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2025-11-28T13:20:25Z

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In der [[Gruppentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], stellt das '''semidirekte Produkt''' (auch ''halbdirektes Produkt'' oder ''verschränktes Produkt'') eine spezielle Methode dar, mit der aus zwei gegebenen [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] eine neue Gruppe konstruiert werden kann. Diese Konstruktion verallgemeinert das Konzept des [[Direktes Produkt|direkten Produkts]] von Gruppen und ist selbst ein Spezialfall des Konzepts der [[Gruppenerweiterung]] zweier Gruppen.

Ist umgekehrt eine Gruppe mit zwei Untergruppen vorgegeben, so lässt sich an den Eigenschaften der letzteren erkennen, ob sie deren semidirektes Produkt ist.

== Äußeres semidirektes Produkt ==
=== Definition ===
Gegeben seien zwei Gruppen <math>N</math> und <math>H</math>, sowie ein [[Gruppenhomomorphismus|Homomorphismus]] <math>\theta \; \colon H\to \operatorname{Aut}(N)</math> der Gruppe <math>H</math> in die Gruppe der [[Automorphismus|Automorphismen]] von <math>N .</math>

Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>G=N\times H</math> der Mengen <math>N</math> und <math>H</math> ist die Menge aller Paare <math>(n,h)</math> mit <math>n \in N</math> und <math>h\in H . </math> Es bildet mit der Verknüpfung <math>\diamond</math> der Paare
: <math>(n_1,h_1)\diamond (n_2,h_2) := (n_1 \cdot \theta(h_1)(n_2),h_1\cdot h_2)</math>           (A)
eine Gruppe.
{| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;"
|style="text-align:left; font-size: 95%;" | '''Beweis'''  
|-
|
Die [[Termersetzungssystem|Ersetzungsregel]]
: <math>(n_1, h_1)\diamond (n_3, h_3) \to (n_1 \cdot \theta(h_1)(n_3), h_1\cdot h_3)</math>
schafft die rechte Komponente des ersten Operanden beim Ergebnis in die rechte Komponente sowie die linke Komponente des zweiten Operanden in die linke.

In der Tat erfüllt die mit dieser Verknüpfung ausgestattete Menge <math>N\!\times \!H</math> die Gruppenaxiome. Mit <math>(n^\prime, h^\prime) := \bigl(\theta(h^{-1})(n^{-1}), h^{-1}\bigr) </math>
ist das Inverse gefunden, denn
:<math>\begin{array}{llrlll}
&(n, & h) \diamond & & (n^\prime, & h^\prime) \\
= & (n, & h) \diamond & \bigl(\theta(h^{-1}) & (n^{-1}), & h^{-1}\bigr) \\
= & \bigl(n \cdot & \theta(h)\bigl[ & \theta(h^{-1}) & (n^{-1})\bigr], h\cdot & h^{-1}\bigr) \\
= & \bigl(n \cdot & \bigl[\theta(h) \circ & \theta(h^{-1})\bigr] & (n^{-1}), & h\cdot h^{-1} \bigr) \\
= & (n \cdot & \theta(1_H) && (n^{-1}), & 1_H ) \\
= & (n \cdot & \operatorname{id}_{\operatorname{Aut}(N)} && (n^{-1}), & 1_H ) \\
= & (n \cdot &&& n^{-1}, & 1_H ) \\
= & (1_N, &&&& 1_H ) \\
\end{array}</math>

