> [[Semilinearform|semilinear]] im ersten und [[lineare Abbildung|linear]] im zweiten Argument ist, das heißt
*<math>\langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle</math>
*<math>\langle \lambda v, w\rangle=\overline\lambda\; \langle v,w\rangle;</math>
und
*<math>\langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle</math>
*<math>\langle v,\lambda w\rangle=\lambda\,\langle v,w\rangle.</math>
Dabei sind <math>v,v_1,v_2\in V</math>, <math>w,w_1,w_2\in W</math> und <math>\lambda\in\mathbb C</math>.

Manchmal wird stattdessen auch Linearität im ersten und Semilinearität im zweiten Argument gefordert; dieser Unterschied ist jedoch rein formaler Natur.

Diese Definition lässt sich auch auf Vektorräume über anderen [[Körper (Algebra)|Körper]]n oder [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] verallgemeinern, sobald auf dem Grundkörper bzw. -ring ein ausgezeichneter [[Automorphismus]] oder zumindest [[Endomorphismus]]
: <math>\lambda\mapsto\overline\lambda</math>
gegeben ist. Ein Kandidat für derartige Endomorphismen ist der [[Frobeniushomomorphismus]] in positiver [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]].

Die konstante [[Nullabbildung]] ist eine Sesquilinearform, wir schreiben <math>S=0</math>. Punktweise Summen und skalare Vielfache von Sesquilinearformen sind wieder Sesquilinearformen. Die Menge der Sesquilinearformen bildet also einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum.

== Hermitesche Sesquilinearform ==
{{Hauptartikel|Hermitesche Sesquilinearform}}
Eine Sesquilinearform <math>S\colon V\times V \to \Complex</math> heißt hermitesch, falls
:<math>S(v,w) = \overline{S(w,v)}</math>
gilt. Diese Definition ist analog zur Definition der [[Symmetrische Bilinearform|symmetrischen Bilinearform]]. Das Adjektiv „hermitesch“ leitet sich von dem Mathematiker [[Charles Hermite]] ab.

== Beispiele ==

Ein [[Innenproduktraum|inneres Produkt]] über einem komplexen Vektorraum ist eine Sesquilinearform mit hermitescher Symmetrie, also sogar eine [[hermitesche Form]], siehe auch [[Kreinraum]].

== Polarisierung ==

=== Aussage ===
Eine wichtige Rolle spielt die sogenannte [[Polarisationsformel|Polarisierungsformel]]
:<math>\begin{align}
4 \cdot S(y,x) &= \sum_{k=0}^3 \mathrm{i}^k S(x+\mathrm{i}^k y, x+\mathrm{i}^k y) \\
&= S(x+y,x+y) + \mathrm{i} S(x+\mathrm{i} y,x+\mathrm{i} y)
-S(x-y,x-y) - \mathrm{i} S(x-\mathrm{i} y,x-\mathrm{i} y),
\end{align}
</math>
die zeigt, dass die Form bereits durch ihre Werte auf der Diagonalen, d. h.
auf Paaren der Form <math>\langle \xi,\xi \rangle</math> eindeutig bestimmt ist.

Die Polarisierungsformel gilt nur für Sesquilinearformen, nicht aber für allgemeine Bilinearformen.

=== Spezialfall ===
Eine unmittelbare Konsequenz aus der Polarisierungsformel ist die Tatsache, dass
die Form <math>S</math> bereits dann verschwindet, wenn <math>S(x,x)=0</math> für alle <math>x</math>.

Oder anders ausgedrückt: Falls <math>S(x,x) = T(x,x)</math> für alle <math>x</math>, dann <math>(S-T)(x,x)=0</math>,
also <math>S=T</math>.

