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2025-07-25T19:14:26Z

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{{Begriffsklärungshinweis|Separable Räume sind nicht identisch mit [[Hausdorffraum|separierten Räumen]].}}
Der [[Mathematik|mathematische]] Begriff '''separabel''' bezeichnet in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und verwandten [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] eine häufig benutzte [[Abzählbarkeit]]seigenschaft von [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]]. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der [[Funktionalanalysis]]. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen [[Hilbertraum]] stets abzählbare [[Orthonormalbasis|Orthonormalbasen]] gibt.

== Definition ==
Ein [[topologischer Raum]] heißt ''separabel'', wenn es eine [[Abzählbare Menge|höchstens abzählbare]] [[Teilmenge]] gibt, die in diesem Raum [[Dichte Teilmenge|dicht]] liegt.

== Kriterien für separable Räume ==
* Besitzt ein topologischer Raum eine (höchstens) [[abzählbare Basis]], so ist er separabel. (Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.)<ref name="TC-SK-GR-001">Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: ''Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie.'' 2006, S. 34.</ref>
* Für einen [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>X</math> gilt sogar:<ref name="PSA-001">P. S. Alexandroff: ''Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie.'' 1984, S. 121.</ref>
** Dafür, dass <math>X</math> eine abzählbare Basis besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass <math>X</math> separabel ist.
* Ein [[Totalbeschränktheit|total beschränkter]] [[metrischer Raum]] <math>X</math> ist stets separabel.<ref name="JM-001">Joseph Muscat: ''Functional Analysis.'' 2014, S. 68.</ref>
* Insbesondere ist jeder [[Kompakter Raum|kompakte]], [[Metrischer Raum|metrisierbare]] Raum separabel. Genauer gilt:<ref name="LG-NSP-001">Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: ''Exercises in Analysis. Part 1.'' 2014, S. 8.</ref>
** Ist <math>X</math> ein metrisierbarer topologischer Raum, so sind die drei Eigenschaften,
*** (1) eine abzählbare Basis zu besitzen,
*** (2) [[Lindelöf-Raum|lindelöfsch]] zu sein,
*** (3) separabel zu sein,
*: äquivalent.<ref>Da Kompaktheit ein Spezialfall der Lindelöf-Eigenschaft ist, ergibt sich die zuvor genannte Aussage aus dieser Äquivalenz als Folgerung.</ref>
* Ein [[topologischer Vektorraum]] ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon [[Lineare Hülle|erzeugte Untervektorraum]] dicht liegt.
* Ist <math>X</math> ein Hilbertraum von [[unendlich]]er [[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension|Dimension]], so sind stets die folgenden drei Bedingungen gleichwertig:<ref name="JH-001">Jürgen Heine: ''Topologie und Funktionalanalysis.'' 1970, S. 261.</ref><ref name="DW-001">Dirk Werner: ''Funktionalanalysis.'' 2007, S. 235.</ref>
** (1) <math>X</math> ist separabel.
** (2) Alle Orthonormalbasen von <math>X</math> sind abzählbar.
** (3) In <math>X</math> gibt es eine abzählbare Orthonormalbasis.
* Für eine unendliche und mit der [[Ordnungstopologie]] versehene [[linear geordnete Menge]] <math>X</math> sind die folgenden drei Bedingungen stets gleichwertig:<ref name="LF-001">Lutz Führer: ''Allgemeine Topologie mit Anwendungen.'' 1977, S. 129.</ref>
** (1) <math>X</math> ist separabel und [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]].
** (2) <math>X</math> ist [[Ordnungsisomorphismus|ordnungsisomorph]] zu einem [[Intervall (Mathematik)#Bezeichnungs- und Schreibweisen|Intervall]] von <math>\mathbb{R}</math>.
** (3) <math>X</math> ist [[homöomorph]] zu einem Intervall von <math>\mathbb{R}</math>.
* Ist ein metrischer Raum <math>X</math> [[zusammenhängend]] und [[lokal euklidisch]], so ist er lindelöfsch und damit separabel.<ref name="COC-WLV-001">Charles O. Christenson, William L. Voxman: ''Aspects of Topology.'' 1998, S. 420.</ref>

