imported>Peter Gröbner am 11. Juni 2025 um 15:50 Uhr

2025-06-11T15:50:55Z

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Der '''Separationsansatz''' dient der Lösung [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]] mit mehreren Variablen. Der '''Produktansatz''' ist ein Spezialfall.

== Allgemeines ==

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion <math>\varphi(a,b)</math> auf folgende Weise trennen lässt

:<math>u(t,x) = \varphi(X(x),T(t)),</math>

wobei <math>X</math> und <math>T</math> geeignete Funktionen sind.

=== Produktansatz ===

Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion <math>\varphi(a,b)=ab</math>, so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form

:<math>u(t,x) = X(x) T(t)</math>

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen <math>X</math> und <math>T</math> in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

:<math>\Phi(x, X, X',X'') = \lambda = \Psi(t, T, T', T'') </math>

Diese Gleichung lässt sich in zwei [[gewöhnliche Differentialgleichung]]en überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

== Beispiel ==
Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

:<math>\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}</math>.

die beispielsweise [[Navier-Cauchy-Gleichungen#Beispiel|Longitudinalwellen in einem elastischen Stab]] beschreibt.
Der Separationsansatz mit <math>y(x,t)=f(x)g(t)</math>:

:<math>\frac{\partial^{2}f(x)g(t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}f(x)g(t)}{\partial x^{2}}</math>

führt auf

:<math>f(x) \frac{d^{2} g(t)}{d t^{2}} =c^{2} \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}} g(t)</math>

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch <math>f(x)g(t)</math> mit der Annahme <math>y(x,t)\neq 0</math> im Inneren der Fläche.

:<math> \frac{1}{g(t)} \frac{d^{2}g(t)}{dt^{2}} = c^{2} \frac{1}{f(x)} \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}} </math>

Vereinfachung der Notation <math>f''(x) = \frac{d^{2} f(x)}{d x^{2}}</math> und <math>g''(t) = \frac{d^{2}g(t)}{dt^{2}}</math> ergibt

:<math>\frac{g''(t)}{g(t)} = c^{2} \frac{f''(x)}{f(x)}</math>

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

:<math>\frac{g''(t)}{g(t)} = c^{2} \frac{f''(x)}{f(x)} = \lambda </math>

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

:<math>f''(x) = \frac{\lambda}{c^{2}} f(x)</math>
:<math>g''(t)= \lambda g(t)</math>,

die nun in Abhängigkeit vom Parameter <math>\lambda</math> und den Randbedingungen lösbar sind. Das Einsetzen der einzelnen Lösungen in <math>y(x,t)</math> ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

== Literatur ==
* [[Lawrence C. Evans]]: ''Partial Differential Equations.'' Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (''Graduate studies in mathematics'' 19).

== Weblinks ==
* [https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs27/seite4.html Mathematik-Online-Kurs der Uni Stuttgart: Separationsansatz]

[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]

Separationsansatz - Versionsgeschichte

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