https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Sedenion Sedenion - Versionsgeschichte 2026-06-07T19:08:30Z Versionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale Kopie MediaWiki 1.43.8 https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Sedenion&diff=256219&oldid=prev imported>Layzay: Darstellung verbessert 2025-08-25T07:14:01Z <p>Darstellung verbessert</p> <p><b>Neue Seite</b></p><div>{{Zeichen|𝕊}}<br /> Die &#039;&#039;&#039;Sedenionen&#039;&#039;&#039; (Symbol &lt;math&gt;\mathbb S&lt;/math&gt;) sind 16-dimensionale [[hyperkomplexe Zahlen]]. Sie entstehen durch die Anwendung des [[Verdopplungsverfahren]]s aus den [[Oktonionen]]. <br /> <br /> Die Multiplikation der Sedenionen ist weder [[kommutativ]] noch [[Alternativität|alternativ]] (und damit auch nicht [[Assoziativgesetz|assoziativ]]). Sie ist nur noch [[Potenz-assoziative Algebra|potenz-assoziativ]] und [[Flexibilitätsgesetz|flexibel]]. Weiterhin erfüllen die Sedenionen die Jordan-Identität und bilden daher eine [[Jordan-Algebra|nichtkommutative Jordan-Algebra]]. Sedenionen besitzen [[Nullteiler]].<br /> <br /> Jedes Sedenion ist eine reelle [[Linearkombination]] der Einheiten &lt;math&gt;e_{i},\ i = 0, \ldots , 15&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;e_0 = 1&lt;/math&gt; ist, d.&amp;nbsp;h.<br /> <br /> :&lt;math&gt;s=\sum_{i=0}^{15} x_i e_i = x_0+x_1e_1+ \ldots + x_{15} e_{15}&lt;/math&gt;,<br /> wobei &lt;math&gt;x_0, \ldots, x_{15}&lt;/math&gt; also [[reelle Zahl]]en sind.<br /> <br /> == Multiplikation ==<br /> <br /> Eine mögliche [[Multiplikationstafel]] der Einheiten ist:<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot; <br /> |- class=&quot;hintergrundfarbe6&quot;<br /> ! ⋅ !! 1 !! e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> ! e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> ! e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> ! e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt; !! e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | 1<br /> | 1 || e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt; ||e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; || −1 || e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;|| −1 || e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; || −1<br /> | e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | −1 || e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; || −1 || −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; || −1 || −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; || −1<br /> | e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt; || −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;|| −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | −1 || e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;|| e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; || e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> | −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> | −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> | −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> | −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> | e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> | e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> |-<br /> |- style=&quot;text-align:center&quot;<br /> ! class=&quot;hintergrundfarbe6&quot; | e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;15&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;13&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;11&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;<br /> | e&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;<br /> | −e&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;<br /> | −1<br /> |}<br /> <br /> Dabei ist die linke Spalte als erster bzw. linker Faktor zu lesen, die obere Zeile als zweiter bzw. rechter Faktor: <br /> :&lt;math&gt;e_1 \cdot e_2 = e_3&lt;/math&gt;, &amp;ensp;aber&amp;ensp; &lt;math&gt;e_2 \cdot e_1 = -e_3&lt;/math&gt;<br /> <br /> Siehe auch [[Kommutativgesetz#Antikommutativität|Antikommutativität]].<br /> <br /> Es gilt<br /> :&lt;math&gt;\prod_{i=0}^{15} e_i \ =\ e_0\cdot e_1\cdot e_2\cdot \ \ldots\ \cdot e_{15} \ = -1\ &lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Nullteiler ==<br /> Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass die Sedenionen Nullteiler besitzen. Das bedeutet, es gibt Sedenionen, die selbst nicht null sind, aber bei der Multiplikation mit einem anderen von null verschiedenen Sedenion trotzdem null ergeben:&lt;br /&gt;<br /> :&lt;math&gt;(e_3 + e_{10}) \cdot (e_6 - e_{15}) = e_3e_6 + e_{10}e_6 - e_3e_{15} - e_{10}e_{15} = e_5 + e_{12} - e_{12} - e_5 = 0&lt;/math&gt;<br /> Der Raum der Nullteiler mit Norm 1 ist [[homöomorph]] zur kompakten Form der exzeptionellen [[Lie-Gruppe]] G&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;.&lt;ref&gt;R. Guillermo Moreno (1997): &#039;&#039;The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers&#039;&#039;, {{arXiv|q-alg/9710013}}.&lt;/ref&gt;<br /> <br /> == Einzelnachweise ==<br /> &lt;references/&gt;<br /> <br /> [[Kategorie:Ringtheorie]]<br /> [[Kategorie:Zahl]]</div> imported>Layzay