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Bei Wahlen ist die '''Schwartz-Menge''' die [[Mengenlehre#Vereinigungsmenge|Vereinigung]] aller '''minimalen undominierten Mengen'''. Eine minimale undominierte Menge ist eine nicht leere Menge ''S'' von Bewerbern, für welche gilt:
# Jeder Bewerber innerhalb der Menge ''S'' ist paarweise ungeschlagen von jedem Bewerber außerhalb von ''S'' (d. h. eine undominierte Menge).
# Keine nicht-leere echte Teilmenge von ''S'' erfüllt die erste Eigenschaft (d. h. minimal).

Eine Schwartz-Menge bietet eine Möglichkeit für ein optimales Wahlergebnis. Wahlverfahren, bei denen immer ein Bewerber aus der Schwartz-Menge gewinnt, erfüllen das '''Schwartz-Kriterium'''. Die Menge ist nach dem [[Politikwissenschaft]]ler Thomas Schwartz benannt.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.telematicsfreedom.org/en/project/15/ssd-and-cssd-condorcet |wayback=20141129055154 |text=SSD and CSSD Condorcet |archiv-bot=2023-01-07 16:48:48 InternetArchiveBot }}</ref>

== Eigenschaften ==
* die Schwartz-Menge ist nie leer – es gibt immer eine minimale undominierte Menge.
* zwei unterschiedliche minimale undominierte Mengen sind [[disjunkt]].
* wenn es einen [[Condorcet-Methode|Condorcet-Gewinner]] gibt, ist er das einzige Mitglied der Schwartz-Menge. Wenn die Schwartz-Menge nur einen Bewerber enthält, gibt es zumindest einen schwachen Condorcet-Gewinner.
* enthält eine minimale undominierte Menge nur einen Bewerber, ist er ein schwacher Condorcet-Gewinner. Enthält eine minimale undominierte Menge mehrere Bewerber, sind sie alle in einem Beatpath-Zyklus miteinander, ein '''Top-Zyklus'''.
* zwei Kandidaten aus verschiedenen minimalen undominierten Mengen schlagen sich nicht (unentschieden).

== Vergleich mit der Smith-Menge ==
Die Schwartz-Menge ist immer eine [[Teilmenge]] der Smith-Menge. Die Smith-Menge ist nur dann größer, wenn ein Bewerber in der Schwartz-Menge im paarweisen Vergleich unentschieden mit einem Bewerber außerhalb der Schwartz-Menge abschneidet. Ein Beispiel:
* 3 Wähler bevorzugen Bewerber A vor B vor C
* 1 Wähler bevorzugt Bewerber B vor C vor A
* 1 Wähler bevorzugt Bewerber C vor A vor B
* 1 Wähler bevorzugt Bewerber C vor B vor A
A schlägt B, B schlägt C und A ist unentschieden mit C im paarweisen Vergleich. A ist somit das einzige Mitglied der Schwartz-Menge, während alle Bewerber Element der Smith-Menge sind.

== Algorithmen ==
Die Schwartz-Menge kann mit dem [[Algorithmus von Floyd und Warshall]] der Komplexität [[Landau-Symbole|<math>\mathcal{O}(n^3)</math>]], oder mit einer Version des [[Algorithmus von Kosaraju]] derselben Komplexität berechnet werden.

== Schwartz-Kriterium ==
Ein Wahlmodus erfüllt das Schwartz-Kriterium, sofern er immer ein Element der jeweiligen Schwartz-Menge auswählt. Dies ist beispielsweise für die [[Schulze-Methode]] gegeben.

== Referenzen ==
*{{Literatur |Autor=Benjamin Ward |Titel=Majority Rule and Allocation |Sammelwerk=Journal of Conflict Resolution |Band=5 |Nummer=4 |Datum=1961 |Seiten=379–389 |DOI=10.1177/002200276100500405}} In einer Analyse der seriellen Entscheidungsfindung basierend auf Mehrheitsregel, beschreibt den Smith Satz und Schwartz festgelegt, jedoch offenbar nicht zu erkennen, dass die Schwartzschen Menge mehrere Komponenten haben kann.
*{{Literatur |Autor=Thomas Schwartz |Titel=On the Possibility of Rational Policy Evaluation |Sammelwerk=Theory and Decision |Band=1 |Datum=1970 |Seiten=89–106 |DOI=10.1007/BF00132454}} Führt den Begriff der Schwartz-Set am Ende des Papiers als eine mögliche Alternative zu Maxiaturisierung, in Anwesenheit von zyklischen Einstellungen als Standard rationale Wahl.
*{{Literatur |Autor=Thomas Schwartz |Titel=Rationality and the Myth of the Maximum |Sammelwerk=Noûs |Band=6 |Nummer=2 |Verlag=Noûs, Vol. 6, No. 2 |Datum=1972 |Seiten=97–117 |DOI=10.2307/2216143 |JSTOR=2216143}} Gibt eine axiomatische Charakterisierung und Begründung der Schwartz-Set als möglich Standard für optimale, rational kollektiven Wahl.
*{{Literatur |Autor=Rajat Deb |Titel=On Schwart's Rule |Sammelwerk=Journal of Economic Theory |Band=16 |Datum=1977 |Seiten=103–110 |DOI=10.1016/0022-0531(77)90125-9}} Beweist, dass Schwartz-Set die Menge der undominated Elemente der transitive Schluss der paarweisen Bevorzugung-Beziehung ist.
*{{Literatur |Autor=Thomas Schwartz |Titel=The Logic of Collective Choice |Verlag=Columbia University Press |Ort=New York |Datum=1986 |ISBN=0-231-05896-9}} Erläutert das Smith-Set (mit dem Namen GETCHA) und Schwartz-Set (mit dem Namen GOCHA) als Standards für optimale, rational kollektiven Wahl.

== Siehe auch ==
* [[Condorcet-Methode#Condorcet-Kriterium|Condorcet-Kriterium]]
* [[Condorcet-Methode]]
* [[Quasiordnung|Vorbestellung]]

== Verweise ==
<references />
* [http://wiki.electorama.com/wiki/Maximal_elements_algorithms Beispiel Algorithmen zur Berechnung von Schwartz-Set]

[[Kategorie:Wahlforschung]]

Schwartz-Menge - Versionsgeschichte

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