imported>Aka: Tippfehler entfernt, Kleinkram

2025-08-23T12:43:53Z

Neue Seite

Ein '''Sequentieller Likelihood-Quotienten-Test''' kurz '''SLQT''' ({{enS|''Sequential Probability Ratio Test''}}, kurz ''SPRT'' oder ''Sequential Likelihood Ratio Test'', kurz ''SLRT''), auch ''sequentieller Plausibilitätsquotiententest'' genannt, ist in der [[Statistik]] ein [[Statistischer Test#Sonstiges|sequentieller Hypothesentest]]. Statt mit einem festen [[Stichprobenumfang]] einen statistischen Test durchzuführen, wird beim nach jeder gemachten Beobachtung aufgrund aller bisher erfassten Daten getestet, ob eine Entscheidung für oder wider der [[Nullhypothese]] getroffen werden kann. Sollte dies nicht der Fall sein, wird die Beobachtung solange fortgesetzt, bis diese Entscheidung getroffen werden kann.

== Geschichte ==
Entwickelt wurde der SLQT von [[Abraham Wald|A. Wald]] 1942 in den USA. Anwendung fand es vor allem in der Rüstungsindustrie, sodass eine allgemeinzugängliche Publikation erst 1947 erfolgte.

== Definition ==
Untersucht wird die [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] <math>x_i</math> einer [[Zufallsgröße]] <math>X</math> mit der Verteilung <math>f(x_i;\theta)</math> und dem unbekannten Parameter <math>\theta</math>.
Es wird dabei die [[Nullhypothese]] <math>H_0:\theta=\theta_0</math> gegen die [[Alternativhypothese]] <math>H_1:\theta=\theta_1</math> getestet. Dabei soll <math>H_0</math> mit höchstens <math>\alpha</math> und <math>H_1</math> mit höchstens <math>\beta</math> als [[Fehler 1. und 2. Art|Irrtumswahrscheinlichkeit]] abgelehnt werden.

Für einen festen Stichprobenumfang <math>n</math> mit den Beobachtungen <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math> ist die [[Teststatistik]] als Likelihood-Quotient (Quotient zweier [[Likelihood-Funktion]]en) gegeben durch

:<math>\mathfrak{L}=\prod_{i=1}^n \frac{f(x_i;\theta_1)}{f(x_i;\theta_0)} </math>

Wählt man nun Entscheidungsgrenzen A und B, dann gelten für die Annahme der Hypothesen folgende Entscheidungsregeln:

* Fortsetzung der Beobachtung, wenn gilt: <math>B<\mathfrak{L}<A</math>
* Annahme von <math>H_1</math>, wenn gilt: <math>\mathfrak{L}\ge A</math>
* Annahme von <math>H_0</math>, wenn gilt: <math>\mathfrak{L}\le B</math>

=== Die Entscheidungsgrenzen ===
Die Festlegung von A und B muss derart gestaltet sein, das <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> eingehalten werden. Dies ist der Fall, falls:

:<math> A=\frac{1-\beta}{\alpha}</math>

:<math> B=\frac{\beta}{1-\alpha}</math>

Die Wahrscheinlichkeit <math>P_1(\theta)</math> die untere Grenze zu erreichen bzw. zu überschreiten wird durch die [[Operationscharakteristik]] angegeben. Die Wahrscheinlichkeit <math>P_0(\theta)</math> die Alternativhypothese anzunehmen, und somit die obere Grenze zu überschreiten wird durch die ''[[Gütefunktion]]'' beschrieben. Dabei gilt das <math>P_0(\theta)+P_1(\theta)=1</math>.

== Beispiel ==
Als Beispiel soll die Herleitung des SLQT für einen 1-Stichprobenvergleich bei binären Daten dienen.

In einer klinischen Studie wird ein neues Medikament in einer Phase-II-Studie getestet. Dabei soll die Studie abgebrochen werden, sobald der Anteil an Patienten mit Nierenversagen innerhalb der ersten 24 Stunden ≥ 25 % ist. Ein Anteil von 10 % ist normal und annehmbar. Die vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeiten sind <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>.

Nach dem ''i''-ten Patienten liegen ''y'' Beobachtungen mit und ''i-y'' Beobachtungen ohne Nierenversagen vor. Entsprechend dem [[Binomialkoeffizient]]en ist
<math>\mathfrak{L}=\frac{{\tau_1}^y(1-\tau_1)^{i-y}}{{\tau_0}^y(1-\tau_0)^{i-y}}</math>.

Den Fortsetzungsbereich des SLQT erhält man nun durch Logarithmieren und Umformen:

:<math>
\frac{\ln{( \frac{\beta}{1-\alpha}})} {\ln{( \frac{\tau_1(1-\tau_0)}{\tau_0(1-\tau_1)})}}+
{
\frac
{
\ln
{(
\frac {1-\tau_0} {1-\tau_1}
)}
}
{
\ln
{(
\frac {\tau_1(1-\tau_0)}
{\tau_0(1-\tau_1)}
)}
}
}\cdot i
<y<
\frac{\ln{( \frac{1-\beta}{\alpha}})} {\ln{( \frac{\tau_1(1-\tau_0)}{\tau_0(1-\tau_1)})}}+
{
\frac
{
\ln
{(
\frac {1-\tau_0} {1-\tau_1}
)}
}
{
\ln
{(
\frac {\tau_1(1-\tau_0)}
{\tau_0(1-\tau_1)}
)}
}
} \cdot i

</math>

Bei <math>\tau_0=0{,}1</math>, <math>\tau_1=0{,}25</math>, <math>\alpha=0{,}001</math>, <math>\beta=0{,}2</math> ergibt sich
<math>-1{,}46+0{,}1659 \cdot i<y<6{,}08+0{,}1659\cdot i</math> als Fortsetzungsbereich.

== Literatur ==
* [[Abraham Wald]]: ''Sequential Analysis'' John Wiley & Sons, New York NY u. a. 1947.
* [[Bhaskar Kumar Ghosh|B.K. Ghosh]]: ''Sequential Tests of Statistical Hypotheses.'' Reading: Addison-Wesley 1970
* Peter Bauer, Viktor Scheiber, Franz X. Wohlzogen: ''Sequentielle statistische Verfahren.'' Fischer, Stuttgart u. a. 1986, ISBN 3-437-20343-6.
* [[Albrecht Irle]]: ''Sequentialanalyse: Optimale sequentielle Tests.'' Stuttgart: Teubner 1990
* Holger Wilker: ''Sequential-Statistik in der Praxis'', BoD, Norderstedt 2012, ISBN 978-3848232529.
[[Kategorie:Testtheorie]]

Sequentieller Likelihood-Quotienten-Test - Versionsgeschichte

imported>Aka: Tippfehler entfernt, Kleinkram