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Ein '''selbstadjungierter Operator''' ist ein [[linearer Operator]] mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Der selbstadjungierte Operator ist eine Verallgemeinerung der [[Selbstadjungierte Matrix|selbstadjungierten Matrix]].

== Definition ==
In diesem Abschnitt wird die Definition des selbstadjungierten Operators angeführt. Im ersten Abschnitt wird sie nur für beschränkte Operatoren gegeben und im zweiten dann auch für unbeschränkte. Da beschränkte Operatoren immer auf dem ganzen Vektorraum definiert werden können, ist der beschränkte selbstadjungierte Operator ein Spezialfall des unbeschränkten selbstadjungierten Operators.

=== Beschränkte Operatoren ===
Sei <math>(H,\langle.,.\rangle)</math> ein [[Hilbertraum]] bestehend aus dem [[Vektorraum]] <math>H</math> und dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> und sei <math>T \colon H \to H</math> ein [[Beschränkter Operator|beschränkter]] [[linearer Operator]]. Falls <math>T</math> die Gleichung

: <math> \langle T x ,y\rangle = \langle x , T y \rangle </math>

erfüllt, heißt er selbstadjungiert.<ref>{{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-72533-6 |Seiten=236–237}}</ref>

=== Unbeschränkte Operatoren ===
Sei <math>(H,\langle.,.\rangle)</math> ein [[Hilbertraum]] bestehend aus dem [[Vektorraum]] <math>H</math> und dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> und sei <math>T \colon D(T) \to H</math> ein [[dicht definierter Operator]]. Sei <math>D(T^*)</math> der Raum aller <math>y \in H</math>, so dass das lineare [[Funktional]]

: <math>x \mapsto \langle Tx,y \rangle </math>

stetig ist. Dieses Funktional hat den Definitionsbereich <math>D(T)</math>, ist also dicht definiert in <math>H</math>. Folglich besitzt es eine eindeutige [[stetige Fortsetzung]] auf ganz <math>H</math>. Nach dem [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]] existiert ein eindeutig bestimmtes Element <math>T^* y \in H</math>, so dass

: <math> \langle T x ,y\rangle = \langle x , T^* y \rangle </math>

für alle <math>x \in H</math> gilt. Der Operator <math>T^*</math> mit dem Definitionsbereich <math>D(T^*)</math> ist der zu <math>T</math> eindeutig bestimmte [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]].

Der Operator <math>T</math> heißt nun selbstadjungiert, falls <math>T = T^*</math> und <math>D(T) = D(T^*)</math> gelten, also falls der Operator <math>T</math> mit seinem adjungierten Operator <math>T^*</math> und die entsprechenden Definitionsbereiche übereinstimmen.<ref>[[Walter Rudin]]: ''Functional Analysis.'' McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 347–348.</ref>

== Geschichte ==
[[John von Neumann]], der 1929 die Theorie der [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkten Operatoren]] begründete, war auch der erste, der die Notwendigkeit erkannte, zwischen symmetrischen und selbstadjungierten Operatoren zu unterscheiden. Denn nur für die letzteren kann eine Spektralzerlegung, wie sie im letzten Abschnitt dieses Artikels beschrieben wird, gezeigt werden. Von Neumann nannte symmetrische Operatoren [[Hermitescher Operator|hermitesch]]. Er stellte fest, dass es unter anderem für die Spektralzerlegung wichtig sei, dass ein Operator keine symmetrische Erweiterung zulässt und nannte diese Klasse von Operatoren ''maximal hermitesch''. Jedoch ist diese Forderung für den Spektralsatz, der selbstadjungierte Operatoren voraussetzt, noch nicht hinreichend. Von Neumann nannte auf Anregung [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidts]] selbstadjungierte Operatoren ''hypermaximal''. Der Begriff selbstadjungierter Operator wurde von [[Marshall Harvey Stone]] geprägt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-72533-6 |Kapitel=Kapitel VII.6}}</ref>

== Verwandte Objekte ==
=== Selbstadjungierte Matrix ===
{{Hauptartikel|Selbstadjungierte Matrix}}

