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2026-03-31T10:46:34Z

Frequenz und Periode: Tippfehler entfernt

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Als '''Schwebung''' bezeichnet man den Effekt, dass die Resultierende der additiven Überlagerung ([[Superposition (Physik)|Superposition]]) zweier [[Schwingung]]en, die sich in ihrer [[Frequenz]] nur wenig voneinander unterscheiden, eine [[Periode (Physik)|periodisch]] zu- und abnehmende [[Amplitude]] aufweist.

Schwebungen treten bei [[Welle]]n auf, für die das Superpositionsprinzip gilt, also beispielsweise bei [[Schall]]wellen, [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]] oder elektrischen Signalströmen. Da sich die [[Momentanwert]]e der Ausgangsschwingungen je nach [[Phasenlage]] gegenseitig periodisch verstärken bzw. abschwächen, hat die Resultierende eine an- und abschwellende Amplitude. Die Frequenz dieses Wechsels ist umso höher, je größer die Differenz der Ausgangsfrequenzen <math>f_1</math> und <math>f_2</math> ist.

Bei der Schwebung werden, im Gegensatz zu den Verfahren, wie sie bei [[Mischer (Elektronik)|Mischstufen]] Anwendung finden, keine neuen Frequenzen erzeugt, und es treten auch keine Frequenzverschiebungen auf.

== Frequenz und Periode ==
[[Datei:Beat.png|mini|hochkant=1.5|Beispiel einer Schwebung zweier Frequenzen. Oben: Die beiden Signalfrequenzen <math>f_1</math> und <math>f_2</math> in den Farben [[Cyan]] und [[Magenta (Farbe)|Magenta]]. Unten: Die Schwebung, gebildet durch Addition der beiden obigen Verläufe. Die Frequenz der blauen Kurve ergibt sich als Mittelwert der beiden Frequenzen; die Frequenz der einhüllenden Kurve (Rot) ergibt sich als die halbe Differenz der beiden Frequenzen.]]
Zwei [[harmonische Schwingung]]en <math>y_1</math> und <math>y_2</math> mit leicht unterschiedlichen Frequenzen <math>f_1</math> und <math>f_2</math>:

: <math>y_1(t) = \hat{y}_1 \sin(2 \pi f_1 t)</math>
: <math>y_2(t) = \hat{y}_2 \sin(2 \pi f_2 t)</math>

Zur Vereinfachung sei angenommen, dass beide Schwingungen dieselbe Amplitude haben.

: <math>\hat{y}_1 = \hat{y}_2 = \hat{y}</math>

Dann kann die Summenschwingung (Schwebungsfunktion) so dargestellt werden (Index <math>_\mathrm{R}</math> für ''Resultierende''):

: <math>y_\mathrm{R} \left( t \right) = \hat{y} \left( \sin \left( 2 \pi f_1 t \right) + \sin \left( 2 \pi f_2 t \right) \right)</math>

Dieser Ausdruck kann durch Anwendung der [[Formelsammlung Trigonometrie#Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)|trigonometrischen Additionstheoreme]] umgeformt werden:

: <math>y_\mathrm{R} \left( t \right) = 2 \hat{y} \cdot \sin \! \left( 2 \pi \left( \frac{f_1 + f_2}{2} \right) t \right) \cdot \cos \! \left( 2 \pi \left( \frac{f_1 - f_2}{2} \right) t \right)</math>

Dieser Ausdruck lässt sich vereinfachen mit folgenden Festlegungen:

: <math>f_\mathrm{R} = \frac{ f_1 + f_2 }{2}</math>: Frequenz der Überlagerungsschwingung ([[Arithmetisches Mittel|Mittelwert]] der Einzelfrequenzen)
: <math>f_\mathrm{S} = \frac{|f_1 - f_2|}{2}</math>: Frequenz der [[Einhüllende]]n
<math>\Rightarrow y_\mathrm{R} \left( t \right) = 2 \hat{y} \cdot \sin \! \left( 2 \pi f_\mathrm{R} \, t \right) \cdot \cos \! \left( 2 \pi f_\mathrm{S} \, t \right)</math>

