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2021-07-29T20:32:31Z

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'''Schwach-kompakte Operatoren ''' werden in der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse [[Lineare Abbildung|linearer]] [[beschränkter Operator]]en zwischen [[Banach-Raum|Banachräumen]] mit einer zusätzlichen Kompaktheitseigenschaft, die den [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] nachempfunden ist. Diese Begriffsbildung spielt eine wichtige Rolle in der [[Dunford-Pettis-Eigenschaft]].

== Definition ==
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume. Ein linearer Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> heißt '''schwach-kompakt''', wenn für jede [[Beschränktheit|beschränkte]] Menge <math>B\subset X</math> der [[Schwache Topologie|schwache]] Abschluss <math>\overline{T(B)}^w</math> des Bildes schwach kompakt ist.<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 3.5.1</ref>

Ersetzt man in dieser auf [[Shizuo Kakutani|S. Kakutani]] und [[Kōsaku Yosida|K. Yosida]] zurückgehenden Definition die schwache Topologie durch die [[Normtopologie]], so erhält man genau den Begriff des kompakten Operators.

== Eigenschaften ==
Für einen linearen Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen gilt:

<math>T</math> kompakter Operator <math>\Rightarrow \,T</math> schwach-kompakter Operator<math>\Rightarrow \,T</math> beschränkter Operator.

Die Umkehrungen gelten nicht, wie die identischen Operatoren auf den [[Folgenraum|Folgenräumen]] <math>\ell^1</math> und <math>\ell^2</math> zeigen.
* <math>{\rm id}_{\ell^1}</math> ist beschränkt, aber nicht schwach-kompakt.
* <math>{\rm id}_{\ell^2}</math> ist schwach-kompakt, aber nicht kompakt.

Sind <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume, von denen mindestens einer
[[Reflexiver Raum|reflexiv]] ist, so ist jeder beschränkte lineare Operator zwischen ihnen schwach-kompakt.

Summen, skalare Vielfache und Norm-Grenzwerte schwach-kompakter Operatoren sind wieder schwach-kompakt. Ein Produkt <math>ST</math> beschränkter linearer Operatoren ist schwach-kompakt, wenn einer der Faktoren <math>S</math> oder <math>T</math> schwach-kompakt ist. Die Menge aller schwach-kompakten Operatoren zwischen den Banachräumen <math>X</math> und <math>Y</math> ist daher bezüglich der [[Operatornorm]] wieder ein Banachraum. Im Falle <math>X=Y</math> liegt ein abgeschlossenes [[zweiseitiges Ideal]] in der [[Banachalgebra]] aller beschränkten Operatoren auf <math>X</math> vor.

== Charakterisierungen ==
Der folgende einfache Satz charakterisiert die schwache Kompaktheit:

Für einen linearen Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen sind

folgende Aussagen äquivalent:
* <math>T</math> ist schwach-kompakt.
* <math>T(\{x\in X; \|x\|\le 1\})</math> ist [[Relative Kompaktheit|relativ schwach-kompakt]].
* Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_n</math> in <math>X</math> hat eine Teilfolge <math>(x_{n_m})_m</math>, so dass <math>(Tx_{n_m})_m</math> in <math>Y</math> schwach konvergiert.

In der folgenden auf [[Vera Ruvimovna Gantmacher|V. R. Gantmacher]] (für den Fall [[Separabler Raum|separabler]] Räume) und Nakamura (für den allgemeinen Fall) zurückgehenden Charakterisierung bezeichne <math>j_X</math> die [[Bidualraum|kanonische Einbettung in den Bidualraum]] <math>X''</math>.

Für einen linearen Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.5.8</ref>
* <math>T</math> ist schwach-kompakt.
* <math>T''(X'')\subset j_Y(Y) \subset Y''</math>.

== Satz von Gantmacher ==
In Analogie zum [[Satz von Schauder]] gilt der folgende

'''Satz von Gantmacher''':<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.5.13</ref> Für einen linearen Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:
* <math>T</math> ist schwach-kompakt.
* Der [[Adjungierter Operator|adjungierte]] Operator <math>T'\colon Y'\rightarrow X'</math> ist schwach-kompakt.