Sei <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math> der [[Reelle Zahl|reelle]] oder [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlenkörper]] und sei <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ein [[Skalarprodukt]] auf <math>\mathbb{K}^n,</math> dann ist <math>(\mathbb{K}^n , \langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein Hilbertraum. Eine Matrix <math>A</math> heißt selbstadjungiert, wenn
:<math>\langle Ay , x \rangle = \langle y , Ax \rangle</math>
für alle <math>x , y \in \mathbb{K}^n</math> gilt. Die Matrix <math>A</math> wird hier als [[lineare Abbildung]] auf dem <math>\mathbb{K}^n</math> aufgefasst. Da <math>A</math> zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen abbildet, ist <math>A</math> beschränkt, daher [[Stetige Abbildung|stetig]] und somit auch dicht definiert. Also ist eine selbstadjungierte Matrix auch ein selbstadjungierter Operator. Betrachtet man den <math>\R^n</math> mit seinem [[Standardskalarprodukt]], so entsprechen die [[Symmetrische Matrix|symmetrischen Matrizen]] den selbstadjungierten. Im Fall des <math>\Complex^n</math> mit dem entsprechenden kanonischen Skalarprodukt sind die [[Hermitesche Matrix|hermiteschen Matrizen]] die selbstadjungierten.

=== Symmetrischer Operator ===
{{Hauptartikel|Symmetrischer Operator}}

Ein Operator <math>T \colon D(T) \to H</math> heißt symmetrisch, falls
:<math> \langle T y ,x\rangle = \langle y , T x \rangle </math>
für alle <math>x, \, y \in D(T)</math> gilt. Im Gegensatz zum selbstadjungierten Operator wird hier nicht gefordert, dass der Operator <math>T</math> dicht definiert sein muss (das ist in der Literatur aber nicht einheitlich). Ist <math>T</math> dicht definiert (und damit der adjungierte Operator wohl definiert), so ist <math>T</math> genau dann symmetrisch, wenn <math>T\subseteq T^*</math> gilt. Für beschränkte Operatoren fallen die Begriffe selbstadjungiert und symmetrisch zusammen. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkt]]. Außerdem besagt der [[Satz von Hellinger-Toeplitz]], dass jeder symmetrische Operator, der auf ganz <math>H</math> definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.

=== Wesentlich selbstadjungierter Operator ===
Ein Operator <math>T\colon D(T) \to H</math> heißt wesentlich selbstadjungiert, falls <math>T</math> symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist. Einen wesentlich selbstadjungierten Operator kann man also immer zu einem selbstadjungierten Operator fortsetzen.

== Beispiele ==
=== Symmetrische Matrix ===
{{Hauptartikel|Symmetrische Matrix}}

Eine symmetrische Matrix <math>A \in \R^{n \times n}</math> kann als Operator <math>A\colon \R^n \to \R^n</math> verstanden werden. Bezüglich des Standardskalarproduktes ist jede symmetrische Matrix eine selbstadjungierte Matrix beziehungsweise ein selbstadjungierter Operator.

=== Der Operator -i <sup>d</sup>/<sub>dx</sub> ===
Ist ein Operator beschränkt, so sind die Begriffe symmetrischer Operator, wesentlich selbstadjungierter Operator und selbstadjungierter Operator wie erwähnt äquivalent. Bei unbeschränkten Operatoren impliziert zwar die Selbstadjungiertheit die Symmetrie, aber die Umkehrung gilt nicht. Ein Gegenbeispiel gibt das folgende Paar:
# Im Folgenden wird der Hilbertraum <math>C^\infty(]0,1[) \cap L^2(]0,1[)</math> und der [[Differentialoperator]] <math>p_1 :=-{\rm i}\,\tfrac{{\rm d}}{{\rm d} x} = \tfrac{1}{{\rm i}}\,\tfrac{{\rm d}}{{\rm d} x}</math> mit den [[Dirichlet-Randbedingung|dirichletschen Randbedingungen]] <math>\psi (0)=\psi (1) =0</math> betrachtet.
# Und dessen Erweiterung <math>p_2,</math> bei der man nur „Periodizität“ fordert, <math>\psi (1) = \psi (0)</math>.

Aus der Gleichungskette
:<math>\langle u, p_iv \rangle_{L^2} - \langle p_iu,v \rangle_{L^2} = \int_0^1 \overline{u(x)}\cdot p_i v(x)-\overline{ p_i u(x)} \cdot v(x) \mathrm{d}x =-{\rm i}\cdot \left( \overline u(1)\cdot v(1)-\overline u(0)\cdot v(0)\right) = 0</math>
folgt, dass die Operatoren <math>p_i</math> für <math>i \in \{1,2\}</math> symmetrisch sind. Jedoch ist nur der Operator <math>p_2</math> selbstadjungiert, denn im ersten Fall wird der [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] in unnötiger Weise eingeschränkt. Er besitzt dann ''gar keine'' Eigenfunktionen mehr, weil diese alle von der Form <math>\exp (i\lambda_n\cdot x)</math> sind, also die geforderte Bedingung <math>\psi (0)=0</math> verletzen würden.

