imported>Wiegels: Apostroph

2024-01-28T12:08:45Z

Apostroph

Neue Seite

Das '''Schlangenlemma''', eine in allen [[abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]] gültige Aussage aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[homologische Algebra|homologischen Algebra]], ist ein Werkzeug zur Konstruktion der dort betrachteten [[Exakte Sequenz|langen exakten Sequenzen]].
Wichtige Anwendungen findet es beispielsweise in der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]].
Die mit dem Schlangenlemma konstruierten [[Homomorphismus|Homomorphismen]] werden üblicherweise als '''Verbindungshomomorphismen''' bezeichnet.

== Aussage ==
In einer abelschen Kategorie (etwa der Kategorie der [[abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] oder der [[Vektorraum|Vektorräume]] über einem gegebenen [[Körper (Algebra)|Körper]]) sei das folgende [[kommutatives Diagramm|kommutative Diagramm]] gegeben:

[[Datei:Snake lemma origin.svg]]

Hierbei seien die Zeilen exakt und <math>0</math> bezeichne das [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekt]].
Dann gibt es eine exakte Sequenz, die die [[Kern (Algebra)|Kerne]] und [[Kokern]]e von <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> in Beziehung setzt:

<math>\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c</math>

Ist außerdem <math>f</math> ein [[Monomorphismus]], so ist das auch der Morphismus <math>\ker a \to \ker b</math>.
Ist <math>g'</math> ein [[Epimorphismus]], so gilt das auch für <math>\operatorname{coker} b \to \operatorname{coker} c</math>.

In der Kategorie der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] gilt das Schlangenlemma dagegen nur unter Zusatzvoraussetzungen an die [[Homomorphismus|Homomorphismen]] <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> (siehe unten).

== Herkunft des Namens ==
Erweitert man das Diagramm um Kerne und Kokerne, so sieht man, wie sich die behauptete exakte Sequenz durch das Diagramm „schlängelt“:

[[Datei:Snake lemma complete.svg]]

== Beweis ==
Für den Beweis nimmt man zunächst an, dass das Diagramm die Kategorie der [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] betrifft.
Dies gestattet es, die Behauptung durch [[Diagrammjagd]] nachzuweisen.
Die Gültigkeit für den Fall einer beliebigen abelschen Kategorie ergibt sich dann aus dem [[Einbettungssatz von Mitchell]].

=== Konstruktion der Homomorphismen ===
Die Homomorphismen zwischen den Kernen bzw. Kokernen werden in natürlicher Weise von den gegebenen horizontalen Homomorphismen über die [[universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaften]] von Kern bzw. Kokern induziert.
Die wesentliche Aussage des Lemmas ist die Existenz des ''Verbindungshomomorphismus'' <math>d</math>, der die Sequenz vervollständigt.

Im Falle der Kategorie abelscher Gruppen oder von Moduln über einem Ring kann man <math>d</math> elementweise durch [[Diagrammjagd]] konstruieren:
Sei <math>x \in \operatorname{ker}\,c</math> gegeben, d. h. ein <math>x\in C</math> mit <math>c(x)=0</math>.
Wegen der [[Surjektivität]] von <math>g</math> gibt es ein <math>y\in B</math> mit <math>g(y)=x</math>.
Wegen <math>g'(b(y))=c(g(y))=0</math> gibt es ein (wegen der Injektivität von <math>f'</math> eindeutiges) <math>z\in A'</math> mit <math>f'(z)=b(y)</math>.
Definiere <math>d(x)</math> als das Bild von <math>z</math> in <math>\operatorname{coker}\, a</math>.

Die Wahl von <math>y\in B</math> war hierbei nicht eindeutig, wegen der Exaktheit bei <math>B</math> hat jedoch jede andere Wahl die Form <math>y+f(w)</math> für geeignetes <math>w\in A</math>. Als Folge wird <math>z</math> durch <math>z+a(w)</math> ersetzt, was dann jedoch
auf denselben Wert für <math>d(x)</math> führt. Somit ist die Abbildung <math>d</math> wohldefiniert.