Die Schwebungsfrequenz ergibt sich aus dem Verlauf des [[Betragsfunktion|Betrages]] der Einhüllenden:

: <math>f_\mathrm{Schwebung} = \left| f_1 - f_2 \right| = 2 \, f_\mathrm{S} \ll f_\mathrm{R}</math>
<math>\Rightarrow y_\mathrm{R} \left( t \right) = 2 \hat{y} \cdot \sin \! \left( 2 \pi f_\mathrm{R} \, t \right) \cdot \cos \! \left( \pi f_\mathrm{Schwebung} \, t \right)</math>

Die Schwebungsperiode

: <math>T_\mathrm{Schwebung} = \frac{1}{f_\mathrm{Schwebung}} </math>

ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Amplitude ([[Schwingungsknoten|Knoten]]) der Schwebungsfunktion. Die Schwebungsperiode ist umso größer, je näher die beiden Ausgangsfrequenzen <math>f_1</math> und <math>f_2</math> zusammen liegen.

Sind die Amplituden <math>\hat{y}_1</math> und <math>\hat{y}_2</math> der beiden Frequenzen ''nicht'' gleich, dann spricht man von einer ''unreinen Schwebung'' (nicht zu verwechseln mit der unten beschrieben Schwebung unreiner Intervalle).

== Akustische Schwebungen ==
In der [[Akustik]] ist die Schwebung deutlich zu hören: Erklingen zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton zu hören, dessen Frequenz dem Mittelwert der Frequenzen der beiden überlagerten Töne entspricht. Dieser Ton ist [[Amplitudenmodulation|moduliert]], seine [[Lautstärke]] schwankt mit der o. g. Schwebungsfrequenz, die der Differenz der Frequenzen der beiden Töne entspricht.

Erhöht sich der Frequenzunterschied, so vermag das Ohr den immer schneller werdenden Lautstärkeschwankungen nicht mehr zu folgen, und man vernimmt einen Ton [[Rauhigkeit (Akustik)|rauer]] [[Klangfarbe|Klangfärbung]], der sich bei weiterer Vergrößerung der Frequenzdifferenz in zwei Einzeltöne aufspaltet. Überschreitet die Schwebungsfrequenz die [[Hörschwelle]] von ca. 20 Hz, so wird sie als [[Differenzton]] hörbar.

Dieses Phänomen demonstriert das folgende Klangbeispiel: Einem [[Sinuston]] mit der konstanten Frequenz 440 Hertz ist ein zweiter Sinuston überlagert, dessen Frequenz von 440 Hertz auf 490 Hertz ansteigt.
[[Datei:Schwebung.ogg]]

Wie die Schwebungen eines [[Intervall (Musik)|Intervalls]] (hier eines [[Halbton]]s) wahrgenommen werden, hängt sehr stark von der [[Tonhöhe|Höhenlage]] ab, was im folgenden Beispiel deutlich wird:

'''Beispiel''':
Gespielt werden die (Sinus-)Töne e und f von der großen bis zur dreigestrichenen [[Oktavlage]] zuerst einzeln, dann zusammen. Die Frequenz von f ist in jeder Oktavlage um 6,6 % höher als diejenige von e.

{| class="wikitable"
| in Hz || E 82,5 || F 88 || E F || e 165 || f 176 || e f || e’ 330 || f’ 352 || e’ f’ || e’’ 660 || f’’ 704 || e’’ f’’ || e’’’ 1320 || f’’’ 1408 || e’’’ f’’’
|-
| ||allein||allein||zusammen||allein||allein||zusammen||allein||allein||zusammen||allein||allein||zusammen||allein||allein||zusammen
|-
|colspan="16" style="text-align:center"| [[Datei:Ef in oktaven.ogg]]
|}

=== Klangbeispiele ===
Schwebungen bei der Überlagerung zweier Töne mit 440 Hz und 440,5 Hz

'''Mit reinen Sinusschwingungen'''

[[Datei:schwebung sinus.gif|Schwebung mit reinen Sinusschwingungen]]
[[Datei:Schwebung sinus2.ogg]]

'''Mit 100 % [[Grundfrequenz]], 50 % erster [[Oberton]] und 25 % zweiter Oberton'''