=== Laplace-Operator ===
{{Hauptartikel|Laplace-Operator}}

Der Laplace-Operator <math>\Delta\colon D(\Delta) \to L^2(\R^n)</math> ist ein unbeschränkter Operator. Er ist bezüglich des <math>L^2</math>-Skalarproduktes selbstadjungiert. Das heißt, er ist symmetrisch bezüglich dieses Skalarprodukts, was
:<math>\int_{\R^n} \Delta f(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} f(x) \Delta g(x) \mathrm{d} x</math>
für alle <math>f, \, g \in D(\Delta)</math> bedeutet, und ist dicht definiert. Die Ableitung ist hier im [[Schwache Ableitung|schwachen Sinn]] zu verstehen. Somit gilt für den Definitionsbereich
:<math>D(\Delta) = \{u \in L^2(\R^n): \Delta u \in L^2(\R^n) \}.</math>
Dies entspricht dem [[Sobolev-Raum]] <math>H^2(\R^n)</math> der quadratintegierbaren und zweimal schwach differenzierbaren Funktionen, dieser liegt dicht in <math>L^2(\R^n)</math>. Die Symmetrie des Laplace-Operators folgt aus der [[Greensche Formel|greenschen Formel]].

=== Multiplikationsoperator ===
Sei <math>(\Omega,\Sigma, \mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>f\colon \Omega \to \R</math> eine [[messbare Funktion]]. Der Multiplikationsoperator <math>M_f \colon D(M_f) \to L^2(\mu)</math> mit <math>D(M_f) = \{x \in L^2(\mu): f \cdot x \in L^2(\mu)\} \subset L^2(\mu)</math> ist definiert durch
:<math>x \mapsto M_f x := f \cdot x.</math>

Dieser Operator ist unbeschränkt und dicht definiert, denn für <math>\Omega_n := \{\omega \in \Omega: |f(\omega)| \leq n\}</math> enthält <math>D(M_f)</math> alle <math>L^2</math>-Klassen, die außerhalb von <math>\Omega_n</math> verschwinden und wegen <math>\textstyle \Omega = \bigcup_{n} \Omega_n</math> ist <math>D(M_f) \subset L^2(\mu)</math> dicht. Außerdem ist <math>M_f</math> bezüglich des <math>L^2</math>-Skalarproduktes symmetrisch. Der Operator ist auch selbstadjungiert. Da für einen symmetrischen Operator nämlich <math>M_f \subset M_f^*</math> gilt, was <math>D(M_f) \subset D(M_f^*)</math> und <math>M_f^*|_{D(M_f)} = M_f</math> bedeutet, muss für die Selbstadjungiertheit nur noch <math>D(M_f^*) \subset D(M_f)</math> gezeigt werden. Sei <math>\chi_n</math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] von <math>\Omega_n</math>, für <math>z \in D(M_f)</math> und <math>x \in D(M_f^*)</math> gilt
:<math>
\langle z , \chi_n M_f^* x \rangle_{L^2} = \langle \chi_n z , M_f^*x\rangle_{L^2} = \langle M_f(\chi_n z), x\rangle_{L^2} = \langle f \chi_n z, x \rangle_{L^2}.
</math>

Das heißt, <math>\chi_n M_f^* x = \chi_n f x</math> gilt [[fast überall]]. Da <math>\chi_n \to 1</math> punktweise konvergiert, gilt <math>M_f^* x = fx</math> fast überall. Da nun <math>M_f^* x = f x</math> in <math>L^2</math> liegt ist <math>x \in D(M_f)</math>, was <math>D(M_f) = D(M_f^*)</math> zeigt und somit die Selbstadjungiertheit beweist.

== Kriterien ==
Für einen in einem Hilbertraum <math>(H,\langle.,.\rangle)</math> ''dicht definierten'' Operator <math>T \colon D(T) \to H</math> gibt es hinsichtlich der Frage der ''Selbstadjungiertheit'' folgende immer wieder genannte [[Kriterium|Kriterien]]<ref name="Werner">{{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-72533-6 |Seiten=342–347}}</ref><ref name="Hirzebruch-Scharlau">{{Literatur |Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]] |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis. |Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher |BandReihe=296 |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim [u. a.] |Datum=1971 |ISBN=3-411-00296-4 |Seiten=158–159}}</ref><ref name="Meise-Vogt">{{Literatur |Autor=Reinhold Meise, Dietmar Vogt |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis |Reihe=Vieweg Studium – Aufbaukurs Mathematik |BandReihe=62 |Verlag=Vieweg Verlag |Ort=Braunschweig [u. a.] |Datum=1992 |ISBN=3-528-07262-8 |Seiten=204 ff.}}</ref>.

