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2025-03-03T21:03:42Z

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[[Datei:Seitenhalbierende mit schwerpunkt.svg|250px|mini|Die Seitenhalbierenden im Dreieck.<br />
S, der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, ist der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] des Dreiecks. Er teilt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2:1.]]Eine '''Seitenhalbierende''' (auch '''Schwerlinie''' oder '''Median''') in einem [[Dreieck]] ist eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], die eine [[Ecke]] des Dreiecks mit dem [[Mittelpunkt]] der gegenüberliegenden Seite verbindet. Die Seitenhalbierenden gehören zusammen mit den [[Streckensymmetrale|Mittelsenkrechten]] (Streckensymmetralen), [[Winkelhalbierende#Winkelhalbierende im Dreieck|Winkelhalbierenden]] (Winkelsymmetralen) und den [[Höhe (Geometrie)|Höhen]] zu den klassischen Transversalen der [[Dreiecksgeometrie]].

== Eigenschaften ==
=== Grundeigenschaften ===
Die Seitenhalbierende teilt die [[Dreiecksfläche]] in zwei Dreiecke gleicher Höhe bzgl. der gemeinsamen [[Grundseite]] und damit auch gleicher Fläche. Mittels Scherung parallel zur Seitenhalbierenden lassen sich die beiden Teildreiecke unter Beibehaltung ihres Flächeninhalts in eine achsensymmetrische Form überführen. Diese Scherung lässt die Verteilung der Flächenelemente innerhalb der Teildreiecke und damit das Drehmoment der einzelnen Dreiecksflächen bezogen auf die gemeinsame Grundseite unverändert. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind somit Schwerlinien und schneiden sich in einem Punkt, dem so genannten [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] des Dreiecks. Dieser teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Dabei ist die Strecke zwischen Schwerpunkt und Ecke länger als die Strecke zwischen Schwerpunkt und Seitenmittelpunkt.<ref name="AN">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. [https://books.google.de/books?id=EG6qCAAAQBAJ&pg=PA63 63]</ref>

Die Längen der zur Seite a, b und c gehörenden Seitenhalbierenden berechnet man mit:<ref name="AN" />

<math>s_a = \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2} </math>

<math>s_b = \frac{\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}}{2} </math>

<math>s_c = \frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{2} </math>
=== Zusätzliche Eigenschaften ===

==== Entstehung des Median-Dreiecks ====
Das aus den Seitenhalbierenden eines Dreiecks gebildete [[Median-Dreieck]] ist <math>\tfrac{3}{4}</math>-mal so groß wie das ursprüngliche Dreieck.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 21</ref><ref>[[Norbert Hungerbühler]]: ''Proof Without Words: The Triangle of Medians Has Three-Fourths the Area of the Original Triangle'', [[Mathematics Magazine]] (1999), 72:2, 142, [[DOI:10.1080/0025570X.1999.11996717]]</ref>

Diese Eigenschaft lässt sich im Wesentlichen in zwei Schritten geometrisch veranschaulichen:
* ''Schritt 1'': [[Punktspiegelung|Spiegelung]] des ursprünglichen Dreiecks am [[Mittelpunkt]] der Seite a (''Figur 1'').
* ''Schritt 2'': Entstehung des aus den Seitenhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks gebildeten neuen Dreiecks durch geeignete [[Scherung (Geometrie)|Scherungen]] von drei der vier gefärbten Teildreiecke (''Figur 2'').

==== Flächengleichheiten angrenzender Dreiecke ====
Jede der Dreiecksseiten FB, bzw. BD, bzw. DF ist gleichzeitig je eine Seitenhalbierende der Dreiecke DAB, bzw. FCD, bzw. BEF.

Hieraus folgt, dass alle vier Dreiecke ABF, FBD, CDB und EFD flächengleich sind (''Figur 3'').<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 22</ref>

==== Geometrische Veranschaulichungen ====
<gallery mode="packed" heights="150">
Seitenhalbierendendreieck 1.svg|Entstehung des Median-Dreiecks: Punktspiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Mittelpunkt der Seite a (''Figur 1'')
Seitenhalbierendendreieck 2.svg|Entstehung des Median-Dreiecks: Neues Dreieck durch geeignete Scherungen von drei der vier gefärbten Teildreiecke (''Figur 2'')
Flaechengleichheit durch Seitenhalbierende.svg|Flächengleichheiten angrenzender Dreiecke (''Figur 3'')
</gallery>

== Mediane in Tetraedern ==
[[Datei:Tetrahedron centroid gimp.png|mini|hochkant=1.2|{{center|Mediane eines Tetraeders mit Schwerpunkt S}}<math>\begin{align}&\frac{|AS|}{|SS_{BCD}|}=\frac{|BS|}{|SS_{ACD}|}=\frac{|CS|}{|SS_{ABD}|}\\=&\frac{|DS|}{|SS_{BBC}|}=\frac{3}{1} \end{align}</math>]]
In einem [[Tetraeder]] bezeichnet man eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Schwerpunkt der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Dreiecksfläche verbindet, als '''Median''' des Tetraeders. Die vier Mediane einen Tetraeders schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Tetraeders. Dieser teilt die Mediane in einem Verhältnis von 3:1 ([[Satz von Commandino]]).<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century''. The Mathematical Association of America, 2015, ISBN 978-0-88385-358-0, S. 97–98</ref>

== Literatur ==
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. [https://books.google.de/books?id=EG6qCAAAQBAJ&pg=PA63 63]
* [[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz: ''Elemente der Geometrie''. 5. Auflage. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-50323-2, S. [https://books.google.de/books?id=sp1UDQAAQBAJ&pg=PA21 21]
* [[Rolf Baumann (Autor)|Rolf Baumann]]: ''Mehr Erfolg in Mathematik: 8. Klasse Geometrie''. Mentor, 2008, ISBN 978-3-580-65629-4, S. [https://books.google.de/books?id=NHS9usZHj7QC&pg=PA29 29]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Median (geometry)|Seitenhalbierende}}
* {{MathWorld |id=TriangleMedian |title=Triangle Median}}
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/schwerpunktdreieck.htm Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt beim Dreieck]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]

Seitenhalbierende - Versionsgeschichte

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