=== Gegenbeispiel ===
Für allgemeine Bilinearformen gilt diese Aussage nicht, folglich kann es auch keine Polarisierungsformel geben.
Dies erkennt man an folgendem Beispiel. Sei <math>V=W \cong \mathbb{R}^2</math> und setze
:<math>S(x,y) := x^T \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0 \end{pmatrix} y = - x_1 y_2 + x_2 y_1</math>.
<math> S </math> ist offenbar bilinear und es gilt
<math>S(x,x)=-x_1 x_2 + x_1 x_2 = 0</math> für alle <math> x\in \mathbb{R}^2</math>. Andererseits ist
<math>S((1,0),(0,1)) = 1</math>.

=== Folgerung ===
Sei <math>(\mathcal{H}, \langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Hilbertraum]] und <math>T</math> ein [[Beschränkter Operator|beschränkter linearer Operator]]. Dann ist <math>S(x,y):=\langle Tx, y \rangle</math> eine beschränkte Sesquilinearform. Die Beschränktheit
bedeutet, dass <math> |S(x,y)| \le C \|x\|\cdot\|y\| </math> (hier <math> C=\|T\| </math>). Umgekehrt folgt aus dem
[[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]], dass jede beschränkte Sesquilinearform einen beschränkten Operator <math>T</math>
bestimmt, so dass <math>S(x,y)=\langle Tx, y \rangle</math> für alle <math>x,y\in\mathcal{H}</math>.

Insbesondere verschwindet <math>S</math> genau dann, wenn <math>T</math> verschwindet. Dies kann man auch wie folgt leicht
direkt sehen: falls <math> S=0 </math> so folgt <math>\|Tx\|^2 = S(x,Tx)=0</math> für alle <math>x\in\mathcal{H}</math>, also
<math> T=0</math>. Die Umkehrung folgt sofort aus der Definition von <math>S</math>.

Mit der Polarisierungsidentität folgt also, dass ein Operator genau dann Null ist,
wenn <math>\langle Tx,x \rangle = 0</math> für alle <math>x</math>.
Diese Aussage gilt jedoch nur über dem Grundkörper der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb{C}</math>, über den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] ist zusätzlich die Bedingung notwendig, dass T [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] ist.<ref>D. Werner: ''Funktionalanalysis'' 5., erweiterte Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-21381-3, Korollar V.5.8, S. 236.</ref>

== Sesquilinearformen auf Moduln ==
Das Konzept der Sesquilinearform lässt sich auf beliebige [[Modul (Mathematik)|Modul]]n verallgemeinern, wobei an die Stelle der komplexen Konjugation ein beliebiger [[Antiautomorphismus]] auf dem zugrundeliegenden nicht notwendigerweise [[kommutativ]]en [[Ring (Algebra)|Ring]] tritt. Seien <math>M,N</math> Moduln über demselben Ring <math>R</math> und <math>\theta</math> ein Antiautomorphismus auf <math>R</math>. Eine Abbildung <math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon M \times N \to R</math> heißt genau dann <math>\theta</math>-Sesquilinearform, wenn für beliebige <math>m, m_1, m_2\in M</math>, <math>n, n_1, n_2\in N</math> und <math>\lambda\in R</math> die folgenden Bedingungen gelten:
*<math>\langle m_1+m_2, n \rangle = \langle m_1, n \rangle + \langle m_2, n \rangle</math>
*<math>\langle m, n_1+n_2 \rangle = \langle m, n_1 \rangle + \langle m, n_2 \rangle</math>
*<math>\langle \lambda m, n \rangle = \lambda \langle m, n \rangle</math>
*<math>\langle m, \lambda n \rangle = \langle m, n \rangle \theta(\lambda)</math><ref>{{Literatur|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]|Reihe=Éléments de mathématique|Titel=Algèbre|Kapitel=9|Seiten=10|ISBN=3-540-35338-0|Ort=Berlin|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Jahr=2007}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor= [[Siegfried Bosch]]
| Titel= Lineare Algebra
| Auflage= 3.
| Verlag= Springer-Lehrbuch
| Ort= Heidelberg
| Jahr= 2006
| Seiten= 245–248
| ISBN= 3-540-29884-3
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Sesquilinearform - Versionsgeschichte

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