~2026-19621-53: /* Zahlenbeispiel */ Einheiten ergänzt und Berechnung der Schwerpunktgeschwindigkeit mithilfe der gegebenen Formel verdeutlicht

2026-03-29T22:15:32Z

Zahlenbeispiel: Einheiten ergänzt und Berechnung der Schwerpunktgeschwindigkeit mithilfe der gegebenen Formel verdeutlicht

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Das '''Schwerpunktsystem''' (englisch: Center-of-mass system, CMS) ist ein [[Bezugssystem]], in dem der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] des betrachteten physikalischen Systems im [[Koordinatenursprung]] ruht. Im Schwerpunktsystem lassen sich viele dynamische Vorgänge besonders einfach beschreiben.

Aus der Definition des Schwerpunktsystems folgt direkt, dass in ihm der Gesamt[[impuls]] der beteiligten Massen <math>m_i</math> (die Summe aller Impuls[[vektor]]en <math> \vec p_i </math>) zu jeder Zeit, vor wie nach einem [[Stoß (Physik)|Stoß]]- oder Reaktionsvorgang, gleich null ist:

:<math>\sum_{i} \vec p_i = \vec 0</math>

Für den Ortsvektor <math>\vec r_s {}</math> des Schwerpunkts S im [[Laborsystem]] gilt

:<math>\vec r_s = \frac{\sum_{i} m_i \vec r_i}{\sum_{i} m_i}. </math>

Die [[Koordinatentransformation|Transformation]] von einem System in das andere ist im [[Klassische Physik|klassischen]] Fall eine [[Galilei-Transformation]], im [[relativistisch]]en Fall eine [[Lorentztransformation]].

In der [[Astronomie]] wird das Schwerpunktsystem eines [[Mehrkörper-Problem]]s ''[[baryzentrisches System]]'' genannt.

== Beispiel für die Anwendung ==

Die Geschwindigkeiten zweier Körper nach einem klassischen [[Stoß (Physik)#Elastischer Stoß|elastischen Stoß]] werden im [[Laborsystem]] durch Lösung eines Gleichungssystems aus [[Energieerhaltungssatz]]

:<math>\begin{align}
\sum E_\mathrm{kin} & = \sum E'_\mathrm{kin} \\
\frac{m_1}{2} v_1^2 + \frac{m_2}{2} v_2 ^2 & = \frac{m_1}{2} v_1'^2 + \frac{m_2}{2} v_2'^2 \\
\end{align}</math>

und [[Impulserhaltungssatz]]
:<math>\begin{align}
\sum \vec p & = \sum \vec p' \\
m_1 \vec v_1 + m_2 \vec v_2 & = m_1 \vec v_1' + m_2 \vec v_2' \\
\end{align}</math>
bestimmt.

Im '''Schwerpunktsystem''' reduziert sich der gesamte Prozess nach Abzug der Schwerpunktgeschwindigkeit
:<math>\begin{align}
\vec v_s & = \frac{\sum \vec {p} }{\sum {m}} \\
\end{align}</math>
(Galilei-Transformation) auf einen Vorzeichenwechsel einer Geschwindigkeitskomponente (relativ zum Schwerpunkt) jedes Körpers.

=== Zahlenbeispiel ===
Körper 1 mit Masse m=0,1kg und v=100m/s stößt auf einen ruhenden Körper der Masse 1,9 kg.

Im Laborsystem würde man aus den Erhaltungssätzen das folgende Gleichungssystem lösen:
:<math>\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot 0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot v_1'^2 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot v_2'^2 &= \frac{1}{2} \cdot 0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot \left(100\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot \left(0\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 500\, \frac{\mathrm{kg}\, \mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \\
0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot v_1' + 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot v_2' &= 0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot 100\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot 0\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 10\, \frac{\mathrm{kg}\, \mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\
\end{align}</math>
Im Schwerpunktsystem berechnet man zunächst die Schwerpunktgeschwindigkeit:
:<math>\begin{align}
v_s = \frac{0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot 100\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot 0\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0{,}1\, \mathrm{kg} + 1{,}9\, \mathrm{kg}} = 5\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\end{align}</math>
Diese wird von den Anfangsgeschwindigkeiten subtrahiert.

Die Körper haben nun die Relativgeschwindigkeiten 95m/s und -5m/s. Durch den Stoß werden nur die Vorzeichen getauscht.
Körper 1 hat nun v=-95m/s, Körper 2 hat v=+5m/s.

Anschließend findet die Rücktransformation ins Laborsystem statt durch Addition der Schwerpunktgeschwindigkeit (+5m/s), was auf die Endgeschwindigkeiten v=-90m/s für Körper 1 und v=+10m/s für Körper 2 führt.

== Literatur ==

*L. D. Landau, E. M. Lifschitz: ''Lehrbuch der theoretischen Physik Band 1: Mechanik'', Akademie Verlag Berlin 1970
*[[Dieter Meschede]]: ''[[Gerthsen Physik]]'', Springer, 24. Auflage 2010, ISBN 978-3-642-12893-6
*Andreas Guthmann: ''Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung'', Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2000, ISBN 3-8274-0574-2

== Siehe auch ==
*[[Schwerpunktsenergie]]
*[[Kinematik (Teilchenstoß)]]

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[[Kategorie:System]]
[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]
[[Kategorie:Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem]]
[[Kategorie:Kinematik]]

Schwerpunktsystem - Versionsgeschichte

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