== Beispiele ==
Beispiele für separable Räume sind etwa:
* Die Räume <math>\mathbb{R}^n</math> sind für <math>n\in\mathbb{N}</math> separabel, da <math>\mathbb{Q}^n</math> abzählbar ist und dicht in <math>\mathbb{R}^n</math> liegt.<ref name="JH-002">Heine, op. cit, S. 72.</ref>
* Es ist sogar jeder endlich-dimensionale normierte Raum über den reellen oder komplexen Zahlen separabel.
* Die Räume [[Lp-Raum|<math>L^ p(\Omega,M,\mu)</math>]], über einem separablen [[Maßraum]] <math>(\Omega,M,\mu)</math>, sind für <math>1\leq p<\infty</math> separabel. Dies ist z. B. beim [[Lebesgue-Maß]] mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] der Fall.
* Die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p</math> für <math>1\leq p<\infty</math> sind separabel.<ref name="JH-002" /> So liegt <math>c_{00}</math> dicht in <math>\ell^p</math>.
* Der Raum <math>c_0</math> der ([[reell]]en oder [[Komplexe Zahl|komplexen]]) [[Nullfolge]]n ist mit der [[Supremumsnorm]] ein separabler [[Banachraum]].<ref name="GJOJ-001">G. J. O. Jameson: ''Topology and Normed Spaces.'' 1970, S. 159.</ref>
* Der Raum <math>c_{00}</math> der abbrechenden Folgen (<math id="Doppelpunkt falsch gesetzt.">\forall x \in c_{00} \exist N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: x_n = 0</math>) ist mit der <math>\ell^p</math>-Norm für <math>1 \leq p < \infty</math> separabel.
* Für [[offene Teilmenge]]n <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> und [[natürliche Zahl]]en <math>k</math> sind die Räume <math>C^k(\Omega)</math> stets separabel.
* Jede unendliche Menge mit [[Kofinite Topologie|kofiniter Topologie]] ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.<ref name="TC-SK-GR-002">Camps/Kühling/Rosenberger, op. cit, S. 18.</ref>
* Die [[Niemytzki-Raum|Niemytzki-Ebene (oder Moore-Ebene)]] ist ein separabler Raum, da die enthaltene abzählbare (!) Teilmenge der [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] mit [[Rationale Zahl|rationalen]] [[Koordinatenraum|Koordinaten]] darin dicht liegt.<ref name="LAS-JAS-001">Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.,: ''Counterexamples in Topology.'' 1970, S. 7, S. 100–103.</ref><ref name="JH-003">Heine, op. cit, S. 86.</ref>
Es lässt sich insbesondere bei (unendlichdimensionalen) normierten Räumen in der Regel leicht durch die explizite Angabe einer höchstens abzählbaren dichten Teilmenge zeigen, dass der Raum separabel ist. Für Folgenräume wie <math>c_0</math> über den reellen oder komplexen Zahlen bieten sich beispielsweise die rationalen Zahlen an. So liegt derselbe Raum über den rationalen Zahlen deshalb dicht in <math>c_0</math>, weil sich jede reelle Nullfolge in jedem Folgenglied durch rationale Zahlen annähern lässt (<math>\Q</math> dicht in <math>\R</math>). Diese punktweise Konvergenz impliziert insbesondere Konvergenz in der Supremumsnorm und damit Konvergenz im Raum <math>c_0</math>. Im komplexen Fall müssen Real- und Imaginärteil separat angenähert werden.

== Gegenbeispiele ==
Es gibt einige bekannte Beispiele für nicht-separable Räume:
* Der [[Banachraum]] <math>\ell^{\infty}</math> der [[Beschränkte Folge|beschränkten (reellen oder komplexen) Folgen]] ist nicht-separabel.<ref name="JH-004">Heine, op. cit, S. 72.</ref>
* Allgemein gilt, dass für eine [[unendliche Menge]] <math>S</math> der Banachraum <math>B(X, \mathcal P(S))</math> der [[Beschränkte Funktion|beschränkten (reell- oder komplexwertigen) Funktionen]] nie separabel ist.<ref name="GJOJ-002">Jameson, op. cit, S. 158.</ref>
* Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der [[Hilbertraum#Beispiele für Hilberträume|fast-periodischen Funktionen]] ist ein nicht-separabler [[Hilbertraum]].
* Versieht man die [[Ordinalzahl#Topologische Eigenschaften|kleinste überabzählbare Ordinalzahl]] <math>\omega_1</math> mit ihrer Ordnungstopologie, so erhält man einen nicht-separablen Raum.<ref name="SW-001">Stephen Willard: ''General Topology.'' 1970, S. 114.</ref>

== Permanenzeigenschaften ==
* [[Bildmenge|Bilder]] von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel.<ref>Als dichte Teilmenge im Bild dient einfach das Bild der dichten Teilmenge im Definitionsbereich.</ref> Die dichte Teilmenge im Bildraum ist das Bild der Funktion selbst.
* [[Offene Teilmenge|Offene]] [[Topologischer Unterraum|Unterräume]] separabler Räume sind stets ebenfalls separabel.<ref name="LF-002">Führer, op. cit, S. 128.</ref>
* Im Allgemeinen sind Unterräume separabler Räume nicht separabel. So enthält die erwähnte separable (!) Niemytzki-Ebene beispielsweise einen nicht-separablen Unterraum.<ref name="LAS-JAS-001" />
* Es gilt aber, dass Unterräume separabler [[Metrischer Raum|metrischer Räume]] wieder separabel sind.<ref>Dies folgt aus der oben genannten Äquivalenz von Separabilität und der Existenz einer abzählbaren Basis, denn letztere überträgt sich offensichtlich auf die metrischen Unterräume.</ref>
* [[Separabilitätssatz von Marczewski]]: Ist <math>(X_i)_{i\in I}</math> eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von <math>I</math> höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums <math>\mathbb R</math>, so ist <math>\textstyle \prod_{i\in I}X_i</math> mit der [[Produkttopologie]] ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von <math>{\mathbb N}^{\mathbb R} = \{f\mid f\colon {\mathbb R}\rightarrow {\mathbb N}\}</math> zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus <math>\{n\cdot\chi_{[a,b]}; n\in{\mathbb N}, a,b\in {\mathbb Q}\}</math> dicht liegt, wobei <math>\chi_{[a,b]}</math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] des Intervalls <math>[a,b]</math> ist.