Daraus kann man eine weitere Charakterisierung herleiten:
Für einen linearen Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:
* <math>T</math> ist schwach-kompakt.
* <math>T'\colon Y'\rightarrow X'</math> ist [[Schwach-*-Topologie|schwach*]]-schwach-stetig.

== Faktorisierung über reflexive Räume ==
Man sagt, ein stetiger, linearer Operator <math>T\colon X\rightarrow Y</math> faktorisiert über einen Banachraum <math>Z</math>, falls es stetige lineare Operatoren <math>S\colon X\rightarrow Z</math> und <math>R\colon Z\rightarrow Y</math> gibt mit <math>T=R\circ S</math>. Da ein stetiger, linearer Operator zwischen zwei Banachräumen, von denen einer reflexiv ist, nach obigen Eigenschaften schwach-kompakt ist und da Produkte von stetigen linearen Operatoren bereits dann schwach-kompakt sind, wenn mindestens ein Faktor schwach-kompakt ist, muss bereits jeder stetige, lineare Operator, der über einen reflexiven Raum faktorisiert, schwach-kompakt sein. Nach einem Satz von [[W. J. Davis|Davis]], [[Tadeusz Figiel|Figiel]], [[William B. Johnson (Mathematiker)|Johnson]] und [[Aleksander Pełczyński|Pełczyński]] gilt hiervon auch die Umkehrung, das heißt, man hat insgesamt die folgende Charakterisierung schwach-kompakter Operatoren:<ref>W. J. Davis, T. Figiel, W. B. Johnson, A. Pełczyński: ''Factoring weakly compact operators.'' J. Functional Analysis (1974), Band 17 No. 3, S. 311–327.</ref><ref>P. Wojtaszczyk: ''Banach spaces for analysts.'' Cambridge University Press 1991, ISBN 0-521-35618-0, II.C.5</ref>
* Ein stetiger, linearer Operator ist genau schwach-kompakt, wenn er über einen reflexiven Banachraum faktorisiert. Dabei können die Normen der Faktoren durch das Doppelte der Norm des Ausgangsoperators begrenzt werden.

== Schwach-kompakte Operatoren auf C(K) ==
Es sei <math>K</math> ein kompakter [[Hausdorffraum]] und <math>C(K)</math> sei der [[Funktionenraum]] der stetigen Funktionen <math>K\rightarrow \R</math> mit der [[Supremumsnorm]]. Dann lassen sich die schwach-kompakten Operatoren <math>T\colon C(K)\rightarrow X</math> mit Werten in einem Banachraum <math>X</math> wie folgt angeben:<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces.'' Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.25</ref>

Es sei <math>\mu</math> ein reguläres, [[vektorielles Maß]] auf <math>K</math> (mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]]) mit Werten in <math>X</math>. Regularität bedeutet hier, dass die skalaren Maße <math>\varphi\circ \mu</math> für alle <math>\varphi \in X'</math> [[Reguläres Maß|regulär]] sind.
Dann ist durch
:<math>T_\mu f := \int_Kf \mathrm{d}\mu</math>
ein schwach-kompakter Operator <math>T_\mu\colon C(K)\rightarrow X</math> gegeben. Die Operatornorm von <math>T_\mu</math> ist gleich der [[Semivariation]] des Maßes <math>\mu</math>.

Umgekehrt hat jeder schwach-kompakte Operator <math>T\colon C(K)\rightarrow X</math> diese Gestalt, das heißt, es gibt ein reguläres vektorielles Maß <math>\mu</math> auf <math>K</math> mit Werten in <math>X</math>, so dass der Operator durch obige Formel beschrieben wird, das heißt, es gilt <math>T=T_\mu</math>.

So ein schwach-kompakter Operator <math>T_\mu\colon C(K)\rightarrow X</math> ist genau dann kompakt, wenn <math>\{\mu(A)| A\subset K\text{ Borel-messbar}\} \subset X</math> relativ kompakt ist.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces.'' Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.27</ref> Damit konstruiert man leicht weitere Beispiele schwach-kompakter Operatoren, die nicht kompakt sind.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Schwach-kompakter Operator - Versionsgeschichte

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