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2026-01-31T08:46:50Z

Definition 1 (Semimartingale sind gute Integratoren): BKL Fix

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Als '''Semimartingale''' werden in der [[Stochastik]] bestimmte [[stochastischer Prozess|Prozesse]] bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen [[Stochastisches Integral|stochastischen Integrals]] von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den [[Wiener-Prozess]] ([[Brownsche Bewegung]]) oder den [[Poisson-Prozess]].

== Definition ==

Gegeben sei ein [[vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \mathcal F,\mathbb{F}, \mathbb{P})</math> mit zugehöriger [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtration]] <math>\mathbb{F}=(\mathcal F_t)_{t\geq 0}</math>.

Wir nehmen an, dass die Filtration
* vollständig ist, das heißt, alle <math>\mathbb{P}</math>-[[Nullmenge]]n sind <math>\mathcal F_0</math>-messbar.
* <math>\mathbb{F}</math> ist [[rechtsstetig]], das heißt <math>\mathcal{F}_t=\bigcap_{\varepsilon>0}\mathcal F_{t+\varepsilon}</math> für alle <math>0\leq t<\infty</math>.

Das Semimartingal besitzt durch den [[Satz von Bichteler-Dellacherie]] zwei äquivalente Definitionen.

=== Definition 1 (Semimartingale sind gute Integratoren) ===
Ein Prozess <math>H</math> heißt ''einfach-vorhersehbar'', wenn <math>H</math> von der Form
:<math>H_t=H_01_{\{0\}}(t)+\sum\limits_{i=1}^n H_i1_{(T_{i},T_{i+1}]}(t)</math>
für eine endliche Folge von [[Stoppzeit]]en <math>0\leq T_1\leq \cdots \leq T_{n+1}<\infty</math> ist und
für alle <math>0\leq i\leq n</math> fast sicher <math>H_i\in\mathcal{F}_{T_i}</math> sowie <math>|H_i|<\infty</math>.

Den Raum der einfach-vorhersehbaren Prozesse zusammen mit der durch die [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] in <math>(t,\omega)</math> induzierten [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] bezeichnen wir als <math>\mathbf{S}</math>.

Für einen Prozess <math>X</math> und für einen einfach-vorhersehbaren Prozess <math>H</math> definieren wir die lineare Abbildung <math>I_X \colon \mathbf{S}\to L^0</math> durch
:<math>I_X(H)= H_0X_0+\sum\limits_{i=1}^n H_i(X_{T_{i+1}}-X_{T_{i}}).</math>

Ein stochastischer Prozess <math>X</math> heißt ''Semimartingal'', wenn für jedes <math>T\in [0,\infty)</math> der [[Gestoppter Prozess|gestoppte Prozess]] <math>X^T:=(X_{t\wedge T})_{t\geq 0}</math> [[Càdlàg-Funktion|càdlàg]] und [[Adaptierter stochastischer Prozess|adaptiert]] ist und die Abbildung <math>I_{X^T}</math> stetig ist.<ref>{{Literatur |Autor=Philip Protter |Hrsg=Springer-Verlag |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations |Sammelwerk=Stochastic Modelling and Applied Probability |Datum= |ISBN=3-540-00313-4 |Seiten=51-52}}</ref>

=== Definition 2 (Zerlegungseigenschaft der Semimartingale) ===

Ein ''Semimartingal'' ist ein stochastischer Prozess <math>X</math> mit Werten in <math>\mathbb R^d</math> mit den Eigenschaften:

* <math>X</math> ist an <math>\mathbb{F}</math> [[adaptierter stochastischer Prozess|adaptiert]],
* die Pfade/Trajektorien von <math>X</math> sind [[cadlag|càdlàg]], also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Grenzwerte existieren,
* es existiert eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:
::<math>X = X_0 + M + A,</math>
:wobei <math>X_0</math> fast sicher endlich und <math>\mathcal F_0</math>-messbar, <math>M</math> ein [[lokales Martingal]] und <math>A</math> ein [[Satz von Bichteler-Dellacherie#FV-Prozess|FV-Prozess]] ist, das heißt ein adaptierter Càdlàg-Prozess, dessen Pfade fast sicher [[Variation (Mathematik)|endliche Variation]] auf jedem [[Kompakte Menge|kompakten]] Zeitintervall in <math>\mathbb{R}_+</math> haben.

=== Erläuterungen ===
Die erste Definition sagt, dass die Semimartingale gute Integratoren sind. Die zweite Definition zerlegt dieses Integratoren. Der Satz von Bichteler-Dellacherie sagt, dass beide Definitionen die gleiche Klassen an Prozessen beschreiben und deshalb somit äquivalent sind.

== Eigenschaften ==
=== Stochastische Integration ===
Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine [[Stochastisches Integral|stochastische Integrale]] konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von [[Integrator]]en dar, für die ein Integral der Form
:<math>(H \cdot X)_t := \int_{0}^{t} H_s dX_s </math>
sinnvoll definiert werden kann. <math>H</math> stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten [[Vorhersagbarer Prozess|vorhersagbaren Prozesse]].

=== Stabilität unter Transformationen ===
Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes [[gestoppter Prozess|gestoppte]] Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem „Wechsel der Zeit“ oder einem Übergang zu einem neuen [[absolut stetiges Maß|absolut stetigen Maß]] bleiben Semimartingale erhalten.

Die Menge aller Semimartingale bildet eine [[Algebra über einem Körper|Algebra]], d. h. insbesondere, dass mit <math>X</math> und <math>Y</math> auch <math>\alpha X+\beta Y</math> bzw. <math>XY</math> wieder Semimartingale sind.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Mürmann |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastische Prozesse |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-38160-7 |Seiten=399}}</ref>

== Beispiele ==
=== Martingale ===
Jedes [[Martingal]] ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.

Außerdem ist jedes [[Submartingal]] ein Semimartingal sowie jedes [[Supermartingal]], sofern es [[Càdlàg|rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten]] ist.

=== Sprungprozesse ===
Viele [[Sprungprozess]]e wie verallgemeinerte [[Poisson-Prozess]]e sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.

=== Lévy-Prozesse ===
Jeder [[Lévyprozess|Lévy-Prozess]] ist bzgl. seiner [[Kanonische Filtration|kanonischen Filtration]] ein Semimartingal.

=== Itō-Prozesse ===
Unter anderem in der [[Finanzmathematik]] spielen [[Itō-Prozess]]e eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als
:<math>X_t = X_0 + \int_{0}^{t} b_s\, {\rm d}s +\int_{0}^{t} \sigma_s {\rm d}W_s,</math>
wobei der letzte Term ein [[Itō-Integral]] mit [[Volatilität]]sprozess <math>\sigma_s</math> bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.

== Siehe auch ==
*[[Quasimartingal]]

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor= Jean Jacod, Albert N. Shiryaev| Titel= Limit Theorems for Stochastic Processes| Verlag= Springer| Ort= Berlin| Jahr= 2002| ISBN= 3540439323| Auflage= 2.}}
* {{Literatur | Autor= Philip Protter| Titel= Stochastic Integration and Differential Equations| Verlag= Springer| Ort= Berlin| Jahr= 2003| ISBN= 3540003134| Auflage= 2.}}

[[Kategorie:Martingale und Martingaltheorie]]

== Einzelnachweise ==
<references />

Semimartingal - Versionsgeschichte

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