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2020-11-06T16:43:18Z

Durch Umstellung und geringfügige Erweiterung das Beispiel verständlicher dargestellt.

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'''Schlupfvariablen''' ([[Englische Sprache|engl.]] ''slack variables''), auch ''Überschussvariablen'' genannt, sind [[Mathematik|mathematische]] [[Variable (Mathematik)|Variable]]n, die für die Lösung eines Problems eingeführt werden, deren Wert aber nicht von Interesse ist. Die zusätzlichen Schlupfvariablen sollen ein Problem auf ein einfacheres Problem zurückführen.

== Anwendungen ==

Bei der [[Lineare Optimierung|linearen Optimierung]] führt man Schlupfvariablen ein,
um Ungleichungsnebenbedingungen in Gleichungsnebenbedingungen umzuwandeln. Dies beruht auf der Idee, dass die Ungleichung <math>x < b </math> erfüllt ist, wenn die Gleichung <math> x = b - \chi </math> für eine beliebige Zahl <math> \chi > 0 </math> gilt.

[[Lagrange-Multiplikator]]en werden eingesetzt, um Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen
in Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen zu überführen.

Bei [[Support Vector Machine]]s bilden Schlupfvariablen sogenannte ''Fehlerterme'', das heißt, sie erlauben Fehlentscheidungen, bestrafen diese aber gleichzeitig.

== Beispiel ==
Betrachte das Ungleichungssystem
:<math>
\begin{align}
2x_1 &+x_2&\leq 6 \\
7x_1 &-3x_2 & \leq 8
\end{align}
</math>
Wir führen die Schlupfvariablen <math> x_1^S, x_2^S \geq 0</math> ein, um die Ungleichungen in Gleichungen umzuwandeln. Dann folgt
:<math>\begin{align}
2x_1 &+x_2&+x_1^S & &= 6 \\
7x_1 &-3x_2 & & +x_2^S&= 8
\end{align}
</math>
Gerade in der linearen Optimierung findet man dafür oftmals die folgende Matrixschreibweise:
:<math>
\begin{pmatrix} 2&1&1&0 \\ 7&-3&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_1^S \\ x_2^S \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}
</math>
Das Einführen der Schlupfvariablen führt dazu, dass hinter der Koeffizientenmatrix <math>
\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}
</math> eine [[Einheitsmatrix]] passender Dimension <math>
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
</math> angefügt wird.

== Literatur ==
* Hochstättler Winfried: Algorithmische Mathematik, Springer Berlin Heidelberg, 2010. ISBN 978-3-642-05421-1, 202–203
* {{Literatur | Autor=[[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]] | Titel=Lineare Algebra | Reihe=Springer-Lehrbuch |TitelErg=Grundlagen und Anwendungen|Auflage= | Verlag=Springer| Ort=Berlin| Jahr=2012| ISBN=978-3-642-32185-6 }}

[[Kategorie:Lineare Optimierung]]

Schlupfvariable - Versionsgeschichte

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