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2026-04-30T11:52:28Z

Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform

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[[Datei:Is-plane-plane.png|miniatur|Schnittgerade (rot) zweier Ebenen (grün und blau)]]
Eine '''Schnittgerade''' ist ein Begriff der [[Geometrie]]. Zwei [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], die nicht [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zueinander sind, schneiden sich immer; die [[Schnittmenge]] ist dabei eine Gerade, die als ''Schnittgerade'' bezeichnet wird.

In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden Schnittgeraden – wie alle Raumgeraden – mithilfe von Gleichungen beschrieben, vorzugsweise durch [[Parameterform#Verallgemeinerung|Parametergleichungen]]. Eine typische Aufgabe ist, eine Parametergleichung der Schnittgeraden zu bestimmen, wenn die Gleichungen der sich schneidenden Ebenen gegeben sind.

Ist eine der sich schneidenden Ebenen eine [[Koordinatenebene]], so nennt man die Schnittgerade ''[[Spurgerade]]''.<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=89}}</ref> Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so handelt es sich um ein ''[[Ebenenbüschel]]''. Diese Schnittgerade heißt ''Trägergerade'' oder ''Achse des Ebenenbüschels''.

== Allgemeines ==
Zwischen zwei Ebenen im Raum können folgende [[Lagebeziehung]]en bestehen:<ref>{{Literatur |Autor=Goebbels, Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und
Integralrechnung, Lineare Algebra |Auflage= |Datum=2023 |Seiten=533}}</ref>

* Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, aber nicht gleich („echt parallel“);
* Die beiden Ebenen sind gleich;<ref group="A">In diesem Fall werden lediglich zwei (verschiedene) Gleichungen für ein und dieselbe Ebene verwendet.</ref>
* Die beiden Ebenen sind nicht parallel zueinander und schneiden sich in einer Geraden, der Schnittgeraden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um die Parametergleichung der Schnittgeraden zu berechnen. Eine geeignete Wahl hängt unter anderem davon ab, in welcher Form ([[Normalenform]], [[Parameterform]]) die sich schneidenden Ebenen jeweils beschrieben sind. Insgesamt lassen sich drei Fälle unterscheiden: Es können beide Ebenen als Normalenform oder als Parameterform vorliegen, oder eine Ebene liegt in Normalenform und die andere in Parameterform vor. Für jeden Fall gibt es Verfahren, die direkt an den Gleichungen der vorliegenden Ebenen ansetzen. Alternativ kann man zunächst eine oder beide Ebenengleichungen in eine andere Form umwandeln und dann eines der Verfahren für diesen Fall anwenden.

Alle Verfahren laufen darauf hinaus, eine lineare Gleichung oder ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Ist die entsprechende Gleichung bzw. das lineare Gleichungssystem lösbar und hat eine einparametrige Lösungsmenge, so sind die gegebenen Ebenen nicht parallel zueinander und haben eine Schnittgerade. Ist sie zweiparametrig, so sind die beiden Ebenen gleich. Gibt es keine Lösung, so sind die Ebenen echt parallel zueinander.<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Auflage= |Verlag=Volk und Wissen |Ort=Berlin |Datum=2000 |ISBN=978-3-06-001173-5 |Seiten=164 |Abruf=}}</ref>

== Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform ==
Gegeben seien eine Ebene in Normalenform,

:<math>E_1 \colon \ \vec n \cdot \vec x = d</math>,

und eine Ebene in Parameterform,

:<math>E_2 \colon \ \vec x = \vec p + r \vec u +s \vec v</math>.

Zur Bestimmung der Schnittgerade setzt man zunächst die Parametergleichung für <math>E_2</math> in die Normalengleichung für <math>E_1</math> ein und wendet das [[Distributivgesetz]] und das (gemischte) [[Assoziativgesetz]] für [[Skalarprodukt|Skalarprodukte]] an. Das liefert die Gleichung<ref>{{Literatur |Autor=Jung |Titel=Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie |Datum=2024 |Seiten=605}}</ref>

:<math>\vec n \cdot \vec p + r \, \vec n \cdot \vec u + s \, \vec n \cdot \vec v = d</math>.

Sind die Ebenen nicht parallel, so ist <math>\vec n \cdot \vec u \ne 0</math> oder <math>\vec n \cdot \vec v \ne 0</math> und diese Gleichung lässt sich nach <math>r</math> oder nach <math>s</math> auflösen. Mit der dadurch erhaltenen Gleichung lässt sich ein Parameter in der Gleichung für <math>E_2</math> eliminieren, wodurch man zu einer Parametergleichung für die Schnittgerade gelangt.

