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2026-01-28T14:35:25Z

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Die '''Schnittform''' ist im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Differentialtopologie]] eine wichtige symmetrische [[Ganzzahlige unimodulare Matrix|unimodulare]] [[Bilinearform]] spezieller [[Topologische Mannigfaltigkeit|topologischer]] und [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatter Mannigfaltigkeiten]]. Durch zahlreiche starke Resultate wie etwa das [[Donaldson-Theorem]] oder die Klassifikation von Friedmann ist die Schnittform insbesondere von entscheidender Bedeutung beim Studium von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz [[4-Mannigfaltigkeit]]en).

== Motivation ==

Für einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] lassen sich alle dessen [[Kohomologiegruppe]]n zusammen mit dem [[Cup-Produkt]] zum [[Kohomologiering]] kombinieren, welcher wichtige Informationen enthält. Eine analoge Ringstruktur für [[Homologiegruppe]]n gibt es nicht. Für eine [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]] [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] Mannigfaltigkeit <math>M</math> gilt mit dem [[Universeller Koeffizientensatz|universellen Koeffizientensatz]] und dem [[Hurewicz-Theorem]]:
:<math>H^1(M,\mathbb{Z})
\cong\operatorname{Hom}(H_1(M,\mathbb{Z}),\mathbb{Z})
\cong\operatorname{Hom}(\pi_1^\mathrm{ab}(M),\mathbb{Z})
\cong 1.</math>
Durch [[Poincaré-Dualität]] gilt zudem:
:<math>H^3(M,\mathbb{Z})
\cong H_1(M,\mathbb{Z})
\cong\pi_1^\mathrm{ab}(M)
\cong 1.</math>
Da <math>H^0(M,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}</math> und <math>H^4(M,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}</math> keine genaueren Informationen über die Mannigfaltigkeiten enthalten, steckt sämtliche Information über den Kohomologiering bereits im [[Cup-Produkt]] auf <math>H^2(M,\mathbb{Z})</math>, dessen Rang individuell von der Mannigfaltigkeit abhängt. [[Torsion (Algebra)|Torsionsklassen]] gibt es jedoch keine, also ist die Kohomologiegruppe [[Freie Gruppe|frei]], da erneut mit dem universellen Koeffizientensatz:
:<math>H^2(M,\mathbb{Z})
\cong\operatorname{Hom}(H_2(M,\mathbb{Z}),\mathbb{Z}).</math>
== Definition ==

Für die Schnittform gibt es verschiedene Definitionen durch die Benutzung verschiedener Darstellungen von Kohomologieklassen. Diese sind entweder als [[Singuläre Kohomologie|singuläre Kohomologieklassen]] dargestellt durch Kozykel, [[De-Rham-Kohomologie|de Rham-Kohomologieklassen]] dargestellt durch geschlossene Differentialformen oder eingebettete Teilflächen in vier Dimensionen. Alle ergeben dabei äquivalente Beschreibungen der gleichen Form, wenn die Beschreibung durch Differentialformen von reellen auf ganze Zahlen reduziert wird.

=== Definition als Kronecker-Paarung eines Cup-Produktes ===

Für eine [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]] [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] <math>4n</math>-Mannigfaltigkeit <math>M</math> mit [[Fundamentalklasse]] <math>[M]\in H_{4n}(M,\mathbb{Z})
\cong\mathbb{Z}</math> (wofür die Orientierung benötigt wird) lässt sich die Schnittform mithilfe des [[Cup-Produkt]]es und der [[Kronecker-Paarung]] definieren als:<ref name=":0">Freed & Uhlenbeck 84, S. 19–20</ref>
:<math>
Q_M\colon
H^{2n}(M,\mathbb{Z})\times H^{2n}(M,\mathbb{Z})\rightarrow\mathbb{Z},
(a,b)\mapsto\langle a\smile b,[M]\rangle.
</math>
Da gezeigt werden kann, dass die Schnittform schon bei Verwendung einer Torsionsklasse verschwindet (welche wie oben beschrieben aber im einfach zusammenhängenden Fall sowieso nicht existieren), reduziert sich die Schnittform wohldefiniert auf <math>\mathbb{Z}^{b_{2n}(M)}
\cong H^{2n}(M,\mathbb{Z})/\operatorname{Tor}(H^{2n}(M,\mathbb{Z}))</math> mit der [[Betti-Zahl]] <math>b_{2n}(M)
=\operatorname{rk}H^{2n}(M,\mathbb{Z})</math>. Dadurch kann zudem eine <math>\mathbb{Z}</math>-[[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>\{x_1,\ldots,x_{b_{2n}(M)}\}
\in H^{2n}(M,\mathbb{Z})</math> gewählt werden und die Schnittform als [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>\left(Q_M(x_i,x_j)\right)_{i,j=1}^{b_{2n}(M)}</math> dargestellt werden.

