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2025-08-05T19:13:46Z

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'''Schiefpolynome''' sind eine Klasse von [[Mathematik|mathematischen]] Objekten. Sie sind eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen [[Polynom]]e mit einer im Allgemeinen nicht [[Kommutativgesetz|kommutativen]] [[Multiplikation]]. Schiefpolynome werden zur [[Algebra|algebraischen]] Modellierung von [[Differentialgleichung]]en und [[Differenzengleichung]]en eingesetzt.

== Geschichte ==

Schiefpolynome wurden erstmals von dem norwegischen Mathematiker [[Øystein Ore]] betrachtet, der sich vor allem mit Fragen ihrer [[Faktorisierung]] beschäftigt hat.<ref>[[Øystein Ore|Öystein Ore]] [sic]: ''Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Erster Teil).'' In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' Bd. 167, 1932, S. 221–234, {{doi|10.1515/crll.1932.167.221}}.</ref> Aus diesem Grund werden sie von einigen Autoren auch als '''Ore-Polynome''' bezeichnet.

== Definitionen und Sätze ==

=== Definition ===

Für einen [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> und einen [[Endomorphismus]] <math>\sigma</math> von <math>R</math> ist eine <math>\sigma</math>-[[Derivation (Mathematik)|Derivation]] <math>\theta</math> definiert als eine Abbildung von <math>R</math> in sich selbst mit den Eigenschaften
:<math>\theta(a+b) = \theta(a) + \theta(b) \quad\text{und}\quad \theta(a\cdot b) = \sigma(a)\cdot\theta(b) + \theta(a)\cdot b</math>
für alle <math>a,b \in R</math>. Ein Beispiel hierfür sind die unendlich oft [[Differenzierbarkeit|differenzierbaren]] Funktionen
<math>C^\infty(\mathbb{R})</math> auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] mit der [[Identische Abbildung|Identität]] als Endomorphismus und der gewöhnlichen [[Differentialrechnung|Ableitung]] <math>d/dx</math>.

Der Ring der Schiefpolynome <math>R[\partial;\sigma,\theta]</math> in der [[Variable (Logik)|Unbekannten]] <math>\partial</math> ist die Menge der formalen Ausdrücke
:<math>p = a_n \partial^n + a_{n-1} \partial^{n-1} + \cdots + a_1 \partial + a_0,</math>
mit '''Koeffizienten''' in <math>R</math>. Ist <math>a_n \neq 0</math>, so ist <math>n</math> der '''Grad''' von <math>p</math> <math>(\operatorname{grad} p)</math>, welcher auch als '''Ordnung''' bezeichnet wird.

Die Addition wird wie bei normalen [[Polynom]]en gehandhabt. Die Multiplikation wird durch die Gleichung
:<math>\partial \cdot a = \sigma(a) \cdot \partial + \theta(a)</math>
festgelegt. Indem man verlangt, dass [[Assoziativgesetz]] und [[Distributivgesetz]] gelten sollen, kann man so beliebige Schiefpolynome miteinander multiplizieren.

Diese Multiplikation simuliert das [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderschalten]] von Differentialoperatoren. Bezeichnen wir im obigen Beispiel für <math>f \in C^\infty(\mathbb{R})</math> die Multiplikation von Links mit <math>f</math> auch einfach wieder mit <math>f</math>, so gilt für ein beliebiges <math>g \in C^\infty(\mathbb{R})</math>
:<math>\left({\frac{d}{dx}} \circ f\right) (g) = \frac{d}{dx} (f \cdot g) = \frac{df}{dx} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dx} = \left(\frac{df}{dx} + f \circ \frac{d}{dx}\right)(g),</math>
wobei <math>\tfrac{df}{dx}</math> entsprechend die Multiplikation mit der Ableitung von <math>f</math> bezeichnet.

Eine formale Definition (und einen Existenzbeweis) für Schiefpolynome gewinnt man mit Hilfe des Ringes der Gruppenendomorphismen des <math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Moduls]]
:<math>R^{(\mathbb{N})} = \left\{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \mid a_n = 0 \text{ für fast alle } n \in \mathbb{N} \right\}.</math>
Nun bettet man <math>R</math> ähnlich wie im Beispiel mittels des [[Monomorphismus]] <math>R \ni a \mapsto (x \mapsto a\cdot x) \in \mathrm{End}(R^{(\mathbb{N})})</math> in den Ring der Gruppenmorphismen <math>\mathrm{End}(R^{(\mathbb{N})})</math> ein. Der Schiefpolynomring entspricht dann dem von <math>R</math> und dem Endomorphismus
:<math>\delta = (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \mapsto \bigl(\,\sigma(a_n) + \theta(a_{n-1})\,\bigr)_{n\in\mathbb{N}} \quad(\text{wobei } a_{-1} := 0)</math>
erzeugten Unterring von <math>\mathrm{End}(R^{(\mathbb{N})})</math>. Genauere Erläuterungen hierzu finden sich in Kapitel 0.10 in <ref>[[Paul Cohn (Mathematiker)|Paul M. Cohn]]: ''Free Rings and their relations'' (= ''London Mathematical Society Monographs.'' 19). 2nd edition. London Academic Press, London u. a. 1985, ISBN 0-12-179152-1.</ref>.

=== Beispiele ===

* Gewöhnliche [[Polynom]]e erhält man durch <math>\sigma = \mathrm{id}</math> ([[Identische Abbildung|Identität]]) und <math>\theta=0</math>.
* Bei <math>\sigma = \mathrm{id}</math> spricht man von '''Differentialoperatoren'''. Zum Beispiel sind <math>C^\infty[\partial; \mathrm{id}, d/dx]</math> die Differentialoperatoren mit unendlich oft differenzierbaren Koeffizienten.
* Der Ring der '''Schiebeoperatoren''' <math>(\mathbb{Z}[t])[\partial; \sigma, 0]</math> mit <math>\sigma(f(t)) = f(t+1)</math> über Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten

=== Eigenschaften ===

Wenn <math>R</math> nullteilerfrei ist und <math>\sigma</math> [[Injektivität|injektiv]], dann gilt
:<math>\operatorname{grad}(ab) = \operatorname{grad} a + \operatorname{grad} b</math>
für alle <math>a,b \in R[\partial;\sigma,\theta]</math>. Insbesondere ist <math>R[\partial;\sigma,\theta]</math> also ebenfalls nullteilerfrei.

Sind der Grundring <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]] und <math>\sigma</math> ein [[Automorphismus]], so lassen sich links- und rechtsseitige [[Division mit Rest]] definieren. Damit lassen sich dann größte gemeinsame Rechtsteiler und größte gemeinsame Linksteiler mittels einer Variante des [[Euklidischer Algorithmus|Euklidischen Algorithmus]] berechnen.<ref>Manuel Bronstein, Marko Petkovšek: ''An introduction to pseudo-linear algebra.'' In: ''Theoretical Computer Science.'' Bd. 157, Nr. 1, 1996, S. 3–33, {{doi|10.1016/0304-3975(95)00173-5}}.</ref>

== Weblinks ==
* [http://citeseer.ist.psu.edu/bronstein96introduction.html An introduction to pseudo-linear algebra]
* [http://www.ccas.ru/sabramov/ps/Oretools.ps OreTools] (Schiefpolynome in [[Maple (Software)|Maple]])

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Polynom]]

Schiefpolynom - Versionsgeschichte

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