=== Beispiel ===
Die beiden Ebenen seien gegeben durch

:<math>E_1 \colon \ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec x = 1</math>

und

:<math>E_2 \colon \ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

Einsetzen der Parametergleichung in die Normalengleichung liefert
:<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 1</math>.
Diese Gleichung liest sich nach Anwendung der Rechengesetze für das Skalarprodukt als

:<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1</math>.
Ausrechnen der Skalarprodukte und Umstellen liefert <math>s=-3-r</math>. Die Lösungsmenge der Gleichung ist einparametrig, folglich haben <math>E_1</math> und <math>E_2</math> eine Schnittgerade. Um diese zu bestimmen, ersetzt man <math>s=-3-r</math> in der Parametergleichung für <math>E_2</math>:

:<math>\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + (-3-r)\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

Nach Anwendung der Rechenregeln für Vektoren erhält man hieraus schließlich eine Parameterdarstellung für die Schnittgerade:

:<math>g \colon \ \vec x = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}</math>.

== Schnitt zweier Ebenen in Parameterform ==
Gegeben seien zwei Ebenen

:<math>E_1 \colon \ \vec x = \vec p_1 + r \vec u_1 + s \vec v_1 \quad</math>und <math>\quad E_2 \colon \ \vec x = \vec p_2 + r \vec u_2 + s \vec v_2</math>.

Gleichsetzen der beiden Parametergleichungen liefert die Vektorgleichung<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr). |Datum=1991 |Seiten=89}}</ref>

:<math>\vec p_1 + r_1 \vec u_1 + s_1 \vec v_1 = \vec p_2 + r_2 \vec u_2 + s_2 \vec v_2,</math>
die sich in ein lineares 3×4 Gleichungssystem in den Unbekannten <math>r_1, r_2, s_1, s_2</math> übersetzen lässt. Dieses Gleichungssystem lässt sich auf eine Gleichung in zwei Variablen zurückführen, die sich, sofern <math>E_1</math> und <math>E_2</math> nicht parallel zueinander sind, nach einer Variablen auflösen lässt. Damit kann man beispielsweise den Parameter <math>r_2</math> in Abhängigkeit von <math>s_2</math> ausdrücken und in der [[Ebenengleichung]] für <math>E_2</math> ersetzen. Nach elementaren Vektorumformungen gelangt man dann zu einer Parametergleichung der Schnittgeraden.

=== Beispiel ===
Die beiden Ebenen seien gegeben durch

:<math>E_1 \colon \ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + r_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad </math> und <math>\quad E_2 \colon \ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.

Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man das Gleichungssystem

<math>\begin{matrix}
& 2r_1 & - & 2r_2 & - & s_1& - &s_2& = & 0\\
& r_1 & - & 2r_2 & + & s_1 & &&= & 2\\
& -r_1 & + &r_2 & && &-s_2& = &0
\end{matrix}</math>

Es hat eine einparametrige Lösungsschar. Wählt man z. B. <math>s_2=t </math> als freien Parameter, so ist <math>r_2 = -2-4t</math>. Einsetzen in die Parametergleichung für <math>E_2</math> ergibt
:<math>\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (-2-4t) \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.
Nach Anwendung der Rechenregeln für Vektoren erhält man hieraus für die Schnittgerade die Parameterdarstellung

:<math>g \colon \ \vec x= \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -7 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}</math>.

== Schnitt zweier Ebenen in Normalenform ==
Gegeben seien zwei Ebenen

:<math>E_1 \colon \ \vec n_1 \cdot \vec x = d_1 \quad</math> und <math>\quad E_2 \colon \ \vec n_2 \cdot \vec x = d_2 </math>.

<math>E_1</math> und <math>E_2</math> sind nicht parallel zueinander, wenn die beiden Normalenvektoren <math>\vec n_1, \vec n_2</math> in verschiedene Richtungen zeigen, also keine Vielfachen voneinander sind.

=== Methode 1 ===
Die beiden Normalengleichungen liefern ein lineares 2×3 Gleichungssystem mit den Koordinaten <math>x,y,z</math> als Unbekannten. Um dieses unterbestimmte Gleichungssystem zu lösen, wird es zunächst auf Zeilenstufenform gebracht und eine der Unbekannten der untersten Zeile als Parameter gesetzt; die anderen beiden Koordinaten lassen sich dann in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken. Wendet man auf den Lösungsvektor, dessen Komponenten nun alle in Abhängigkeit des Parameters ausgedrückt sind, elementare Rechengesetzt für Vektoren an, so gelangt man zu einer Parametergleichung der Schnittgeraden.

