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2022-10-31T12:26:35Z

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{{Dieser Artikel|erläutert den Begriff der Schnittzahl in der Topologie, für algebraische Kurven wird er unter [[Schnittzahl (Algebraische Geometrie)]] erläutert.}}

In der [[Differentialtopologie]] und in der [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]] bezeichnet die '''Schnittzahl''' oder '''Schnittmultiplizität''' eine ganze Zahl, welche den Schnittpunkten orientierter Untermannigfaltigkeiten bzw. Homologieklassen von [[Orientierung (Mathematik)|orientierten]] [[Mannigfaltigkeit]]en zugeordnet werden kann.

== Differentialtopologie ==
In der Differentialtopologie betrachtet man zuerst Schnittzahlen von Abbildungen mit Untermannigfaltigkeiten. Schnittzahlen von Untermannigfaltigkeiten komplementärer Dimensionen werden als Schnittzahl der Inklusionsabbildung der einen Untermannigfaltigkeit mit der anderen Untermannigfaltigkeit berechnet.

=== Definition ===
Seien <math>X, Y</math> [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en, <math>X</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] sowie <math>Z \subseteq Y</math> eine Untermannigfaltigkeit und sei <math>f\colon X \rightarrow Y</math> ein differenzierbare Abbildung, die zu <math>Z</math> [[Transversalität|transversal]] ist. Zudem gelte <math>\dim X + \dim Z = \dim Y</math>. Dann heißt
: <math>I(f, Z) := \sum_{x \in f^{-1}(Z)} \mathrm{sign}(x)</math>
die ''Schnittzahl'' der Abbildung <math>f</math> mit <math>Z</math>.

Transversalität und Kompaktheit garantieren, dass die Summe endlich ist.
Das Signum <math>\mathrm{sign}(x)</math> ist folgendermaßen definiert:
* <math>\mathrm{sign}(x) = +1</math>, falls <math>d_{x}f(T_{x}X) \oplus T_{f(x)}Z = T_{f(x)}Y</math> als direkte Summe von orientierten Vektorräumen die Orientierung erhält,
* <math>\mathrm{sign}(x) = -1</math>, falls <math>d_{x}f(T_{x}X) \oplus T_{f(x)}Z = T_{f(x)}Y</math> als direkte Summe von orientierten Vektorräumen die Orientierung umkehrt.

Mit Hilfe des [[Homotopietransversalitätssatz]]es kann die Definition auch auf Abbildungen ausgedehnt werden, die nicht transversal sind:
Seien <math>X, Y</math> [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en, <math>X</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] sowie <math>Z \subseteq Y</math> eine Untermannigfaltigkeit und sei <math>f\colon X \rightarrow Y</math> ein differenzierbare Abbildung. Zudem gelte <math>\dim X + \dim Z = \dim Y</math>. Nach dem Homotopietransversalitätssatz gibt es eine differenzierbare Abbildung <math>g\colon X \rightarrow Y</math>, welche transversal zu <math>Z</math> und [[homotop]] zu <math>f</math> ist. Man setzt: <math>I(f,Z) := I(g, X)</math>.

=== Eigenschaften ===
* Sei <math>W</math> eine kompakte differenzierbare [[Mannigfaltigkeit mit Rand]] <math>\partial W = X</math> und sei <math>F\colon W \rightarrow Y</math> eine differenzierbare Abbildung. Dann gilt für <math>f = \partial F\colon X \rightarrow Y</math> für jede Untermannigfaltigkeit <math>Z</math> von <math>Y</math>, dass <math>I(f, Z) = 0</math>.
* Die Schnittzahlen homotoper Abbildungen stimmen überein.

=== Selbstschnittzahl ===
Für den Fall, dass <math>X, Z</math> kompakte orientierte Untermannigfaltigkeiten einer orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind, mit <math>\dim X + \dim Z = \dim Y</math>, lässt sich die Schnittzahl <math>I(X, Z) := I(i, Z)</math> definieren, wobei <math>i\colon X \hookrightarrow Y</math> die kanonische Inklusionsabbildung bezeichnet.

Man kann zeigen, dass <math>I(Z, X) := (-1)^{\dim X \cdot \dim Z} \cdot I(X, Z)</math> gilt. Im Falle <math>\dim X = \frac{1}{2} \dim Y</math>, ist also die ''Selbstschnittzahl'' <math>I(X, X)</math> definiert und für ungerade <math>\dim X</math> folgt damit <math>I(X, X) = 0</math>.

Sei nun <math>Y</math> eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, <math>\Delta := \left\{(y,y) \,: y \in Y\right\} \subset Y \times Y</math> bezeichne die Diagonale. Nach der vorangehenden Überlegung ist <math>I(\Delta, \Delta)</math> wohldefiniert und man kann mit Hilfe der [[Lefschetz-Fixpunkttheorie]] zeigen, dass <math>I(\Delta, \Delta)</math> mit der [[Euler-Charakteristik]] der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

=== Schnittzahl mod 2 ===

Die ''Schnittzahl <math>\mathrm{mod}\,2</math>'' ist unabhängig von einer Orientierung der Mannigfaltigkeiten, das in der Definition der Schnittzahl vorkommende Signum ist <math>\mathrm{mod}\,2 = 1</math> und die Berechnung der Schnittzahl <math>\mathrm{mod}\,2</math> reduziert sich auf das Zählen der Schnittpunkte <math>\mathrm{mod}\,2</math>. Dies erlaubt natürlich nicht so genaue Aussagen wie mit der Schnittzahl orientierter Mannigfaltigkeiten, ermöglicht aber dafür auch die Berechnung bei nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten.

=== Anwendungsbeispiel ===
Als Anwendung wird gezeigt, dass das [[Möbiusband]] nicht orientierbar ist. <math>X</math> bezeichne die Mittellinie des Möbiusbandes, welche diffeomorph ist zur Kreislinie <math>S^1</math>. Die Selbstschnittzahl <math>\mathrm{mod}\,2</math> von <math>X</math> ist 1. Wäre das Möbiusband orientierbar, dann müsste aber <math>I(X, X) = 0</math> gelten. <math>I(X, X) = 0 \, \mathrm{mod}\,2 \neq 1</math>, also kann das Möbiusband nicht orientierbar sein.

== Algebraische Topologie ==

Die Algebraische Topologie ermöglicht die Ausdehnung des Begriffes der Schnittzahl auf orientierte topologische Mannigfaltigkeiten, wo die Schnittzahlen mit Hilfe der [[Homologietheorie|singulären Homologie]] definiert werden.

== Literatur ==
* John W. Milnor: ''Topology from the differentiable viewpoint.'' Revised edition, 1st printing. Princeton University Press, Princeton NJ 1997, ISBN 0-691-04833-9.
* [[Victor Guillemin]], Alan Pollack: ''Differential topology.'' Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1974, ISBN 0-13-212605-2.
* Ralph Stöcker, [[Heiner Zieschang]]: '' Algebraische Topologie. Eine Einführung.'' 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X.

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Topologische Invariante]]

Schnittzahl - Versionsgeschichte

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