imported>Googolplexian1221: durch den Link vermutlich doch überflüssig

2024-05-12T20:20:45Z

durch den Link vermutlich doch überflüssig

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt den Funktionenraum der schnell fallenden Funktionen; für die lokalkonvexe Klasse der Schwartz-Räume siehe [[Schwartz-Raum (allgemein)]].}}

[[Datei:Gaussian 2d.svg|miniatur|Graph der [[Mehrdimensionale Normalverteilung|zweidimensionalen Gauß’schen Glockenkurve]]]]

Der '''Schwartz-Raum''' ist ein [[Funktionenraum]], der im [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] untersucht wird. Benannt ist dieser nach dem Mathematiker [[Laurent Schwartz]], der zentrale Ergebnisse in der [[Distributionentheorie]] lieferte, wobei auch der Schwartz-Raum eine wichtige Rolle spielte. Die Elemente des Schwartz-Raums werden '''Schwartz-Funktionen''' genannt.
Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die [[kontinuierliche Fourier-Transformation|Fouriertransformation]] einen linearen [[Automorphismus]] auf diesem Raum bildet.

== Definition ==
Eine Funktion <math>f\colon \R^n \rightarrow \Complex</math> heißt ''Schwartz-Funktion'' oder ''schnell-fallend'', wenn sie beliebig oft [[Stetig differenzierbar#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen|stetig differenzierbar]] ist und für alle [[Multiindex|Multiindizes]] <math>\alpha , \beta \in \N^n_0</math> die Funktion <math>x^\alpha D^\beta f(x)</math> mit <math>x^\alpha = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}</math> auf <math>\R^n</math> beschränkt ist, wobei <math>D^\beta = \partial_1^{\beta_1}\partial_2^{\beta_2}\ldots \partial_n^{\beta_n}</math> die <math>\beta</math>-te Ableitung kennzeichnet.

Der [[Vektorraum]] aller Schwartz-Funktionen heißt ''Schwartz-Raum'' und wird mit <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> bezeichnet. In aller Kürze gilt also
:<math>\begin{align}
\mathcal{S}(\R^n) \;
&\overset{}{:=}\; \left\{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,\Big|\, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n: \; \sup_{x\in\R^n} |x^\alpha D^\beta \phi(x) | <\infty\; \right\} \\[.4em]
&= \left\{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,\Big|\, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n,\, \exists C\ge0,\,\forall x\in\R^n: \; |x^\alpha D^\beta \phi(x) | \le C\; \right\} \,.\end{align}</math>

Der Schwartz-Raum ist ein [[metrisierbarer lokalkonvexer Raum]], welcher durch die Familie von [[Halbnorm]]en
:<math> \left\|f\right\|_N = \sup_{x \in \R^n} \max_{|\alpha|,\, |\beta| < N} |x^\alpha D^\beta f(x)|</math>
induziert wird.


== Beispiele ==
* Die Funktionen <math> \exp(-a\left\|x\right\|^2)</math> sind für <math>a>0</math> Schwartz-Funktionen auf <math>\R^n</math>.
* Jede [[Glatte Funktion|beliebig oft differenzierbare Funktion]] mit kompaktem [[Träger (Mathematik)|Träger]] ist eine Schwartz-Funktion. Der Vektorraum der [[Testfunktion]]en mit kompaktem Träger <math>C_c^\infty(\R^n)\cong \mathcal{D}(\R^n)</math> ist also ein echter Teilraum des Schwartz-Raums.
* Die [[Hermitesche Funktion|hermiteschen Funktionen]] sind ebenfalls Schwartz-Funktionen.

== Eigenschaften ==

* Der Schwartz-Raum ist [[Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der Topologie (beziehungsweise der Metrik), die durch die Familie der Halbnormen <math> (\|\cdot\|_N)_N </math> induziert wird, und ist somit ein [[Fréchet-Raum]]. Er hat auch die [[Montel-Raum|Montel-Eigenschaft]].
* Die [[Fouriertransformation]] bildet einen linearen [[Automorphismus]] auf dem Schwartz-Raum.
* Wie bei den Beispielen erwähnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ein Unterraum des Schwartz-Raums. Dieser liegt sogar [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Schwartz-Raum.<ref name=wong1011>{{Literatur | Autor = Man Wah Wong | Titel = An introduction to pseudo-differential operators | Jahr = 1999 | Verlag = World Scientific | Ort = River Edge, N.J. | ISBN = 978-981-02-3813-1 | Seiten = 10–11 }}</ref>
* Der Schwartz-Raum ist [[Separabler Raum|separabel]].
* <math>\mathcal{S}(\R^n)\subset L^p(\R^n)</math> für <math>1\leq p\leq\infty</math>.
* Für <math>1 \leq p < \infty</math> liegt der Schwartz-Raum <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> dicht im Raum der [[Lp-Raum|p-integrierbaren Funktionen]] <math>L^p(\R^n).</math><ref name=wong1011/>
* Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die [[Fourier-Transformation]] auf dem [[Hilbertraum]] <math>L^2(\R^n)</math> definieren.

== Temperierte Distributionen ==
{{Hauptartikel|Temperierte Distribution}}

Eine [[Stetige Funktion|stetige]], lineare Abbildung <math>f\colon\mathcal{S}(\R^n) \rightarrow \Complex</math> heißt ''temperierte Distribution''. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math> bezeichnet. Dies ist der [[Dualraum|topologische Dualraum]] zu <math>\mathcal{S}(\R^n)</math>.

== Literatur ==
* [[Lars Hörmander]]: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators.'' Band 1: ''Distribution Theory and Fourier Analysis.'' Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 256).

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:SchwartzRaum}}
[[Kategorie:Lokalkonvexer Raum]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Schwartz-Raum - Versionsgeschichte

imported>Googolplexian1221: durch den Link vermutlich doch überflüssig