Anhand der obigen Abbildung mit doppelter Verwendung der mittleren Kohomologiegruppe ist klar, dass die Dimension der Mannigfaltigkeit für deren Existenz gerade sein muss. Jedoch muss die mittlere Kohomologiegruppe selbst ebenfalls geraden Grad haben, da der oben definierte Ausdruck andernfalls antisymmetrisch ist und daher auf der Diagonale immer verschwindet.

=== Definition als Integral eines Dachproduktes ===

Für eine geschlossene orientierbare <math>4n</math>-Mannigfaltigkeit <math>M</math> lässt sich die Schnittform mithilfe des [[Dachprodukt]]es und der [[Integration von Differentialformen]] definieren als:<ref name=":0" />
:<math>
Q_M\colon
H_{\mathrm{dR}}^{2n}(M)\times H_{\mathrm{dR}}^{2n}(M)\rightarrow\mathbb{R},
(\alpha,\beta)\mapsto\int_M\alpha\wedge\beta.
</math>
Um zu zeigen, dass dieser Ausdruck wohldefiniert ist, ist der [[Satz von Stokes]] notwendig (wofür die Randlosigkeit aus der Geschlossenheit benötigt wird). Es ist <math>H_{\mathrm{dR}}^{2n}(M)
\cong\mathbb{R}^{b_2(M)}</math> und die Einschränkung auf <math>\mathbb{Z}^{b_{2n}(M)}</math> ergibt genau die zuvor definierte Schnittform, also insbesondere auch die Einschränkung des Bildes von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{Z}</math>.

=== Definition als Schnitt von Flächen ===

Für eine geschlossene orientierbare <math>4n</math>-Mannigfaltigkeit <math>M</math> lässt sich jede mittlere Kohomologieklasse <math>\alpha\in H^2(M,\mathbb{Z})</math> durch eine eingebettete orientierbare Fläche <math>i\colon
A\hookrightarrow M</math> darstellen, nämlich, sodass mit ihrer [[Fundamentalklasse]] <math>[A]\in H^2(A,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}</math> genau <math>\alpha=i^*[A]</math> gilt. Singuläre Kohomologie wird [[Darstellbarer Funktor|dargestellt]] durch [[Eilenberg-MacLane-Raum|Eilenberg-McLane-Räume]] (siehe [[Brownscher Darstellungssatz]]), wodurch <math>\alpha</math> eineindeutig der [[Homotopieklasse]] einer [[Stetige Abbildung|stetigen Abbildung]] <math>a\colon M\rightarrow K(\mathbb{Z},2)\simeq\mathbb{C}P^\infty</math> entspricht. Diese faktorisiert über einen komplexen projektiven Raum <math>a\colon M\rightarrow\mathbb{C}P^n</math> (wofür die Kompaktheit aus der Geschlossenheit benötigt wird) und kann durch Homotopie transversal zu <math>\mathbb{C}P^{n-1}\subset\mathbb{C}P^n</math> gemacht werden. Dadurch wird <math>a^{-1}(\mathbb{C}P^{n-1})\subset M</math> zu einer Fläche mit der obigen Eigenschaft.<ref>Freed & Uhlenbeck 84, Proposition E.9</ref> Ebenfalls durch Homotopie können die Schnitte von zwei Flächen von zwei Kohomologieklassen isoliert und transversal gemacht werden. Nun lässt sich die Schnittform definieren als mit Vorzeichen aus der induzierten Orientierung gewerteten Anzahl der Schnitte, welche invariant unter Homotopie ist:<ref name=":0" />
:<math>
Q_M\colon
H^2(M,\mathbb{Z})\times H^2(M,\mathbb{Z})\rightarrow\mathbb{Z},
(A,B)\mapsto A\cdot B.
</math>

