~2026-65050-1: der Vektor v beschreibt eine Verschiebung und ist in der Richtung der Verschiebung, also seitlich von der Drehachse: orthogonal und nicht parallel. Das Objekt selbst ist hingegen quasi "parallel" zu seinen eigenen Drehachse im Gegensatz zu v: der o.g. Vektor ist orthogonal zu Drehachse sowie genauso orthogonal zu dem verschobenen Objekt.

2026-01-30T03:01:31Z

der Vektor v beschreibt eine Verschiebung und ist in der Richtung der Verschiebung, also seitlich von der Drehachse: orthogonal und nicht parallel. Das Objekt selbst ist hingegen quasi "parallel" zu seinen eigenen Drehachse im Gegensatz zu v: der o.g. Vektor ist orthogonal zu Drehachse sowie genauso orthogonal zu dem verschobenen Objekt.

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[[Datei:schraubung.gif|mini|Anschaulich gesehen dreht eine Schraubung ein Objekt um einen festen Winkel um eine Drehachse und verschiebt das Resultat parallel zur Drehachse.]]
Unter einer '''Schraubung''' versteht man in der [[Geometrie]] des dreidimensionalen Raumes V eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], die aus einer [[Verkettung (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] einer [[Parallelverschiebung]] mit Verschiebe[[vektor]] <math>v</math> und einer [[Drehung]] um eine [[Gerade]] <math>g</math> besteht, bei der <math>v</math> [[Orthogonalität|orthogonal]] zu <math>g</math> ist. Die Reihenfolge, d. h. ob zuerst die Drehung oder die Verschiebung ausgeführt wird, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

In der [[Kristallographie]] sind Schraubenachsen mögliche [[Symmetrieelement]]e einer [[Raumgruppe]].

Eine Schraubung stellt eine [[Isometrie]] auf V dar, da sie eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] zweier Isometrien ist.

Schraubungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle, etwa bei der [[Klassifizierung]] der Isometrien in [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] 3. Isometrien in dreidimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] lassen sich nach geometrischen Gesichtspunkten in 7 Typen unterteilen, neben der Schraubung findet man:
* [[Identische Abbildung|Identität]]
* [[Parallelverschiebung|Translation]]
* [[Drehung]]
* [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]]
* [[Gleitspiegelung]]
* [[Drehspiegelung]].

== Schraubenachsen als Element einer Raumgruppe ==
[[Datei:Te chains.png|mini|Spiralförmige Kette aus [[Tellur]]<nowiki />atomen entlang der 31-Schraubenachse (blau hervorgehoben). Jedes dritte Atom ist deckungsgleich (dunkel-, mittel- und hellblau). Der Abstand zwischen den dunkel-, mittel- und hellblauen Atomen beträgt jeweils eine [[Gitterkonstante]].]]
In einer Raumgruppe können nur Schraubenachsen vorkommen, die mit dem [[Translationsgitter]] der Gruppe verträglich sind. Daher kann es in einer Raumgruppe nur n-zählige Drehachsen geben, mit n = 2, 3, 4 oder 6.

Da diese nach n-maliger Wiederholung wieder die Identität ergeben, können sie nur mit einem Translationsvektor verknüpft sein, der nach n-facher Wiederholung einem [[Gittervektor|Vektor des Gitters]] entspricht. Das ist nur der Fall, wenn dessen Länge in Richtung der Drehachse ein m-faches des n-ten Bruchteils der Gittertranslation beträgt, mit <math>0 < m < n</math>.

Das [[Hermann-Mauguin-Symbol]] für diese Schraubenachsen ist ein tiefgestelltes m hinter dem Symbol für die Drehachse n: nm.

41bedeutet also eine 4-zählige Schraubenachse, bei der bei jeder Drehung um 360°/4 = 90° eine Translation in Richtung der Drehachse von <math>\tfrac{m}{n} = \tfrac{1}{4}</math> [[Gitterkonstante]]n hinzukommt.

Im Folgenden sind alle in den 230 Raumgruppen vorkommenden Schraubenachsen aufgeführt:
* 21
* (31 32)
* (41 43) 42
* (61 65) (62 64) 63.

In Klammern zusammengefasst sind dabei Paare [[enantiomorph]]er Schraubenachsen, die sich nur durch den [[Drehrichtung|Drehsinn]] unterscheiden:
* die erstgenannte Schraube ist eine [[Helix #Windungsrichtung|Rechtsschraube]]
* die zweite Schraube ist die entsprechende Linksschraube.
Diese beiden Symmetrieelemente sind besonders schwer voneinander zu unterscheiden.

