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2026-02-17T06:06:04Z

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Eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], die eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] in sich selbst abbildet, heißt in der [[Mathematik]] '''Selbstabbildung.''' Diese Abbildungen spielen in allen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle: Einerseits können durch die Veränderungen, die die Struktur der Menge bei der Selbstabbildung erfährt, Informationen über diese Struktur gewonnen werden, andererseits lassen sich ein Element und sein Bildelement direkt miteinander vergleichen, da die Abbildung aus ihrem [[Definitionsbereich]] nicht hinausführt und wiederholt angewendet werden kann.

Das erste Konzept, Strukturen durch ihre strukturtreuen bzw. [[Verträglichkeit (Mathematik)|strukturverträglichen]] Selbstabbildungen zu beschreiben, wurde durch das [[Erlanger Programm]] von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] zuerst in die Geometrie eingeführt und gehört zu den fruchtbarsten Ideen der modernen Mathematik. Das zweite Konzept, das auf der Vergleichbarkeit von [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] und [[Bild (Mathematik)|Bild]] sowie auf der [[Iteration|Iterierbarkeit]] von Selbstabbildungen aufbaut, ist für die [[Numerik]] unverzichtbar und gehört zu den grundlegenden Konzepten der [[Fraktale Geometrie|fraktalen Geometrie]].

== Definition ==
Sei <math>A</math> eine beliebige Menge. Dann heißt eine Funktion <math>\alpha\colon A \to A</math> eine Selbstabbildung.<ref>{{BibISBN|9783834807779 |Seite=106}}</ref><ref>{{MathWorld |id=Self-Map |title=Self-Map}}</ref>
<math>\alpha</math> heißt auch eine [[einstellige Verknüpfung]] auf <math>A</math>.

== Beispiele ==
# Die [[Identische Abbildung|Identität]] auf einer Menge <math> A </math> ist eine Selbstabbildung. <math>id_{A}\colon A\to A; \ a \mapsto a</math>.
# Das wichtigste Beispiel einer Menge mit Selbstabbildung ist das Zählen. Jeder [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] wird ihr [[Nachfolger (Mathematik)|Nachfolger]] zugeordnet. <math> 1+\colon\N\to\N; \ n \mapsto 1+n</math>.
# Ist eine Zahl <math>n</math> im Dezimalsystem dargestellt, so kann man ihr ihre [[Quersumme]] <math>q(n)</math> zuordnen. So ist etwa <math>q(12345) = 15, q(15) =6</math>. Allgemein <math>\textstyle q\colon\N\to\N; \ \sum_{i=0}^k a_i\cdot 10^{i} \mapsto \sum_{i=0}^k a_{i}</math>. Es ist <math>n</math> genau dann durch 3 teilbar, wenn <math>q(n)</math> durch 3 teilbar ist.
# Es sei <math>\Q^+</math> die Menge der positiven rationalen Zahlen und <math>\alpha\colon\Q^+\to\Q^+; \ x\mapsto \tfrac{1+x}{x}</math> eine Selbstabbildung. Wendet man <math>\alpha</math> wiederholt an und geht zum Beispiel von <math>x=1</math> aus, so erhält man die Folge <math>1\mapsto 2\mapsto \tfrac{3}{2}\mapsto \tfrac{5}{3}\mapsto \tfrac{8}{5}\mapsto \dotso</math>. In der Folge dieser Brüche sind Zähler und Nenner aufeinanderfolgende [[Fibonacci-Folge|Fibonaccizahlen]]. In <math>\R</math> hat diese Folge den Grenzwert <math>\Phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math>. Dies ist die Zahl des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]].

== Strukturerhaltende Selbstabbildungen ==
=== Endomorphismen und Automorphismen ===
Eine strukturverträgliche Selbstabbildung ist strukturerhaltend und wird als [[Endomorphismus]] bezeichnet. Ist diese Abbildung außerdem [[surjektiv]] und umkehrbar mit strukturerhaltender Umkehrabbildung, dann heißt sie [[Automorphismus]]. Die Struktur, die bei diesen Abbildungen jeweils erhalten bleibt, kann in verschiedenen mathematischen Teilgebieten sehr unterschiedlich sein.
In der Algebra genügt es meist, zu fordern, dass die Abbildung selbst strukturerhaltend und umkehrbar ist, daraus ergibt sich dann, dass die [[Umkehrabbildung]] ebenfalls strukturerhaltend ist.