Hat man zu <math>x_1,x_2 \in \operatorname{ker}(c)</math> jeweils <math>y_1,y_2\in B</math> sowie <math>z_1,z_2 \in A'</math> mit <math>g(y_{1,2})=x_{1,2}</math> und <math>f'(z_{1,2})=b(y_{1,2})</math> gewählt, so kann man zu <math>x_1+x_2</math> offenbar <math>y_1+y_2</math> sowie <math>z_1+z_2</math> wählen: <math>g(y_1+y_2)=x_1+x_2</math>, <math>f'(z_1+z_2)=b(y_1+y_2)</math>. Hieraus ergibt sich <math>d(x_1+x_2)=d(x_1)+d(x_2)</math>.
Ebenso folgt, wenn <math>r</math> ein Ringelement ist, aus <math>g(r\cdot y_1)=r\cdot x_1</math> und <math>f'(r\cdot z_1)=b(r\cdot y_1)</math>, dass <math>d(r\cdot x_1)=r\cdot d(x_1)</math> ist. Somit ist die Abbildung <math>d</math> linear, also ein Homomorphismus.

=== Komplexeigenschaft ===
Dass die Schlangensequenz einen [[Kettenkomplex|Komplex]] bildet, dass also zwei „Pfeile“ hintereinander stets die [[Nullabbildung]] ergeben, folgt rasch:
* Die Abbildung <math>\ker a\to\ker c </math> wird induziert von <math>g\circ f = 0</math>
* Für die Abbildung <math>\ker b\to \operatorname{coker} a</math> sei <math>y\in\ker b</math> und <math> x=g(y)</math>. Dann kann man in der obigen Konstruktion von <math>d(x)</math> ebendieses <math>y</math> wählen, woraus sich <math>b(y)=0</math>, dann <math>z=0</math> und somit <math>d(x)=0</math> ergibt.
* Für die Abbildung <math>\ker c\to \operatorname{coker} b</math> sei <math>x\in\ker c</math>. Mit den Bezeichnungen wie in der Konstruktion oben ergibt sich das Bild in <math>\operatorname{coker} b</math> aus <math>b(y)\in B'</math>. Da dies in <math>\operatorname{Bild} b</math> liegt, ergibt sich 0.
* Die Abbildung <math>\operatorname{coker} a\to \operatorname{coker} c</math> wird induziert von <math>g'\circ f'=0</math>

=== Exaktheit ===
Die Exaktheit der Homomorphismen zwischen den Kernen, zwischen den Kokernen sowie an Anfangs- und Endpunkt des Pfeils ''d'' weist man wiederum durch Diagrammjagd nach:
* Exaktheit bei <math>\ker b</math>: Ist <math>x\in\ker b</math> mit <math>g(x)=0</math>, so immerhin <math>x=f(u)</math> für ein <math> u \in A</math>. Wegen <math>f'(a(u))=b(f(u))=b(x)=0</math> und der Injektivität von <math>f'</math> folgt <math>a(u)=0</math>, also in der Tat wie erforderlich <math>x=f(u)</math> für ein <math>u\in\ker a</math>.
* Exaktheit bei <math>\ker c</math>: Sei <math>x\in\ker c </math> mit <math>d(x)=0</math>. Mit den Bezeichnungen von oben ist dann <math>z=a(u)</math> für ein <math>u\in A</math>. Dann ist <math>b(y) = f'(z)=f'(a(u))=b(f(u))</math>, folglich <math> y = f(u) + v</math> für ein <math>v\in\ker b</math>. Damit wird <math>x=g(y) = g(f(u))+g(v)=g(v)</math>.
* Exaktheit bei <math>\operatorname{coker} a</math>: Ein Element <math>\bar z</math> von <math>\operatorname{coker} a</math> stammt stets von einem <math>z\in A'</math>. Dass es auf <math> 0\in \operatorname{coker} b</math> abgebildet wird, bedeutet, dass <math>f'(z)</math> im Bild von <math>b</math> liegt. Sei <math>y\in B</math> mit <math>b(y)=f'(z)</math> und setze <math>x=g(y)</math>. Dann gilt <math>c(x)=c(g(y))=g'(b(y))=g'(f'(z))=0</math>. Somit ist <math>x\in\ker c</math> und es wird nach Konstruktion auf das gegebene <math>\bar z</math> abgebildet.
* Exaktheit bei <math>\operatorname{coker} b</math>: Ist <math>\bar x \in \operatorname{coker} b</math> das Bild von <math>x\in B'</math> und wird <math>\bar x</math> auf die Null in <math>\operatorname{coker} c</math> abgebildet, so gilt <math>g'(x)=c(y)</math> für ein <math>y\in C</math>. Wegen der Surjektivität von <math>g</math> gibt es ein <math>z\in B</math> mit <math>g(z)=y</math>. Dann <math>g'(b(z)) = c(g(z)) = c(y)=g'(x)</math>, also <math>x = b(z) + f'(u)</math> für ein <math>u\in A'</math>. Beim Übergang zu den Kokernen fällt <math>b(z)</math> weg, also ist <math>\bar x</math> das Bild von <math>\bar u\in\operatorname{coker} a</math>.
Die letzten drei Punkte nutzen aus, dass die vertikalen Sequenzen exakt sind.