=== Erstes Kriterium ===
<math>T</math> ist dann und nur dann '''selbstadjungierter Operator''' in <math>H</math>, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
# Es gilt <math>T = T^* = T^{**}</math>.

=== Zweites Kriterium ===
<math>T</math> ist dann und nur dann '''selbstadjungierter Operator''' in <math>H</math>, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
# <math>T</math> ist symmetrisch.
# <math>T</math> ist [[Abgeschlossener Operator|abgeschlossen]].
# Die [[Kern (Algebra)|Nullräume]] der beiden Operatoren <math>T^* - \mathrm i \cdot Id_H</math> und <math>T^* + \mathrm i \cdot Id_H</math> sind gleich <math>\{0\}</math>.

Für die in der zuletzt genannten Bedingung auftretenden Nullräume betrachtet man oft deren [[Hilbertraumdimension]]en. Diese nennt man im Falle eines ''symmetrischen Operators'' <math>T</math> auch dessen ''Defektindizes''. Die zuletzt genannte Bedingung lässt sich daher auch so ausdrücken, dass ''die Defektindizes von <math>T</math> gleich 0 sind''.

=== Drittes Kriterium ===
Die Bedingungen 2 und 3 des zweiten Kriteriums lassen sich zu einer einzigen umdeuten und auf diesem Wege erhält man hinsichtlich der Frage der ''Selbstadjungiertheit'' von <math>T</math> ein weiteres gleichwertiges Kriterium:

<math>T </math> ist dann und nur dann '''selbstadjungierter Operator''' in <math>H</math>, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
# <math>T</math> ist symmetrisch.
# Die [[Bild (Mathematik)|Bildräume]] der beiden Operatoren <math>T - \mathrm i \cdot Id_H</math> und <math>T + \mathrm i \cdot Id_H</math> sind gleich <math>H</math>.

=== Viertes Kriterium ===
Das vierte Kriterium zeigt, dass die Selbstadjungiertheit eines ''dicht definierten'' Operators im Wesentlichen durch die Lage seines [[Spektrum (Operatortheorie)#Das Spektrum linearer Operatoren|Spektrums]] innerhalb der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] bestimmt wird:

<math>T </math> ist dann und nur dann '''selbstadjungierter Operator''' in <math>H</math>, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
# <math>T</math> ist symmetrisch.
# Das Spektrum von <math>T</math> besteht allein aus reellen Zahlen, also <math>\sigma(T) \subset \R </math>.

== Eigenschaften ==
Sei <math>T</math> ein dicht definierter Operator auf dem Hilbertraum <math>(H,\langle.,.\rangle),</math>
* dann ist <math>T^*T</math> ein selbstadjungierter Operator mit <math>\langle T x, x\rangle \geq 0.</math>

Sei <math>T</math> ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum <math>(H,\langle.,.\rangle).</math>
* Für das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] <math>\sigma(T)</math> von <math>T</math> gilt <math>\sigma(T) \subset \R.</math> Es gibt also keine Spektralwerte, die echte [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] sind. Insbesondere hat eine selbstadjungierte Matrix nur reelle Spektral- beziehungsweise [[Eigenwerte]].
* Ein Operator <math>T</math> ist [[Positiver Operator|positiv]], das heißt, es gilt <math>\langle T x, x\rangle \geq 0</math> für alle <math>x \in D(T)</math> genau dann, wenn für das Spektrum <math>\sigma(T)</math> die Inklusion <math>\sigma(T) \subset [0,\infty]</math> gilt.
* Falls <math>\langle T x, x\rangle \geq 0</math> für alle <math>x \in H</math> gilt, so existiert ein selbstadjungierter Operator <math>B</math> mit <math>\langle B x, x\rangle \geq 0</math> für alle <math>x \in H</math>, so dass <math>B \circ B = T</math> gilt.

== Friedrichssche Erweiterung ==
{{Hauptartikel|Friedrichssche Erweiterung}}
Sei <math>(H , \langle , \rangle_H)</math> ein Hilbertraum und <math>T \colon D(T) \to H</math> ein dicht definierter ''halbbeschränkter Operator''. Für einen Operator <math>T</math> bedeutet ''halbbeschränkt'' zu sein, dass der Operator entweder die Ungleichung <math>\langle Tx,x\rangle_H \geq C\|x\|^2_H</math> oder die Ungleichung <math>\langle Tx,x\rangle_H \leq C\|x\|^2_H</math> für ein <math>C \in \R</math> und für alle <math>x \in D(T)</math> erfüllt. Dann existiert zu <math>T</math> eine selbstadjungierte Erweiterung von <math>T</math>, die derselben Abschätzung genügt.