[[Datei:schwebung mit obertoenen.gif]]
[[Datei:schwebung mit obertoenen.ogg]]

Zwei [[Komma (Musik)#Kleiner und großer Halbton, Diaschisma und kleine Diësis|chromatische Halbtöne]] (Frequenzunterschied 4 %) im Zusammenklang

{| class="wikitable"
|[[Datei:C1 cis1.png|Notenbild c' und cis']]
|Reine Sinustöne: Der Schwebungscharakter ist beim Zusammenklang deutlich. Kaum zwei getrennte Töne hörbar.
[[Datei:c1 cis1 sinus.ogg]]
|Als [[Orgelregister]] mit Obertönen (Grundton: 100 %, Obertöne: 75 %, 50 %, 30 %, 15 %, 10 % und 5 %). Hier hört man beim Zusammenklang deutlich zwei getrennte Töne (man kann sie nachsingen).
[[Datei:c1 cis1 harmonium.ogg]]
|}

=== Mit speziellen Schwingungsformen ===
Um das Verständnis der akustischen Schwebung zu erleichtern, finden sich hier beispielhaft vier Schwingungen, die sich in ihrer [[Wellenform]] unterscheiden:
* Dreieckschwingung [[Datei:Schwebung dreieck.ogg]]
* Rechteckschwingung [[Datei:Schwebung rechteck.ogg]]
* Sägezahnschwingung [[Datei:Schwebung saegezahn.ogg]]
* Sinusschwingung [[Datei:Schwebung sinus.ogg]]

In allen vier Klangbeispielen wurden zwei Schwingungen überlagert, die zunächst dieselbe Startfrequenz von 110 Hz haben. Nach 4 Sekunden wird die Frequenz der einen Schwingung allmählich erhöht (in 8 Sekunden um 50 [[Cent (Musik)|Cent]]), dann bleibt sie für 6 Sekunden gleich, wird nun rascher als im Anstieg um 100 Cent verringert und nach einer weiteren stabilen Phase bei −50 Cent wieder auf die Ausgangsfrequenz geändert. Den exakten Verlauf stellt folgendes Diagramm dar:
[[Datei:Schwebung modulation.png|ohne|gerahmt|Frequenzverlauf der veränderlichen Schwingung aus den obigen vier Beispielen. Die konstante Schwingung (nicht eingezeichnet) liegt auf der Null-Linie. In senkrechter Richtung ist die Abweichung der Frequenz der zweiten Schwingung von den 110 Hz der ersten Schwingung aufgetragen, und zwar in Cent.]]

=== Bei unreinen Intervallen ===
Bei unrein [[Intonation (Musik)|intonierten]] Intervallen kann man die Schwebungen der Obertöne folgendermaßen berechnen:

: Oktave: <math>f_\mathrm{Schwebung} = \left| 2 \cdot f_1 - f_2 \right|</math>
: [[Quinte]]:<math>f_\mathrm{Schwebung} = \left| 3 \cdot f_1 - 2 \cdot f_2 \right|</math>

Beispiel dazu bei [[Mitteltönige Stimmung#Stimmpraxis|mitteltöniger Stimmung]]: mitteltönige Quinten [[Datei:quinten 1 4.ogg]]

: [[große Terz]]:<math> f_\mathrm{Schwebung} = \left| 5 \cdot f_1 - 4 \cdot f_2 \right|</math>

Bei den gewöhnlich außerhalb des {{Anker|kritisch, Verwendung}}kritischen Bereichs liegenden Intervallen hört man eine Schwebung, wenn zwei deutlich vorhandene Obertöne oder ein Oberton und eine Grundfrequenz nahe beieinander liegen.

