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Ein '''semiperfekter Ring''' im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] ist ein [[Ring (Algebra)|Ring]], über dem jeder [[endlich erzeugt]]e Links[[Modul (Mathematik)|modul]] eine [[projektive Decke]] hat. Der Begriff wurde 1959/60 von [[Hyman Bass]] eingeführt.

== Definition ==
Im Folgenden sei R ein [[Unitärer Ring|Ring mit 1]], J=J(R) das [[Jacobson-Radikal]].

Ein Ring R heißt semiperfekt, wenn er eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt:

* Jeder einfache R-[[Modul (Mathematik)|Links-/Rechtsmodul]] hat eine [[projektive Decke]].
* Jeder endlich erzeugte R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
* R/J ist halbeinfach, und jedes Idempotent von R/J lässt sich zu R heben.
* Es existiert eine Zerlegung <math> 1 = \sum_{i=1}^ne_i </math> mit paarweise orthogonalen, lokalen Idempotenten <math>e_1,\dots,e_n</math>.

== Eigenschaften ==

* Alle [[artinsch|linksartinschen]] und alle rechtsartinschen Ringe sind semiperfekt.
* Jeder [[Lokaler Ring|lokale Ring]] ist semiperfekt.
* Ein kommutativer Ring <math>R</math> ist genau dann semiperfekt, wenn <math>R</math> eine endliche direkte Summe von [[lokaler Ring|lokalen Ringen]] ist.
* Ist <math>R</math> semiperfekt und <math>I</math> ein Ideal von <math>R</math>, dann ist auch der Faktorring <math>R/I</math> semiperfekt.
* Ist <math>R</math> ein Ring und <math>e \in R </math> ein Idempotent, dann ist <math>R</math> semiperfekt genau dann wenn <math>(1-e)R(1-e)</math> und <math>eRe</math> semiperfekt sind.

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Semiperfekter Ring - Versionsgeschichte

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