Zu beachten ist, dass bei einem halbbeschränkten Operator <math>T</math> der Ausdruck <math>\langle Tx,x\rangle_H</math> reellwertig sein muss, da sonst die [[Ordnungsrelation]]en <math>\geq</math> und <math>\leq</math> nicht definiert sind; und Operatoren, für die <math>\langle Tx,x\rangle_H \in \R</math> für alle <math>x \in H</math> gilt, sind symmetrisch.

Sei <math>T \colon D(A) \to H</math> ein [[Abgeschlossener Operator|abgeschlossener]] und dicht definierter Operator. Dann lässt sich aus der Friedrichsschen Erweiterung folgern, dass <math>T^*T \colon \{ x \in D(T): Tx \in D(T^*)\} \to H</math> dicht definiert und selbstadjungiert ist.

== Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren ==
=== Spektralzerlegung ===
{{Hauptartikel|Spektralsatz}}
Sei <math>(H,\langle.,.\rangle_H)</math> ein Hilbertraum und <math>\Sigma</math> die [[borelsche σ-Algebra]]. Für jeden selbstadjungierten Operator <math>T \colon D(T) \to H</math> existiert ein eindeutiges [[Spektralmaß]] <math>E \colon \Sigma \to L(H,H)</math>, so dass
: <math> \langle Tx, y\rangle_H = \int_\R t\, \mathrm{d} \langle E_t \, x,y\rangle_H</math>
mit <math>x \in D(T)</math> und <math>y \in H</math> gilt. Diese Aussage ist der Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren. Fordert man, dass die Operatoren beschränkt und selbstadjungiert oder gar [[Kompakter Operator|kompakt]] und selbstadjungiert sind, so vereinfacht sich das Resultat. Das wird im Artikel [[Spektralsatz]] näher erläutert.

=== Multiplikationsoperator ===
Sei <math>H</math> ebenfalls wieder ein Hilbertraum und sei <math>T \colon H \supset D(T) \to H</math> ein selbstadjungierter Operator. Dann existiert ein (im [[Separabler Raum|separablen]] Fall ein <math>\sigma</math>-endlicher) Maßraum <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math>, eine [[messbare Funktion]] <math>f \colon \Omega \to \R</math> sowie ein [[unitärer Operator]] <math>U \colon H \to L^2(\mu)</math> mit
# <math>x \in D(T) \Leftrightarrow f \cdot U x \in L^2(\mu)</math> und
# <math>U T U^* \phi = f \cdot \phi</math> für <math>\phi \in \{\phi \in L^2(\mu): f\cdot \phi \in L^2(\mu)\}</math>.

Im Wesentlichen ist also der Multiplikationsoperator <math>\phi \mapsto f \cdot \phi</math> das einzige Beispiel eines selbstadjungierten Operators.

== Literatur ==
* Hans Cycon, Richard G. Froese, [[Werner Kirsch (Mathematiker)|Werner Kirsch]], Barry Simon: ''Schrödinger Operators''. Springer, 1987
* {{Literatur
|Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]]
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis.
|Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=296
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim [u. a.]
|Datum=1971
|ISBN=3-411-00296-4}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]
* {{Literatur
|Autor=Reinhold Meise, Dietmar Vogt
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
|Reihe=Vieweg Studium – Aufbaukurs Mathematik
|BandReihe=62
|Verlag=Vieweg Verlag
|Ort=Braunschweig [u. a.]
|Datum=1992
|ISBN=3-528-07262-8}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meise%2C%20Reinhold&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=40&mx-pid=1195130 MR1195130]
* Michael Reed, [[Barry Simon]]: ''Methods of Modern Mathematical Physics''. 4 Bände. Academic Press, 1978, 1980
* [[Walter Rudin]]: ''Functional Analysis''. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8. Kap. 13
* [[Gerald Teschl]]: ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators''. American Mathematical Society, Providence RI 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, [http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ mat.univie.ac.at]
* {{Literatur
|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
|Titel=Funktionalanalysis
|Auflage=6., korrigierte
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-72533-6
|Seiten=342–347}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Selbstadjungierter Operator - Versionsgeschichte

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