=== Natürlichkeit ===

Für Anwendungen des Schlangenlemmas ist es häufig nötig, dass die langen exakten Sequenzen „natürlich“ sind (im Sinne einer [[natürliche Transformation|natürlichen Transformation]]).
Dies ergibt sich dann aus der Natürlichkeit der vom Schlangenlemma gelieferten Sequenz.

Ist

[[Datei:Snake lemma nat.png]]

ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen, so kann man das Schlangenlemma einmal auf den "vorderen" Teil anwenden und einmal auf den "hinteren".
Die beiden sich ergebenden exakten Sequenzen stehen miteinander über ein Diagramm der Form

[[Datei:Snake lemma nat2.svg]]

in Beziehung.

Man kann dies auch durch Anwendung des Schlangenlemmas auf die Kategorie der Morphismen zwischen Objekten der ursprünglichen Kategorie erkennen.

== Kategorie der Gruppen ==
Da eine Reihe von Sätzen der homologischen Algebra nicht nur für abelsche Kategorien, sondern auch für die Kategorie der Gruppen Gültigkeit haben, sei darauf hingewiesen, dass dies für das Schlangenlemma nicht der Fall ist. In der Kategorie der Gruppen existieren die Kokerne nicht unbedingt, jedoch können diese durch die Nebenklassen <math>A'/\operatorname{im} a</math>, <math>B'/\operatorname{im} b</math>, und <math>C'/\operatorname{im} c</math> ersetzt werden. Zwar findet man auch hier einen natürlichen Verbindungshomomorphismus ''d'', jedoch ist die lange Folge lediglich ein [[Kettenkomplex]] und nicht notwendigerweise exakt.
Nur wenn die vertikalen Sequenzen exakt sind, d. h. die Bilder unter ''a'', ''b'' und ''c'' jeweils [[Normalteiler]] in ''A'<nowiki/>'', ''B'<nowiki/>'' bzw. ''C'<nowiki/>'' sind, d. h. die Kokerne existieren, funktioniert der Beweis der Exaktheit auch für Gruppen.

Die [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfache]] [[alternierende Gruppe]] <math>A_5</math> enthält eine zur [[symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_3</math> isomorphe Untergruppe, in der wiederum die [[zyklische Gruppe]] <math>C_3</math> ein [[Normalteiler]] ist.
Hieraus erhält man ein kommutatives Diagramm
:<math>\begin{matrix} & 0 & \to & C_3 & \to & C_3 & \to 0\\
& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 \to & 0 & \to & S_3 & \to & A_5
\end{matrix}
</math>
mit exakten Zeilen.

Da <math>A_5</math> einfach ist, ist der Kokern der rechten Abbildung trivial, während <math>S_3/C_3</math> isomorph zu <math>C_2</math> ist.
Die lange Sequenz hat daher die Form
:<math>0 \longrightarrow 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow C_2 \longrightarrow 0</math>
und ist folglich nicht exakt.

== Wissenswertes ==
* In dem Film ''[[It’s My Turn (Film)|It’s My Turn]]'' ([[1980]]) beweist [[Jill Clayburgh]] das Schlangenlemma.
* [[Charles Weibel|Charles A. Weibel]] verzichtet in seinem Buch "An Introduction to Homological Algebra" (Cambridge U. Press, 1994) auf einen Beweis mit dem Hinweis auf ''It’s My Turn''.
* Ganz am Anfang des Filmes ''[[Die Reifeprüfung]]'' ([[1967]]) sieht man die Aussage des Schlangenlemmas auf einer Tafel hinter [[Dustin Hoffman]].

== Literatur ==
* [[Michael Francis Atiyah|M. F. Atiyah]], [[Ian Macdonald|I. G. Macdonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra''. Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
* [[Peter Hilton]], [[Urs Stammbach]]: ''A course in homological algebra.'' 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6.

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Schlangenlemma - Versionsgeschichte

imported>Wiegels: Apostroph