imported>Dexxor: üblichere Definition, siehe Disk warum g ≤ h wichtig ist; Motivation ergänzt

2023-09-08T15:53:47Z

üblichere Definition, siehe Disk warum g ≤ h wichtig ist; Motivation ergänzt

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[[Bild:Schlichtes_Gebiet.jpg|thumb|Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x]]
Ein '''schlichtes Gebiet''', '''Normalbereich''' oder '''Normalgebiet''' ist ein mathematisches Objekt aus der [[Analysis]]. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]].

== Definition ==
Seien <math>g,h \in C([a,b])</math> [[stetige Funktion]]en mit <math>g \le h</math>. Dann heißt
:<math>G=\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2\; | \; a \le x \le b,\; g(x) \le y \le h(x)\rbrace</math>
(mit reellen Zahlen <math>a < b</math>) ein Normalbereich bezüglich der <math>x</math>-Achse.
Analog gilt das im <math>\mathbb{R}^n</math>, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

== Motivation ==
Das Integrieren einer stetigen Funktion <math>f\colon G \to \R</math> über einem Normalgebiet <math>G</math> lässt sich mit dem [[Satz von Fubini]] auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:
:<math>\int_G f(x,y) \,\mathrm d(x,y) = \int_a^b \left(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \,\mathrm dy\right) \mathrm dx</math>

== Fläche ==
Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der [[Integralrechnung]] in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes
<math>G=\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2\; | \; a <x< b,\; g(x) <y < h(x)\rbrace</math>
errechnet sich durch folgendes Integral:
:<math>\int_a^b (h(x)-g(x)) \,\mathrm dx</math>.

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

== Literatur ==
* Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis Teil 2'', Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Schlichtes Gebiet - Versionsgeschichte

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