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2025-12-03T17:17:16Z

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Der '''Sekantensatz''' besagt: Schneiden sich zwei [[Sekante]]n außerhalb des Kreises in einem Punkt <math>P</math>, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant. [[Datei:Secant theorem.svg|mini|{{center|Sekantensatz}}]]

== Formulierung des Satzes ==
Gegeben sei ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit zwei [[Sekante]]n, die sich in einem Punkt <math>P</math> außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als <math>A</math> und <math>D</math> und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als <math>B</math> und <math>C</math>, so gilt:

:<math>|\overline{AP}| \cdot |\overline{DP}| = |\overline{BP}| \cdot |\overline{CP}|</math>

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

:<math>|\overline{AP}| : |\overline{BP}| = |\overline{CP}| : |\overline{DP}|</math>

== Beweis ==
Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der [[Sehnensatz]] und der [[Sekanten-Tangenten-Satz]] – mit Hilfe [[Ähnlichkeitssätze |ähnlicher Dreiecke]] beweisen.

Die Dreiecke <math>APC</math> und <math>BPD</math> sind [[Ähnlichkeitssätze|ähnliche Dreiecke]], denn:

# Der Winkel <math>\varphi</math> in Punkt <math>P</math> ist beiden Dreiecken gemeinsam.
# [[Kreiswinkel|Umfangswinkel]] über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne <math>\overline{AB}</math> ergibt <math>\angle ADB=\angle ACB</math> oder <math>\gamma_1=\delta_1</math>.

:<math>\triangle APC \sim \triangle BPD</math> ([[Ähnlichkeitssätze|Ähnlichkeitssatz WW]])

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

:<math>|\overline{AP}| : |\overline{BP}| = |\overline{CP}| : |\overline{DP}|</math>.

Durch Multiplikation mit <math>|\overline{BP}| \cdot |\overline{DP}|</math> erhält man:

:<math>|\overline{AP}| \cdot |\overline{DP}| = |\overline{BP}| \cdot |\overline{CP}|</math>

Ein ''rechnerischer'' Nachweis mit Hilfe des [[Satz von Vieta|Satzes von Vieta]] ist im Artikel [[Potenz (Geometrie)]] enthalten.

== Siehe auch ==
* [[Sehnensatz]]
* [[Sekanten-Tangenten-Satz]]
* [[Potenz (Geometrie)]], vereinigt die Aussage von Sehnen-, Sekanten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie''. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
* H. Schupp: ''Elementargeometrie'', UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
* ''Schülerduden – Mathematik I''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sekantensatz|Beweis des Sekantensatzes}}
* [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PPower.shtml ''Power of a Point Theorem''] auf cut-the-knot.org

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)]]

Sekantensatz - Versionsgeschichte

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