Das Assoziativgesetz ergibt sich wie folgt:
:<math>\begin{array}{llrlrlr}
&((n_1, & h_1)\diamond & (n_2, & h_2))\diamond & (n_3, & h_3) \\
= & (n_1 \cdot & \theta(h_1) & (n_2), h_1\cdot & h_2)\diamond & (n_3, & h_3) \\
= & (n_1 \cdot & \theta(h_1) & (n_2)\cdot & \theta(h_1\cdot h_2) & (n_3), h_1\cdot h_2\cdot & h_3) \\
= & (n_1\cdot & \theta(h_1) & (n_2) \cdot & \theta(h_1) \circ\theta(h_2) & (n_3), h_1\cdot & h_2\cdot h_3) \\
= & (n_1\cdot & \theta(h_1) & (n_2) \cdot & \theta(h_1) \bigl[\theta(h_2) & (n_3)\bigr], h_1\cdot & h_2\cdot h_3) \\
= & (n_1\cdot & \theta(h_1) & \bigl[n_2 \cdot & \theta(h_2) & (n_3)\bigr], h_1\cdot & h_2\cdot h_3) \\
= & (n_1, & h_1)\diamond & (n_2 \cdot & \theta(h_2) & (n_3), h_2\cdot & h_3) \\
= & (n_1, & h_1)\diamond & ((n_2, & h_2)\diamond & (n_3, & h_3))
\end{array}</math>
|}
Diese Gruppe wird (externes) ''semidirektes Produkt'' von <math>N </math> und <math>H </math> (mittels <math>\theta </math>) genannt und als <math>N\rtimes_\theta H</math> notiert, da der (vermittelnde) Homomorphismus <math>\theta</math> die Struktur dieser Gruppe wesentlich mitbestimmt. Beispielsweise erhält man das ''direkte'' Produkt <math>N\times H,</math> wenn man <math>\theta</math> trivial wählt, also <math> \theta(h) := \operatorname{id}_N \in \operatorname{Aut}(N) </math> für alle <math>h \in H .</math>

Anders als beim direkten Produkt spielen in dieser Definition die beiden konstituierenden Faktoren unterschiedliche Rollen beim Aufbau des Produkts. Durch <math>\theta</math> [[Gruppenoperation|operiert die Gruppe]] <math>H</math> auf <math>N ,</math> nicht umgekehrt. Genauer: Die Regel (A) macht mit einem <math>\theta \; \colon H\to \operatorname{Aut}(N) </math> den Faktor <math>N</math> zum Normalteiler. Gibt es verschiedene Homomorphismen <math>\theta , </math> dann sind bei gleichen Faktoren normalerweise die semidirekten Produkte verschieden (d. h. nicht isomorph).

Während beim direkten Produkt beim Vertauschen der Faktoren zwar nicht dieselbe, aber eine isomorphe Struktur entsteht, fehlt beim Vertauschen im semidirekten Produkt die Gruppenoperation von <math>N</math> auf <math>H .</math> Aus ähnlichen Gründen ist eine Erweiterung auf mehr als zwei Faktoren kaum sinnvoll und in der Literatur nicht üblich. Pointiert, wenn auch ungenau formuliert: Das semidirekte Produkt ist assoziativ, aber nicht kommutativ.

=== Eigenschaften ===
# Das direkte Produkt <math>N\times H</math>, das sich zu beliebigen Gruppen <math>N</math> und <math>H </math> konstruieren lässt, ist ein semidirektes Produkt mit trivialem <math>\theta . </math>
# Ist aus zwei beliebigen Gruppen <math>N</math> und <math>H</math> und einem <math>\theta \; \colon H\to \operatorname{Aut}(N)</math> das äußere semidirekte Produkt <math>G:=N\rtimes_\theta H</math> gebildet worden, dann enthält die Gruppe <math>G</math> mit <math>N^\prime:=N\times\{1_H\}</math> einen zu <math>N</math> isomorphen Normalteiler und mit <math>H^\prime:=\{1_N\}\times H</math> eine zu <math>H</math> isomorphe Untergruppe und kann als ''inneres'' semidirektes Produkt von <math>N^\prime</math> und <math>H^\prime</math> aufgefasst werden.
# Die Gruppe <math>N\rtimes_\theta H</math> ist genau dann abelsch, wenn <math>N</math> und <math>H</math> abelsch sind und <math>\theta</math> trivial ist.

== Inneres semidirektes Produkt ==
Gegeben sei eine Gruppe <math>G</math>, ein [[Normalteiler]] <math>N \vartriangleleft G</math> und eine [[Untergruppe]] <math>H<G , </math>
dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
* <math>G</math> ist das [[Komplexprodukt]] <math>G = NH </math>, und die Untergruppen haben trivialen [[Schnittmenge|Durchschnitt]] <math>N\cap H = \{1_G\} . </math>
* Zu jedem <math>g\in G</math> gibt es eindeutige <math>n\in N</math> und <math>h\in H</math> mit <math>g = nh . </math>
* Zu jedem <math>g\in G</math> gibt es eindeutige <math>n\in N</math> und <math>h\in H</math> mit <math>g = hn . </math>
* Es gibt einen [[Homomorphismus]] <math>G \to H</math>, der <math>H</math> elementweise fixiert und dessen [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>N</math> ist.
* Die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] <math>v\circ r</math> der [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] <math>r \; \colon H \to G</math> und der [[Normalteiler#Kanonischer Homomorphismus|kanonischen Abbildung]] <math>v \; \colon G \to G/N</math> ist ein [[Isomorphismus]] <math>H \cong G/N . </math>

