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2020-01-22T10:28:34Z

Summen von Sechseckszahlen: Formel berichtigt

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[[Datei:Hexagonal number 28 as sum of gnomons.svg|mini|Ineinandergeschachtelte Sechsecke aus 28 Kugeln]]
Eine '''Sechseckszahl''' oder '''Hexagonalzahl''' ist eine Zahl, die anhand der Formel
:<math>n \cdot (2n - 1) = 2n^2 - n</math>
aus einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n</math> berechnet werden kann. Die ersten Sechseckszahlen sind
: 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, … ({{OEIS|A000384}})
Bei einigen Autoren ist die Null keine Sechseckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Der Name Sechseckszahl leitet sich von der [[Figur (Geometrie)|geometrischen Figur]] des [[Sechseck]]s ab. Sechseckszahlen lassen sich als ineinandergeschachtelte Sechsecke mit steigender Kantenlänge legen. Sie zählen mit den [[Dreieckszahl]]en und [[Quadratzahl]]en zur Klasse der [[Polygonalzahl]]en. Bildet man die Sechsecke um ein gemeinsames Zentrum, dann erhält man die [[Zentrierte Sechseckszahl|Hexzahlen]] (auch zentrierte Sechseckszahlen genannt).

== Definition und Berechnung ==

Sechseckszahlen lassen sich als [[Sechseck]] auslegen, wie folgende Abbildung zeigt:

: [[Datei:Nc polygon number6.PNG]]

Die <math>n</math>-te Sechseckszahl bezeichnet man teilweise mit <math>S_n</math>. Sie lässt sich auch mit Hilfe der <math>(n-1)</math>-ten Dreieckszahl <math>\Delta_{n-1}</math> berechnen.
: <math>S_{n} = n + 4 \cdot \Delta_{n-1}</math>

== Summen von Sechseckszahlen ==

Jede Zahl lässt sich nach dem [[Fermatscher Polygonalzahlensatz|fermatschen Polygonalzahlensatz]] als Summe von sechs Sechseckszahlen darstellen. [[Adrien-Marie Legendre]] bewies 1830, dass jede Zahl, die größer als 1792 ist, sogar als Summe von nur vier Sechseckszahlen geschrieben werden kann.<ref>[[Leonard Eugene Dickson]]: ''History of the Theory of Numbers.'' Volume 2: ''Diophantine Analysis.'' Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 18</ref> Unter den kleineren Zahlen gibt es 13 Zahlen, die nicht Summe vierer Sechseckszahlen sind:
: 5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 70, 114, 130 ({{OEIS|A007527}}).
Davon sind 11 und 26 die einzigen Zahlen, die nicht als Summe von fünf Sechseckszahlen dargestellt werden können.<ref>{{MathWorld |id=HexagonalNumber |title=Hexagonal Number}}</ref>

Die [[Summe]] der ersten <math>k</math> Sechseckszahlen ist
: <math>\sum_{i=1}^{k} S_{i} = \frac{4k^3+3k^2-k}{6}</math>
die <math>k</math>-te sechseckige [[Pyramidalzahl]]

== Reihe der Kehrwerte ==

Die Summe der Kehrwerte aller Sechseckszahlen ist
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} {S_k}^{-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2 \cdot k^2 - k} = 2 \ln{(2)}</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]

Sechseckszahl - Versionsgeschichte

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