==== Beispiel ====
Die beiden Ebenen seien gegeben durch
:<math>E_1 \colon \ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec x =1 \quad</math>und <math>\quad E_2 \colon \ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec x =2</math>.
Die Normalenvektoren <math>(1,2,1)^T</math> und <math>(2, -3,2)^T</math> sind keine Vielfachen voneinander, also sind <math>E_1</math> und <math>E_2</math> nicht parallel zueinander und haben eine Schnittgerade. Deren Punkte <math>\vec x = (x,y,z)^T</math> erfüllen das lineare Gleichungssystem
:<math>
\begin{matrix}
&x&+&2y&+&z&=&1 \\
&2x&-&3y&+&2z&=&2
\end{matrix}
</math>

2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:
:<math>
\begin{matrix}
&x&+&2y&+&z&=&1 \\
&&&7y&&&=&0
\end{matrix}
</math>

Die Unbekannte <math>z</math> kann frei gewählt werden: <math>z=t</math>. Nachdem <math>y=0</math> ist, liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung <math>x=1-t</math>. Also lassen sich alle Lösungsvektoren schreiben als <math>\vec x = (1-t,0,t)^T </math>, woraus man schließlich für die Schnittgerade die Parameterdarstellung erhält:
:<math>\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.

=== Methode 2 ===
Da die Schnittgerade in beiden Ebenen liegt, stehen die beiden Normalenvektoren <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> senkrecht auf dem Richtungsvektor der Schnittgeraden. Als Richtungsvektor <math>\vec u</math> der Schnittgeraden kann somit das Kreuzprodukt der Normalenvektoren genutzt werden: <math>\vec u = \vec n_1 \times \vec n_2</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Jung |Titel=Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie |Seiten=603}}</ref> Für den Stützvektor <math>\vec p</math> betrachtet man den Schnittpunkt der Ebenen <math>E_1</math>, <math>E_2</math> und

:<math>E_3 \colon \ \vec x = r\vec n_1 + s \vec n_2</math>.

Er liegt in allen drei Ebenen und somit auch auf der Schnittgeraden von <math>E_1</math> und <math>E_2</math>. Somit lässt sich sein Ortsvektor <math>\vec p </math> als Stützvektor verwenden. Da <math>\vec p</math> insbesondere in <math>E_3</math> liegt, lässt er sich schreiben als <math>\vec p = r_0 \vec n_1 + s_0 \vec n_2</math>. Um die Parameter <math>r_0</math> und <math>s_0</math> zu finden, setzt man die Gleichung für <math>E_3</math> in die Gleichungen für <math>E_1</math> und <math>E_2</math> ein und wendet das Distributivgesetz und Assoziativgesetz für Skalarprodukte an. Das führt auf das lineare 2×2 Gleichungssystem

<math>\begin{matrix}
& r \ \vec n_1 \cdot \vec n_1 & + & s\ \vec n_1 \cdot \vec n_2 & = & d_1\\
& r \ \vec n_1 \cdot \vec n_2 & + & s\ \vec n_2 \cdot \vec n_2 & = & d_2
\end{matrix}</math>

in den Unbekannten <math>r</math> und <math>s</math>. Auflösen und Einsetzen der eindeutigen Lösung <math>(r_0,s_0)</math> in die Gleichung für <math>\vec p</math> liefert den Stützvektor. Schließlich werden noch der Richtungsvektor und der Stützvektor zur Parametergleichung verbunden.

==== Beispiel ====
Für die Ebenen aus dem letzten Beispiel erhält man den Richtungsvektor der Schnittgerade als

:<math>\vec u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}</math>.

Für den Stützvektor <math>\vec p</math> erhält man mit <math>\vec n_1 \cdot \vec n_1=6, \ \vec n_2 \cdot \vec n_2 =17, \ \vec n_1\cdot \vec n_2=-2</math> das lineare Gleichungssystem

<math>\begin{matrix}
& 6r & + & -2 s & = & 1\\
& -2 r & + & 17s & = & 2
\end{matrix}</math>

Es hat die eindeutige Lösung <math>r_0=3/14,\ s_0=2/14</math>. Damit erhält man den Stützvektor

:<math>\vec p = \frac{3}{14}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ \frac{2}{14}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix} </math>.
Also ist

:<math>g \colon \ \vec x=\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}</math>

eine (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

== Siehe auch ==
* [[Schnittkurve]]
* [[Schnittpunkt]]
* [[Schnittwinkel (Geometrie)]]
* [[Lagebeziehung]]

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Literatur ==
* Michael Jung: ''Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie''. Springer Spektrum, Wiesbaden 2024, ISBN 978-3-658-03261-6, S. 594–611.
* ''Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr).'' 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 89–90.
* Gerhard Merziger, Thomas Wirth: ''Repetitorium höhere Mathematik''. 6. Auflage. Binomi-Verl, Barsinghausen 2010, ISBN 978-3-923923-34-2, S. 154–155.
* ''Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band III''. 15. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun 1978, ISBN 978-3-87144-041-0, S. 1''88–189.''
* ''Steffen Goebbels, Stefan Ritter:'' Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra. 4. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 533–534.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Schnittgerade - Versionsgeschichte

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