=== Definition ===
Ist eine dieser Bedingungen erfüllt, dann ist <math>G</math> das (innere) '''semidirekte Produkt''' von <math>N</math> und <math>H , </math> in Zeichen
: <math>N \! \rtimes \! H . </math>
Die Komponenten <math>N</math> und <math>H</math> spielen unterschiedliche Rollen und sind im Allgemeinen nicht vertauschbar. Der Normalteiler steht immer auf der offenen Seite des Zeichens <math>\rtimes , </math> meist wird er zuerst notiert.

=== {{Anker|Splitting-Lemma}}Zerfallende kurze exakte Sequenz (Splitting-Lemma) ===
Die letzten beiden der obigen Bedingungen sind andere Formulierungen des Zerfällungs-Lemmas:

* Eine Gruppe <math>G</math> ist genau dann [[Isomorphismus|isomorph]] zum semidirekten Produkt zweier Gruppen <math>N</math> und <math>H</math>, wenn es eine [[kurze exakte Sequenz]] gibt
:: <math> 1 \longrightarrow N \, \xrightarrow{\ u\ }\, G \, \xrightarrow{\ v\ } \, H \longrightarrow 1</math>
:sowie einen Homomorphismus <math>r \; \colon H \to G</math>, so dass <math>v \circ r = \operatorname{id}_H</math> die [[Identische Abbildung|Identität]] auf <math>H</math> ist. Man sagt „Die exakte Sequenz zerfällt“ oder „<math>G</math> zerfällt in der kurzen exakten Sequenz“ oder „<math>G</math> zerfällt über <math>N</math>“.

Der das semidirekte Produkt <math>N \! \rtimes_\theta \! H</math> vermittelnde Homomorphismus <math>\theta \colon H\to \operatorname{Aut}(N)</math> ist
: <math>\theta(h)(n) = u^{-1}\left(r(h)\cdot u(n)\cdot r\bigl(h^{-1}\bigr)\right) . </math>
Wegen der Normalteilereigenschaft von <math>u(N)</math> ist <math>n^\prime := g\cdot u(n)\cdot g^{-1}\in u(N) </math> für alle <math>g\in G</math>, so dass <math>u^{-1}(n^\prime)</math> stets definiert ist.

Das Lemma ist ein Kriterium für Semidirektheit sowohl im inneren wie im äußeren Fall, bei dem <math>N </math> und <math>H </math> nicht Untergruppen sind.

== Beispiele ==

* In der [[Liste kleiner Gruppen]] ist als nicht-kommutative Gruppe der Ordnung 16 das semidirekte Produkt <math>C_4\rtimes C_4</math> ohne Angabe eines vermittelnden Homomorphismus <math>\theta</math> aufgeführt. Nun besteht die Automorphismengruppe <math>\operatorname{Aut}(C_4) = \bigl\{a\mapsto \alpha a \, \big| \, \alpha \in \{1,3\}\bigr\} </math> aus 2 Elementen, die den primen Restklassen in <math>C_4</math> entsprechen. Das triviale <math>\theta(a)=1^a</math> mit <math>a \in \{0,1,2,3\}</math> vermittelt als semidirektes Produkt die kommutative Gruppe <math>C_4\times C_4 . </math> Das nicht-kommutative semidirekte Produkt wird von <math>\theta(a)=3^a</math> vermittelt. Es bestehen dann folgende Formeln, wobei alle Angaben in <math>\Z/4\Z , </math> d. h. modulo 4, zu verstehen sind:
:: <math>(a,b)\diamond (c,d) = (a+3^b c, b+d), \qquad a,b,c,d \in \{0,1,2,3\}</math>
:: <math>(0,0)</math>   ist das [[Neutrales Element|neutrale Element]].
:: <math>(a,b)^{-1} = (-3^b a, -b), \qquad a,b \in \{0,1,2,3\}</math>.
:Insbesondere ist <math>(a,1)\diamond (b,1) = (a+3b,2)</math>, woran man erkennt, dass die Gruppe nicht kommutativ ist.

