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2024-07-19T12:56:55Z

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{{Dieser Artikel|1=behandelt den Schwerpunktsatz aus der Mechanik. Für die Bestimmung des Schwerpunkts von homogenen Körpern, Flächen oder Linien siehe [[Geometrischer Schwerpunkt]].}}

Der '''Schwerpunktsatz''' (auch '''Massemittelpunktsatz''') ist ein Lehrsatz aus der [[Mechanik]]. Er besagt, dass sich der [[Massenmittelpunkt]] (Schwerpunkt) eines [[Physikalisches System|Systems]] von [[Punktmasse]]n so bewegt, als ob die Massen aller einzelnen Massenpunkte in ihm vereinigt wären und sämtliche Kräfte, die ''von außen'' auf die Massenpunkte an ihren jeweiligen Positionen wirken, zusammengenommen nur auf ihn wirken würden. Dagegen haben ''Innere Kräfte'', d. h. Kräfte zwischen den einzelnen Massenpunkten des Systems, ''keine'' Auswirkung auf die Bewegung des Schwerpunkts.

Der Schwerpunktsatz gilt insbesondere für räumlich ausgedehnte [[Körper (Physik)|Körper]], da diese aus Massenpunkten zusammengesetzt gedacht werden können.

== Formelmäßige Beschreibung ==
Ist <math>m_s</math> die Summe aller einzelnen Massen und <math>\vec F^\mathrm{ext}_\mathrm{ges}</math> die [[Vektorsumme]] der von außen auf die Massenpunkte wirkenden Kräfte, dann gilt für die [[Beschleunigung]] <math>\vec a_s</math> des Schwerpunktes das [[Newtonsche_Gesetze #Zweites_Newtonsches_Gesetz|zweite newtonsche Gesetz]]:

:<math>m_s \cdot \vec a_s = {\vec F}^\mathrm{ext}_\mathrm{ges}</math>.

Das kann man sich so vorstellen, als ob die Gesamtmasse eines Systems im Schwerpunkt vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte gemeinsam auf ihn einwirkten, unabhängig von ihren wirklichen Angriffspunkten. Die Bewegung des Schwerpunktes wird somit weder von inneren Kräften beeinflusst noch von äußeren [[Kräftepaar]]en (die Bewegung der einzelnen Punkte dagegen schon).<ref>
Nolting: ''Klassische Mechanik'', Springer, 10. Auflage, 2013, S. 268.<br />
Fließbach: ''Theoretische Physik I - Mechanik'', Springer, 7. Auflage, 2015, S. 26.<br />
Allgemein und Speziell zum ''Beispiel des Rades'': Jürgen Dankert, Helga Dankert: ''Technische Mechanik'', Springer, 7. Auflage, 2013, S. 570.</ref>

Wirken gar keine äußeren Kräfte, so wird das System als ''(mechanisch) abgeschlossen'' bezeichnet. Dann gilt:

:<math>\begin{alignat}{3}
&{\vec F}^\mathrm{ext}_\mathrm{ges} && &&&= 0\\
&\Rightarrow m_s \cdot &&\vec a_s &&&= 0\\
&\Rightarrow &&\vec a_s &&&= 0
\end{alignat}</math>

und mit dem [[Newtonsche Gesetze #Erstes Newtonsches Gesetz|ersten newtonschen Gesetz]] folgt, dass sich der Schwerpunkt des Systems [[Gleichförmige Bewegung|gleichförmig geradlinig bewegt]], unabhängig davon, welche Kräfte die einzelnen zum System gehörenden Körper gegenseitig aufeinander ausüben. Der Schwerpunktsatz ist somit eine Verallgemeinerung des Trägheitssatzes (erstes newtonsches Axiom) auf mechanisch abgeschlossene Systeme von Punktmassen.<ref>Gerthsen: ''Physik'', Springer, 24. Auflage, 2015, S. 25.</ref><ref>Henz, Langehanke: ''Pfade durch die Theoretische Mechanik 1'', Springer, 2016, S. 141.</ref><ref>Straumann: ''Theoretische Mechanik'', Springer, 2. Auflage, 2015, S. 22.</ref> Er ist dann äquivalent zum [[Impulserhaltungssatz]].

Der Schwerpunkt bewegt sich auch dann gleichförmig geradlinig, wenn zwar äußere Kräfte wirken, diese sich aber gegenseitig aufheben, so dass die [[resultierende]] Gesamtkraft null ist.