== Eigenschaften ==

* [[Donaldson-Theorem]]: Definite Schnittformen von kompakten orientierbaren 4-Mannigfaltigkeiten sind (über <math>\mathbb{Z}</math>) [[Diagonalisierbare Matrix|diagonalisierbar]].<ref>Freed & Uhlenbeck 84, Theorem 2.25</ref>
* Wu-Formel: Für eine orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeit <math>M</math> gilt:
::<math>
x^2
=w_2(M)\smile x
</math>
: für alle <math>x\in H^2(M,\mathbb{Z}_2)</math>. Insbesondere gilt:
::<math>
Q_M(x,x)\operatorname{mod}2
=Q_M(x\operatorname{mod}2,x\operatorname{mod}2)
=Q_M(w_2(M),x\operatorname{mod}2)
</math>
: für alle <math>x\in H^2(M,\mathbb{Z})</math>. Ist <math>M</math> eine [[Spin-Mannigfaltigkeit]], also genau dann wenn <math>w_2(M)=0</math>, dann ist <math>Q_M</math> gerade.
* Der orientierte Homotopietyp einer einfach zusammenhängenden kompakten orientierbaren 4-Mannigfaltigkeit wird durch deren Schnittform festgelegt.<ref>Donaldson & Kronheimer 90, Theorem 1.2.1</ref>
* Klassifikation von Freedman: Jede unimodulare symmetrische Bilinearform ist die Schnittform einer einfach zusammenhängenden orientierbaren geschlossenen topologischen 4-Mannigfaltigkeit.<ref>Donaldson & Kronheimer 90, Theorem 1.2.3</ref> Ist die Bilinearform gerade gibt es bis auf orientierungserhaltende Homöomorphie nur eine solche 4-Mannigfaltigkeit. Ist die Bilinearform ungerade gibt es bis auf orientierungserhaltende Homöomorphie zwei solcher 4-Mannigfaltigkeit mit unterschiedlicher binärer [[Kirby-Siebenmann-Invariante]]. Maximal eine davon, also eventuell auch keine, besitzt eine kompatible glatte Struktur. Das kommt daher, dass die binäre Kirby-Siebenmann-Invariante angibt, ob das Produkt mit dem Kreis eine kompatible glatte Struktur besitzt. Bei der Mannigfaltigkeit, für die das nicht der Fall ist, kann es also nicht für sich alleine schon der Fall sein. Bei der anderen Mannigfaltigkeit ist es unbekannt. Es ist möglich, dass das Produkt mit dem Kreis eine kompatible glatte Struktur hat, aber die Mannigfaltigkeit selbst nicht.
* Einfach zusammenhängende orientierbare geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeiten sind orientierungserhaltend homöomorph genau dann wenn ihre Schnittformen äquivalent sind. Das folgt direkt aus der vorherigen Klassifikation von Freedman.
* Einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeiten mit isomorphen Schnittformen sind h-kobordant.<ref>Donaldson & Kronheimer 90, Theorem 1.2.5</ref> Wichtig ist dabei, dass der [[h-Kobordismus-Satz]], gemäß dem die Mannigfaltigkeiten dann sogar diffeomorph wären, erst in fünf oder mehr Dimensionen gilt.<ref>Donaldson & Kronheimer 90, Corollary 1.3.8 und Corollary 9.1.6</ref>
* Es gibt keine einfach zusammenhängende orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform <math>2(-E_8)</math>.<ref>Donaldson & Kronheimer 90, Theorem 8.1.1</ref>

== Beispiele ==

* Die Schnittform des zweiten [[Komplexer projektiver Raum|komplexen projektiven Raumes]] <math>\mathbb{C}P^2</math> sowie des durch Orientierungsumkehr entstehenden Raumes <math>\overline{\mathbb{C}P^2}</math> sind jeweils:<ref name=":1">Freed & Uhlenbeck 84, S. 21</ref>
::<math>
Q_{\mathbb{C}P^2}
=(1);
</math>
::<math>
Q_{\overline{\mathbb{C}P^2}}
=(-1).
</math>
* Die Schnittform der komplexen Fläche <math>S^2\times S^2\cong\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1</math> ist:<ref name=":1" />
::<math>
Q_{S^2\times S^2}
=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}.
</math>
* Die Schnittform der [[K3-Fläche]] <math>\mathrm{K3}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{C}P^3|x^4+y^4+z^4+w^4=0\}</math> im dritten [[Komplexer projektiver Raum|komplexen projektiven Raum]] <math>\mathbb{C}P^3</math>, auch [[Twistor-Raum]] genannt, ist:<ref name=":1" />
::<math>
Q_{\mathrm{K3}}
=2(-E_8)\oplus 3\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}.
</math>

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=[[Dan Freed|Daniel Freed]] und [[Karen Uhlenbeck]] |Titel=[[Instantons and Four-Manifolds]] |Auflage= |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=New York |Datum=1984 |Sprache=en |Reihe=Mathematical Sciences Research Institute Publications |BandReihe=1 |ISBN=978-1461397052 |DOI=10.1007/978-1-4613-9703-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Simon K. Donaldson]] und [[Peter B. Kronheimer]] |Titel=[[The Geometry of Four-Manifolds]] |Verlag=[[Oxford University Press]] |Datum=1990 |Sprache=en |ISBN=0-19-853553-8 |DOI=10.1093/oso/9780198535539.001.0001}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Schnittform - Versionsgeschichte

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