* Es gibt 4 (nicht-isomorphe) Gruppen, die semidirektes Produkt der zyklischen Gruppen <math>C_8=\Z/8\Z</math> und <math>C_2=\Z/2\Z</math> sind. Diese semidirekten Produkte entsprechen den 4 Automorphismen des [[Restklassenring]]s <math>\Z/8\Z</math>, die wiederum den primen Restklassen <math>1, 3, 5, 7 \in (\Z/8\Z)^\times</math> entsprechen.
:# Das direkte Produkt <math>C_8\times C_2</math> <math>(\alpha=1)</math>
:# Die [[Quasi-Diedergruppe]] der Ordnung 16 <math>(\alpha=3)</math>
:# Die [[Modulare Gruppe (M-Gruppe)#Eine nicht-hamiltonsche, nichtabelsche Gruppe der Ordnung 16|nicht-hamiltonsche, nichtabelsche Gruppe der Ordnung 16]] (engl. ''Iwasawa-Gruppe'') <math>(\alpha=5)</math>
:# Die [[Diedergruppe]] der Ordnung 16 <math>(\alpha=7)</math>

* Die [[Hurwitzquaternion#Hurwitz-Einheiten|Einheitengruppe]] <math>Q_{24} := \left\{\xi \in H \mid \| \xi \| = 1 \right\}</math> der [[Hurwitzquaternion]]en <math>H </math> ist semidirektes Produkt <math>\mathsf{Q}_8 \rtimes Q_3</math> der nicht-kommutativen [[Quaternionengruppe]] <math>\mathsf{Q}_8 := \left\{\pm 1, \pm \mathrm i , \pm \mathrm j , \pm \mathrm k \right\}</math> und der zyklischen Gruppe <math>Q_3 := \{1, \varepsilon^2, \varepsilon^4\} </math> mit <math>\varepsilon := \tfrac{1}{2}(1+\mathrm i +\mathrm j +\mathrm k ) . </math>

* Die Gruppe der Automorphismen <math>\operatorname{Aut}(\mathfrak g)</math> einer komplexen oder reellen einfachen [[Lie-Algebra]] <math>\mathfrak g</math> ist das semidirekte Produkt der Gruppe der inneren Automorphismen <math>\operatorname{Inn}(\mathfrak g)=\operatorname{Aut}(\mathfrak g)_0</math> mit der Gruppe der „äußeren Automorphismen“ <math>\operatorname{Out}(\mathfrak g)=\operatorname{Aut}(\mathfrak g)/\operatorname{Aut}(\mathfrak g)_0</math>, das heißt, die folgende kurze exakte Sequenz zerfällt: <math>1 \rightarrow \operatorname{Aut}(\mathfrak g)_0\rightarrow \operatorname{Aut}(\mathfrak g)\rightarrow \operatorname{Aut}(\mathfrak g)/\operatorname{Aut}(\mathfrak g)_0 \rightarrow 1</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.heldermann.de/JLT/JLT20/JLT204/jlt20035.htm |titel=JLT 20035 |abruf=2019-12-13}}</ref>

=== Theorie endlicher Gruppen ===
* Die [[Diedergruppe]] <math>D_n</math>, also die Symmetriegruppe eines ebenen regelmäßigen {{nowrap|<math>n</math>-Ecks,}} ist isomorph zum semidirekten Produkt der [[Zyklische Gruppe|zyklischen]] Drehsymmetriegruppe <math>N\cong C_n</math> (die durch eine [[Zyklische Permutation|zyklische Vertauschung]] der Ecken des Vielecks beschrieben werden kann) mit einer zweielementigen zyklischen Gruppe <math>H= \langle \sigma \rangle \cong C_2</math>. Das Element <math>\sigma</math> operiert dabei durch
:: <math>
\theta(\sigma)\colon N\to N;\quad g\mapsto g^{-1}
</math>
: auf <math>N</math>, d. h., die Konjugation mit σ entspricht der Inversenbildung in <math>N</math>. Das Element <math>\sigma</math> kann als Spiegelung des Vielecks an einer seiner Symmetrieachsen aufgefasst werden.
* Für <math>n > 1</math> ist die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_n</math> isomorph zu einem semidirekten Produkt ihres Normalteilers <math>N=A_n</math> (der [[Alternierende Gruppe|alternierenden Gruppe]]) und einer zweielementigen zyklischen Gruppe <math>H=\langle\tau_{(jk)}\rangle\cong C_2</math>. Das Element <math>\tau=\tau_{(jk)}</math> operiert auf <math>N</math>, indem in der Permutationsdarstellung von <math>\alpha\in N=A_n</math> die Zahlen <math>j</math> und <math>k</math> vertauscht werden (<math>1\leq j<k\leq n</math>). Als inneres semidirektes Produkt aufgefasst: Für <math>n > 1</math> ''ist'' die symmetrische Gruppe <math>S_n</math> ein semidirektes Produkt ihres Normalteiler <math>A_n</math> mit ihrer durch eine beliebige [[Vertauschung|Transposition]] <math>\tau\in S_n</math> erzeugten Untergruppe <math>\langle \tau \rangle</math>.
* Der [[Satz von Schur-Zassenhaus]] ist ein Kriterium, wann man eine [[endliche Gruppe]] als ein semidirektes Produkt schreiben kann.

