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2026-04-05T16:11:50Z

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In der dreidimensionalen [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] versteht man unter einer '''Seifert-Faserung''' eine dreidimensionale [[Mannigfaltigkeit]], die auf eine bestimmte Weise durch [[Kreis (Geometrie)|Kreise]] gefasert ist. Eine solche Seifert-gefaserte Mannigfaltigkeit lässt sich als Vereinigung unendlich vieler (beliebig geformter) Kreise vorstellen, die entweder „parallel“ zueinander verlaufen, oder sich um [[Diskretheit|diskret]] liegende „singuläre“ Kreise wickeln. Gelegentlich werden Seifert-Faserungen auch als '''Seifert-Faserraum''' bezeichnet, um die Mannigfaltigkeit (den Totalraum) von der Faserung zu unterscheiden.

Seifert-Faserungen spielen eine wichtige Rolle bei der [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten]], da ihre Geometrie und Topologie gut verstanden ist.

{{Belege fehlen|1=|2=Die nachfolgenden zwei Abschnitte|Plural=1}}
== Definitionen ==

Zunächst definiert man auf einem [[Torus|Volltorus]] eine triviale Faserung <math>D^2\times S^1</math>, wobei <math>D^2</math> eine Kreisscheibe und <math>S^1</math> einen Kreis (eine Faser) bezeichnet. Im <math>\mathbb R^3</math> kann man sich die Faserung so vorstellen, dass man die Scheibe als Querschnitt des Volltorus nimmt, und die Kreise durch Rotation eines Punktes auf der Scheibe um die Achse, die durch das „Loch“ des Torus geht.

[[Datei:Bild Seiferttorus.png|rechts|150px|Beispiel eines (5,2)-Seifert-gefaserten Volltorus]]
Schneidet man einen solchen trivial gefaserten Torus entlang einer Scheibe auf, verdreht eine der beiden Schnittflächen um den Winkel <math>360^\circ\cdot q/p</math> (<math>p</math> und <math>q</math> [[teilerfremd]]e natürliche Zahlen) und klebt die beiden Scheiben so verdreht wieder zusammen, so erhält man einen ''<math>(p,q)</math>-gefaserten Volltorus''. Im abgebildeten Beispiel erhält man einen <math>(5,2)</math>-Seifert-gefaserten Volltorus, indem man die Unterseite um <math>360^\circ \cdot 2/5</math> dreht und mit der Oberseite verklebt. Die Zahlen geben an, welche Fasern dabei zusammengeklebt werden.

Die ''zentrale Faser'' bleibt dabei unverändert, die restlichen Fasern werden jeweils mit <math>p</math> anderen Fasern (im Beispiel mit 5) zu einer neuen Faser verklebt. Diese neue Faser wickelt sich <math>p</math>-mal längs der zentralen Faser (hier 5-mal) und dabei <math>q</math>-mal (hier 2-mal) um die zentrale Faser (in Richtung des Querschnitts) herum.

Eine ''Seifert-Faserung'' ist nun eine 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math>, die sich so in [[disjunkt]]e Kreise (genannt ''Fasern'') zerlegen lässt, dass jede Faser eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] besitzt, die entweder zum trivial gefaserten Volltorus [[isomorph]] ist oder zu einem <math>(p,q)</math>-gefaserten Volltorus. „Isomorph“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass es einen Homöomorphismus gibt, der Fasern auf Fasern abbildet.

Eine Faser heißt regulär, wenn sie eine Umgebung isomorph zum trivial gefaserten Volltorus besitzt, andernfalls heißt sie singulär. Eine Faser ist genau dann singulär, wenn sie der zentralen Faser eines Seifert-gefaserten Volltorus entspricht.

== Eigenschaften ==

Eine Seifert-Faserung ist keine [[Faserung]] im mathematischen Sinn, sondern eigentlich eine [[Blätterung]]. Der Begriff „Faserung“ ist hier historischen Ursprungs. Allerdings lässt sich eine Seifert-Faserung auch als ''singuläre Faserung'' oder ''Seifert-Bündel'' über einer [[Orbifaltigkeit]] auffassen.