Wie man den folgenden Wellenbildern entnehmen kann, ist bei reinen Sinustönen kaum eine Schwebung wahrnehmbar (die Amplituden ändert sich kaum), bei einem hohen Obertonanteil ist sie jedoch deutlich hörbar:

'''Beispiel: mitteltönige Quinte. Zuerst reine Sinusschwingungen, dann mit Obertönen'''

[[Datei:Mitteltoenige quinten.gif|ohne|800px]]

[[Datei:Mitteltoenige quinten.ogg]]

Schwebungen bei Intervallen spielen bei der [[Reine Stimmung|reinen]], den [[Mitteltönige Stimmung|mitteltönigen]], den [[Wohltemperierte Stimmung|wohltemperierten]] und der [[Gleichstufige Stimmung|gleichstufigen Stimmung]] eine große Rolle. Zum Beispiel hört man bei einer reinen Terz keine, bei der gleichstufigen jedoch eine erhebliche – als Reibung empfundene – Schwebung. Die Schwebungen der mitteltönig gestimmten Quinten sind so gering, dass sie ''nicht'' als Missklang empfunden werden.

=== Akustische Täuschung? ===
Die [[auditive Wahrnehmung]] von Schwebungen beruht im Allgemeinen nicht auf einer [[Akustische Täuschung|akustischen Täuschung]], sondern auf realen physikalischen Vorgängen. Anders ist dies bei den [[Binaurale Beats|binauralen Beats]], wo den Ohren über Kopfhörer je eine von zwei differierenden Frequenzen zugeführt wird und die Wahrnehmung von Schwebungen erst durch die Signalverarbeitung im Gehirn entsteht.

== Anwendungen ==
Das Phänomen der Schwebung kann vielseitig angewendet werden, z. B. in der Musizierpraxis:
* Das [[Stimmung (Musik)|Stimmen]] eines [[Musikinstrument]]s nach Gehör (ohne [[Stimmgerät]] mit optischer Anzeige), also das eigentliche Einstimmen auf den [[Kammerton]] als Referenzfrequenz, erfolgt solange, bis ''keine'' Schwebung mehr zu hören ist: der Ton ist dann „schwebungsnull – er stimmt“.
* Die Schwebung wird als belebender Klangeffekt bei [[Musikinstrument]]en eingesetzt, beispielsweise als zuschaltbarer [[Tremolo (Akkordeon)|Tremoloeffekt]] oder als spezielles [[Orgelregister|Register]] in Pfeifen[[orgel]]n.
* Bei der [[Tremoloharmonika]] (''Wiener Stimmung'') und den meisten [[Akkordeon|Handzuginstrumenten]] erfolgt die Tonerzeugung mit zwei [[Durchschlagende Zunge|Durchschlagzungen]], die in einer [[Tremolo (Akkordeon)|Schwebung]] gestimmt sind.
* Die Tonharmonie des [[Bambus]]-Idiophons [[Angklung]] basiert auf dem Prinzip von zwei bis vier in Schwebung befindlichen [[Resonanzkörper|Klangkörpern]] ([[Bass (Instrument)|Bässe]], [[Melodieinstrument]]e und [[Akkord]]e), die gleichzeitig geschüttelt werden.
* Das [[Leslie-Lautsprecher]]-Kabinett verwendet den [[Doppler-Effekt]] zur Erzeugung periodisch schwankender Frequenzen. Bei der [[Leslie-Lautsprecher#Prinzip|Überlagerung]] mit dem Originalton entsteht eine Schwebung.

In der [[Metrologie]] wird durch Überlagern von [[Laser]]licht einer nur ungefähr bekannten Frequenz mit einem [[Frequenzkamm]] eine elektronisch messbare Schwebung erzeugt, die eine wesentlich genauere Bestimmung der Frequenz des Lasers ermöglicht.

Unangenehm störend wird die Schwebung, wenn zwei Instrumente mit annähernd [[sinus]]förmigen Tönen (z. B. [[Flöte]]n) eng benachbarte Töne spielen – man sagt, die Töne „reiben sich“. Beim [[Unisono]]-Spiel zweier [[Blockflöte]]n<nowiki />anfänger kann es bei extremen Unsauberkeiten sogar dazu kommen, dass in der Tiefe ein äußerst penetranter Differenzton hörbar wird.

== Literatur ==
* {{BibISBN|3540026223}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Beat frequencies|Schwebung}}
* [http://gerdbreitenbach.de/lissajous/lissajous.html Simulation zu Interferenz/Schwebung/Lissajous_Kurven zweier stehender Wellen]

[[Kategorie:Schwingungslehre]]
[[Kategorie:Musikalische Akustik]]

Schwebung - Versionsgeschichte

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