=== Strukturbeschreibung durch Automorphismen und Invarianten ===
Man geht von einer sehr allgemeinen Struktur aus, zum Beispiel einem [[Vektorraum]] ''V.'' Dadurch ist eine Grundmenge von [[Automorphismen]], die als umkehrbare Abbildungen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] bilden – im Beispiel die Automorphismengruppe – gegeben, die die Vektorraumstruktur respektieren. Nun werden zusätzliche Strukturen wie Abstand oder Winkel eingeführt. Die Forderung, dass eine oder mehrere dieser Strukturen ''invariant'' unter Automorphismen sein möge, zeichnet in der ursprünglichen Gruppe eine [[Untergruppe]] aus. Das Erlanger Programm sieht nun vor, jede „Geometrie“ (aufgefasst als System von Invarianten) durch Untergruppen zu beschreiben und umgekehrt Untergruppen der vollen Automorphismengruppe durch ihre Invarianten.

In der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] wendet man die Grundidee an, um aus Symmetrien einer Problemstellung (Gruppe) auf Erhaltungssätze (Invarianten) zu schließen.

== Iteration ==
Das Konzept, ein und dieselbe Selbstabbildung fortgesetzt auf ein Element oder eine Menge anzuwenden, wird einerseits verwendet, um durch Iteration Näherungen für [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]] der Abbildung zu erhalten, andererseits um – etwa in der Geometrie – bestimmte Klassen von Mengen wie [[Gitter]] und [[Fraktal]]e zu definieren.

=== Iterative Näherungsverfahren ===
Ein Spezialfall aus der reellen [[Analysis]] wird in [[Kontraktion (Mathematik)]] beschrieben. Eine Verallgemeinerung ist der [[Fixpunktsatz von Banach]].

=== Definition „iterativer Mengen“ ===
Formal geht es hier wie beim Erlanger Programm wieder um Invarianten, meist treten diese Definitionen aber außerhalb klassischer geometrischer Zusammenhänge auf.

;Periodische Figuren
Eine Figur <math>F</math> in der [[Euklidische Ebene|Ebene]] heißt periodisch, wenn sie durch eine [[Parallelverschiebung|Verschiebung]] auf sich selbst abgebildet wird. Periodische Figuren sind beispielsweise die Schaubilder der [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] Sinus, Cosinus, … Ebenso sind Gitter periodische Figuren. Die entsprechende Definition lässt sich ohne Schwierigkeit auf [[Vektorraum|Vektorräume]] beliebiger Dimension übertragen.

;Fraktale Mengen
Fraktale Mengen sind selbstähnliche Mengen, also Teilmengen eines reellen oder komplexen [[Vektorraum]]s, die durch eine [[Ähnlichkeitsabbildung]] auf sich selbst abgebildet werden. Hier ist die Selbstabbildung also (im endlichdimensionalen Fall) eine Drehstreckung.

== Ein Anwendungsbeispiel ==
[[Bild:LogisticMap_BifurcationDiagram.png|thumb|400px|Bifurkationsdiagramm der logistischen Abbildung. Die Häufungspunkte ''x'' sind in Abhängigkeit vom Wert des Parameters ''r'' aufgetragen.]]
Selbstabbildungen spielen beim Studium [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] eine wichtige Rolle. Die [[logistische Abbildung]] <math>\varphi</math> kann als Beispiel für viele Anwendungen dienen:

:<math>\varphi(x) = rx(1-x)</math>
mit
:<math>0 \le x \le 1</math>
und
:<math>0\le r \le 4</math>

Die Grafik zeigt die Häufungspunkte der durch

:<math>x_{n+1} = \varphi(x_n)</math>

rekursiv definierten Folge mit <math>0 < x_1 < 1.</math>

Es ist zu erkennen, dass die Iterationsfolge je nach Wert des Parameters <math>r</math> konvergent sein kann oder schließlich unendlich viele Häufungspunkte aufweist. Im Bereich vor der ersten Verzweigung ist die Selbstabbildung <math>\varphi</math> kontrahierend, ihr Grenzwert ist ein Fixpunkt und [[Attraktor]]. Das Schaubild als Ganzes zeigt eine fraktale Struktur.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Selbstabbildung - Versionsgeschichte

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