=== Der Holomorph einer Gruppe ===
Verwendet man speziell den Homomorphismus <math>\theta := \operatorname{id}_{\operatorname{Aut}(G)} \colon \operatorname{Aut}(G) \rightarrow \operatorname{Aut}(G)</math> als vermittelnden, so erhält man als semidirektes Produkt <math>G\rtimes_\theta \operatorname{Aut}(G)</math> den [[Holomorph einer Gruppe|Holomorph]] von <math>G</math>.

=== Anwendungsbeispiele in Transformationsgruppen ===
Wichtige Beispiele semidirekter Produkte sind:

==== Euklidische Gruppe ====
Ein Beispiel ist die [[euklidische Gruppe]] <math>\operatorname{E}(n)=\R^n\rtimes \operatorname{O}(n)</math>. Jede orthogonale Matrix <math>R\in \operatorname{O}(n)</math> beschreibt einen Automorphismus im Raum der Translationen <math>T\in\R^n</math> durch
: <math>\theta(R) \colon \left\{ \begin{aligned} \R^n &\to \R^n \\ T &\mapsto R\cdot T. \end{aligned} \right.</math>
Eine Bewegung <math>(T,R)\in \operatorname{E}(n)</math> operiert auf Punkten <math>p\in\R^n</math> durch <math>(T,R)[p]:=T+R\cdot p</math> und es gilt
: <math>(T_1,R_1)[(T_2,R_2)[p]] = T_1+R_1(T_2+R_2p) = (T_1+R_1\cdot T_2,R_1\cdot R_2)[p]</math>.
Somit gilt für Produkte in <math>\operatorname{E}(n)</math>:
: <math>(T_1,R_1)\diamond (T_2,R_2) = (T_1+\theta(R_1)[T_2], R_1\cdot R_2)</math>.
Dieses Produkt ist nicht abelsch, denn es gilt für <math>R\neq\mathbf{1}</math> und <math>T\neq \mathbf{0}</math>:
: <math>\begin{align}
(T,\mathbf{1})\diamond (\mathbf{0},R) &= (T,R) \\
&\neq (RT,R) = (\mathbf{0},R)\diamond (T,\mathbf{1})
\end{align}</math>

==== Poincaré-Gruppe ====
Die [[Poincaré-Gruppe]] ist das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen <math>N=\mathbb{R}^{3+1}</math> und der Gruppe der [[Lorentz-Gruppe|Lorentztransformationen]] <math>H = O(3,1)</math>. Das Element <math>T_a \in N</math> bezeichne eine Verschiebung mit dem Vektor {{nowrap|<math>a\in\mathbb{R}^{3+1}</math>.}} Der Homomorphismus <math>\theta</math> ist dann durch <math>\theta(L)(T_a)=T_{La}</math> für jede Lorentztransformation <math>L</math> und jeden Vektor <math>a</math> gegeben. Die Poincaré-Gruppe ist besonders wichtig für die [[spezielle Relativitätstheorie]], wo sie als [[Invarianzgruppe]] auftaucht.

== Siehe auch ==
* [[Affine Gruppe]]
* [[Semidirekte Summe]]

== Literatur ==
* Thomas W. Hungerford: ''Algebra''. 5. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

== Weblinks ==
* [https://wwwold.mathematik.tu-dortmund.de/~scharlau/WiSe0708/AlgebraII/semidirekte_produkte.pdf Rudolf Scharlau ''Algebra I'' 2.6 Ergänzungen und Beispiele: Semidirekte Produkte]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]

Semidirektes Produkt - Versionsgeschichte

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