== Beispiele ==
* Prallt auf einer ebenen Unterlage ein Körper [[elastischer Stoß|elastisch]] auf einen anderen, gleich schweren Körper, der vorher ruhte, so bewegen sich danach beide so, dass ihr Schwerpunkt seine geradlinige Bewegung ohne Änderung fortsetzt (Impulserhaltung).
* Wenn auf einen ruhenden ausgedehnten Körper an verschiedenen Punkten Kräfte angreifen, deren Vektorsumme null ist, bleibt der Schwerpunkt des Körpers in Ruhe. Die Kräfte können jedoch ein [[Drehmoment]] ausüben und somit eine [[Drehbewegung]] verursachen.
* Ein Raumfahrzeug kann im Weltall nur durch das [[Rückstoß]]<nowiki/>prinzip beschleunigen. Wenn eine Rakete vor dem Zünden der Triebwerke in einem bestimmten [[Bezugssystem]] ruhte, so verharrt der gemeinsame Schwerpunkt von Rückstoßmasse und Raketenmasse auch danach in Ruhe. Siehe [[Rückstoßantrieb]].

== Herleitung ==
Werden die einzelnen Massepunkte des Systems durchnummeriert, so gilt für jeden Massepunkt <math>i</math> nach dem zweiten newtonschen Gesetz die Bewegungsgleichung
:<math>m_i \vec a_i = \vec F_{i}</math>,
wobei <math>\vec F_{i}</math>die Summe ''aller'' Kräfte ist, die auf den Massepunkt wirken. Mit <math>\vec F_{i}^{\mathrm{ext}}</math>wird die ''äußere Kraft'' bezeichnet'','' die auf <math>i</math> wirkt. <math>\vec F_{ji}</math> bezeichnet die innere Kraft, die der Massepunkt <math>j\neq i</math> auf den Massepunkt <math>i</math> ausübt. Damit lässt sich die Bewegungsgleichung schreiben als
:<math>m_i \vec a_i = \vec F^\mathrm{ext}_i + \sum_{j \neq i } \vec F_{ji}</math>.

Summierung über alle Massepunkte liefert
:<math>\sum_{i=1} m_i \vec a_i = \sum_{i=1} \left(\vec F^\mathrm{ext}_i + \sum_{j \neq i } \vec F_{ji}\right) </math>.
Die linke Seite der Gleichung lässt sich schreiben als
:<math>\sum_i m_i \vec a_i = m_s \vec a_s </math>.
Diesen Zusammenhang erhält man direkt durch zweimaliges Ableiten nach der Zeit aus der Definitionsgleichung des Schwerpunkts <math>\vec r_s</math> eines Systems von Massepunkten:

<math>\sum_i m_i \vec r_i = m_s \vec r_s \quad \Longrightarrow \quad \sum_i m_i \vec v_i = m_s \vec v_s \quad \Longrightarrow \quad \sum_i m_i \vec a_i = m_s \vec a_s </math>

Die rechte Seite der Gleichung lässt sich umformen zu
:<math>\sum_{i} \left(\vec F^\mathrm{ext}_i + \sum_{j \neq i } \vec F_{ji}\right)=\sum_{i}\vec F^\mathrm{ext}_i+\sum_{i}\sum_{ j\neq i } \vec F_{ji}=\sum_{i}\vec F^\mathrm{ext}_i+\sum_{i,j:\,i \neq j} \vec F_{ji}=\sum_{i} \vec F^\mathrm{ext}_{i}</math>.
Dabei wurde im letzten Schritt benutzt, dass in der Doppelsumme über die inneren Kräfte zu jeder Kraft <math> \vec F_{ji} </math> auch die Gegenkraft <math>\vec F_{ij}</math> auftritt, was zusammen nach dem [[actio und reactio|dritten Newtonschen Gesetz]] null ergibt.

Insgesamt ist also
:<math>m_s \vec a_s=\sum_{i=1}^n \vec F^\mathrm{ext}_{i}</math>.

== Literatur ==
*Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik und mathematische Vorbereitungen'', Springer, 11. Auflage, 2018, ISBN 978-3-662-57583-3.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]
[[Kategorie:Theoretische Chemie]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Schwerpunktsatz - Versionsgeschichte

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