== Schraubung von Starrkörpern ==
Der [[Florenz|florentiner]] Mathematiker [[Giulio Mozzi]] (1730–1813) erkannte als erster,<ref>{{Literatur |Autor=Giulio Giuseppe Mozzi |Titel=Mathematischer Diskurs über die momentane Rotation von Körpern |Verlag=Druckerei von Donato Campo |Ort=Neapel |Datum=1763 |Sprache=it |Kommentar=Zitiert nach Marcolongo (1911), S. 122. |Originaltitel=Discorso matematico sopra il rotamento mementaneo dei corpi |Online=https://archive.org/details/bub_gb_VN2fmxcVJpUC |Abruf=2020-04-15}}</ref> dass jede Bewegung eines [[Starrkörper]]s als Schraubung dargestellt werden kann, d. h. als [[Translation (Physik)|Translation]] eines Bezugspunkts und Drehung um den Bezugspunkt mit einer [[Drehachse]], die durch die (Richtung der) Geschwindigkeit des Bezugspunkts gegeben ist.

Der Bezugspunkt <math>\vec r</math> ermittelt sich wie folgt aus der Bewegung des Starrkörpers, die sich immer darstellen lässt als Translation <math>\dot{\vec b}</math> eines Punkts <math>\vec b</math> und die [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec\omega</math> des Starrkörpers um diesen Punkt:

:<math>\vec v(\vec p, t) = \dot{\vec b} + \vec\omega \times (\vec p - \vec b)</math>

Darin ist
* <math>\vec v(\vec p, t)</math> die Geschwindigkeit des Partikels am Ort <math>\vec p</math> zur Zeit ''t''
* der [[Überpunkt#Als wissenschaftliches Symbol|Überpunkt]] eine [[Zeitableitung]]
* „×“ das [[Kreuzprodukt]].

Dann ist auch

:<math>\vec v(\vec p, t) = \dot{\vec r} + \vec\omega \times (\vec p - \vec r)</math>

mit

::<math>\vec r = \vec b + \frac{\vec\omega \times \dot{\vec b}}{\vec\omega \cdot \vec\omega} + \rho \vec\omega</math>

und

::<math>\begin{align}
\dot{\vec r} &= \dot{\vec b} + \vec\omega \times (\vec r - \vec b)\\
&= \dot{\vec b} + \vec\omega \times \left( \frac{\vec\omega \times \dot{\vec b}}{\vec\omega \cdot \vec\omega} + \rho \vec\omega \right)\\
&= \dot{\vec b} + \vec\omega \times \frac{\vec\omega \times \dot{\vec b}}{\vec\omega \cdot \vec\omega} + \rho \underbrace{(\vec\omega \times \vec\omega)}_{= 0}\\
&= \dot{\vec b} + \frac{(\vec\omega \cdot \dot{\vec b}) \, \vec\omega - (\vec\omega \cdot \vec\omega) \, \dot{\vec b}}{\vec\omega \cdot \vec\omega}\\
&= \frac{\vec\omega \cdot \dot{\vec b}}{\vec\omega \cdot \vec\omega}\vec\omega
\end{align}</math>

und beliebigem <math>\rho\in\R</math>. Das Rechenzeichen „·“ bildet das [[Skalarprodukt]].

=== Beispiel ===
Anstatt einen Partikel
* vom Ursprung nach (2|2|0) zu verschieben und ihn um 180°=<math>\pi</math> um die Drehachse mit der Richtung (1|0|0) zu drehen, die durch den neuen Punkt (2|2|0) verläuft,
* kann man ihn auch vom Ursprung nach (2|0|0) verschieben und ihn dann um 180°=<math>\pi</math> um die Drehachse mit der Richtung (1|0|0) drehen, die durch den Bezugspunkt <math>\vec r = (0|1|0)</math> verläuft; in diesem Fall stimmt die Richtung der Verschiebung mit der Richtung der Drehachse überein.
Das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe: der betrachtete Partikel liegt am Ende an der neuen Position (2|2|0) und ist um 180°=<math>\pi</math> gedreht.

== Siehe auch ==
* [[Systematische Auslöschung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=D. Schwarzenbach
|Titel=Kristallographie
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=2001
|ISBN=3-540-67114-5}}
* {{Literatur
|Autor=[[Roberto Marcolongo]]
|Titel=Theoretische Mechanik
|TitelErg=Kinematik und Statik
|Band=1. Band
|Verlag=[[B. G. Teubner]]
|Ort=Leipzig und Berlin
|Datum=1911
|Seiten=122
|Online=https://archive.org/details/theoretischemec00marcgoog
|Abruf=2020-04-15}}

== Weblinks ==
* [https://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eschenbu/geometrie.pdf Geometrieskript von Eschenburg, S. 56.] (PDF; 970 kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]
[[Kategorie:Kristallographie]] Kristallographische Schraubenachse

Schraubung - Versionsgeschichte