Obwohl sich die Topologie eines einzelnen Volltorus durch eine Seifertfaserung nicht verändert, besitzt eine Seifert-Faserung einer Mannigfaltigkeit topologische Information über die Mannigfaltigkeit. Das liegt daran, dass die Seifert-Faserung festlegt, wie verschiedene Volltori entlang ihrer Oberflächen verklebt werden können. Beispielsweise ist eine Seifert-Faserung nur auf bestimmten 3-Mannigfaltigkeiten möglich. Es gilt:
:''Die universelle [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] einer Seifert-gefaserten 3-Mannigfaltigkeit ohne Rand ist homöomorph zur 3-Sphäre <math>S^3</math>, zum Euklidischen Raum <math>\mathbb R^3</math> oder zum Produkt <math>S^2\times \mathbb R</math>. Die Seifert-Faserung induziert auf der Überlagerung eine Blätterung als eine der folgenden Möglichkeiten:''
:# ''ein Seifert-Bündel über <math>S^2</math> mit keinem, einem oder zwei singulären Fasern''
:# ''ein triviales Linienbündel <math>\mathbb R^2 \times \mathbb R</math>''
:# ''ein triviales Linienbündel <math>S^2\times \mathbb R</math>''

Hieraus ergibt sich unter anderem, dass geschlossene Seifert-gefaserte 3-Mannigfaltigkeiten [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten|geometrisierbar]] im Sinne von [[William Thurston|Thurston]] sind und eine der [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten#Modellgeometrien|Modellgeometrien]] <math>\mathbb R^3</math>, <math>S^3 \,</math>, <math>S^2\times \mathbb R</math>, <math>\mathbb H^2 \times \mathbb R</math>, <math>\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb R)</math>, oder <math>\mathrm{Nil}</math> tragen.
Dagegen gibt es keine Seifert-Mannigfaltigkeit mit hyperbolischer oder Sol-Geometrie.

Da eine 3-Mannigfaltigkeit maximal eine der Modellgeometrien zulässt, ergibt dies eine Charakterisierung der geschlossenen Seifert-Mannigfaltigkeiten in sechs Klassen.

== Charakterisierung von Seifert-Faserungen ==
[[Seifert-Faserraum-Vermutung]] (bewiesen von Casson-Jungreis<ref>[[Andrew Casson|A. Casson]], D. Jungreis: ''Convergence groups and Seifert fibered 3-manifolds.'' Invent. Math. 118 (1994), no. 3, 441–456.</ref> und Gabai<ref>[[David Gabai|D. Gabai]]: ''Convergence groups are Fuchsian groups.'' Ann. of Math. (2) 136 (1992), no. 3, 447–510.</ref>): Es sei <math>M</math> eine [[Orientierbarkeit|orientierbare]] [[irreduzible 3-Mannigfaltigkeit]], deren [[Fundamentalgruppe]] unendlich ist und eine nichttriviale [[Normalteiler|normale]] [[Zyklische Gruppe|zyklische]] [[Untergruppe]] besitzt. Dann ist <math>M</math> eine Seifert-Faserung.

== Geschichte ==

Seifert-Faserungen wurden erstmals [[1932]] von [[Herbert Seifert]] (1907–1996) untersucht. [[1979]] benutzten [[William Jaco]], [[Peter Shalen]] und (unabhängig davon) [[Klaus Johannson]] sie zur Definition und zum Beweis der [[JSJ-Zerlegung]].

== Literatur ==

* {{cite journal | author = [[Herbert Seifert]] | title = Topologie 3-dimensionaler gefaserter Räume | journal = [[Acta Mathematica]] | issue = 60 | year = 1932 | pages = 147–238}}
* William H. Jaco, Peter B. Shalen: ''Seifert fibered spaces in 3-Manifolds'' (= ''Memoirs of the American Mathematical Society'' 21, 1 = 220). American Mathematical Soc., Providence RI, 1979, ISBN 0-8218-2220-9.
* Allen Hatcher: [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/3M/3M.pdf ''Notes on basic 3-manifold topology''] (PDF; 385 kB).
* {{cite journal | author = Peter Scott | title = The Geometries of 3-Manifolds | journal = The Bulletin of the London Mathematical Society| issue = 15 | year = 1983 | issn = 0024-6093 | pages = 401–487}}

== Weblinks ==
* Mark Jankins, [[Walter David Neumann]]: [https://www.math.columbia.edu/~neumann/preprints/neumann_lectures%20on%20seifert%20manifolds.pdf Lectures on Seifert manifolds]
*J.-P. Préaux: [http://www.cmi.univ-mrs.fr/~preaux/PDF/CFS.pdf A survey on Seifert fiber space theorem]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:3-Mannigfaltigkeit]]

Seifert-Faserung - Versionsgeschichte

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