== Zusammenhang mit anderen Begriffen ==
* In der englischen Fachliteratur wird ein topologischer Raum <math>X</math> mit (höchstens) abzählbarer Basis von manchen Autoren als ''completely separable'' oder ''perfectly separable'', also als ''vollständig separabel'' bzw. als ''vollkommen separabel'' bezeichnet.<ref name="LAS-JAS-002">Steen/Seebach, op. cit, S. 162.</ref>
* Lässt sich die Topologie eines separablen Raumes <math>X</math> durch eine [[Vollständiger Raum|vollständige]] [[Metrischer Raum|Metrik]] erzeugen, so nennt man <math>X</math> einen [[Polnischer Raum|polnischen Raum]].<ref name="LG-NSP-002">Gasiński/Papageorgiou, op. cit, S. 226.</ref>
* Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des [[Hausdorffraum|separierten Raums]].<ref name="HS-001">Horst Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 58.</ref>

== Zur Historie ==
* Das Konzept des separablen Raumes geht zurück auf [[Maurice René Fréchet]] und seine Publikation ''Sur quelques points de calcul fonctionnel'' aus dem Jahre 1906.<ref name="SW-002">Willard, op. cit, S. 303.</ref>
* P. S. Alexandroff zufolge ist der Terminus ''separabel'' eine ''höchst unglückliche Bezeichnung (…), die sich bedauerlicherweise jedoch eingebürgert hat und allgemeine Verbreitung fand.''<ref name="PSA-002">Alexandroff, op. cit, S. 120–121.</ref>
* Wie [[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]] im Jahre 1975 schrieb, bestanden ''(…) Tendenzen, ihn [den Terminus ''separabel''] abzuschaffen''.<ref name="HS-001" /><ref>Was jedoch offenbar nicht geschah.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Pavel Aleksandrov|P. S. Alexandroff]]
|Titel=Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=85
|Verlag=[[VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1984}}
* {{Literatur
|Autor=Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger
|Titel=Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie
|Reihe=Berliner Studienreihe zur Mathematik
|BandReihe=15
|Verlag=Heldermann Verlag
|Ort=Lemgo
|Datum=2006
|ISBN=3-88538-115-X}}
*{{Literatur
|Autor=Charles O. Christenson, William L. Voxman
|Titel=Aspects of Topology
|Auflage=2.
|Verlag=BCS Associates
|Ort=Moscow, Idaho, U. S. A.
|Datum=1998
|ISBN=0-914351-08-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lutz Führer]]
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=[[Vieweg Verlag]]
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3}}
* {{Literatur
|Autor=Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou
|Titel=Exercises in Analysis. Part 1
|Reihe=Problem Books in Mathematics
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London
|Datum=2014
|ISBN=978-3-319-06175-7
|DOI=10.1007/978-3-319-06176-4}}
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Heine
|Titel=Topologie und Funktionalanalysis
|TitelErg=Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen
|Auflage=2., verbesserte
|Verlag=[[Oldenbourg Verlag]]
|Ort=München
|Datum=2011
|ISBN=978-3-486-70530-0}}
* {{Literatur
|Autor=G. J. O. Jameson
|Titel=Topology and Normed Spaces
|Verlag=Chapman and Hall
|Ort=London
|Datum=1974
|ISBN=0-412-12880-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Joseph Muscat (Mathematiker)|Joseph Muscat]]
|Titel=Functional Analysis
|TitelErg=An Introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London
|Datum=2014
|ISBN=978-3-319-06727-8
|DOI=10.1007/978-3-319-06728-5}}
* {{Literatur
|Autor= [[Mark Neumark]]
|Titel=Normierte Algebren
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
|Ort=Thun und Frankfurt / Main
|Datum=1990
|ISBN=3-8171-1001-4}}
* {{Literatur
|Autor=Horst Schubert
|Titel=Topologie
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=4.
|Verlag=[[B. G. Teubner]]
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lynn Arthur Steen|Lynn A. Steen]], J. Arthur Seebach, Jr.,
|Titel=Counterexamples in Topology
|Auflage=2.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York, Heidelberg, Berlin
|Datum=1978
|ISBN=0-387-90312-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
|Titel=Funktionalanalysis
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Auflage=6., korrigierte
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-72533-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts u. a.
|Datum=1970}}

== Siehe auch ==
* [[Abzählbare Menge]]
* [[Hausdorffraum]]
* [[Hilbertraum]]
* [[Metrischer Raum]]
* [[Kompakter Raum]]
* [[Polnischer Raum]]
* [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Separabler Raum - Versionsgeschichte

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