imported>Rigormath: Transponieren mit aufrechtem T statt kursivem T; analog ^H. Siehe Tabelle 15 Matrices in ISO 80000-2, frei zugänglich unter https://fr.wikipedia.org/wiki/ISO/CEI_80000-2#Lien_externe [archive].

2025-04-25T13:53:14Z

Transponieren mit aufrechtem T statt kursivem T; analog ^H. Siehe Tabelle 15 Matrices in ISO 80000-2, frei zugänglich unter https://fr.wikipedia.org/wiki/ISO/CEI_80000-2#Lien_externe [archive].

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Eine '''schiefhermitesche Matrix''' oder '''antihermitesche Matrix''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Diese spezielle Art [[Quadratische Matrix|quadratischer Matrizen]] mit komplexen Koeffizienten wird bei einer Spiegelung der [[Koeffizient]]en an der [[Hauptdiagonale]]n in ihre [[adjungierte Matrix]] bezüglich des komplexen [[Standardskalarprodukt]]es überführt. Benannt sind diese Matrizen nach dem Mathematiker [[Charles Hermite]].

== Definition ==
Eine quadratische Matrix <math>B \in \Complex^{n \times n}</math> heißt schiefhermitesch, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist,<ref>Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: ''Lineare Algebra.'' de Gruyter, 2003, S. 182.</ref> das bedeutet
:<math>B = -B^\mathsf{H} = -{\overline B}^\mathsf{T}</math>.
Für die Einträge einer schiefhermiteschen Matrix gilt also
:<math>b_{jk} = -\overline{b_{kj}}</math>.

== Beispiele ==

* Die Matrix
::<math>
\begin{pmatrix}3i&2+i\\
-2+i&i\end{pmatrix}</math>
:mit <math>i^2=-1</math> als der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] ist schiefhermitesch.
* Die <math>2\times 2</math>-Matrizen
::<math>
\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \mapsto \mathrm i,\quad
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \mapsto \mathrm j,\quad
\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}\mapsto \mathrm k,</math>
:die sich wie angezeigt auf die [[Quaternion|quaternionischen]] Erzeugenden abbilden lassen, sind schiefhermitesch und [[Spur (Mathematik)|spurfrei]].

== Eigenschaften ==
* Die Hauptdiagonalelemente sind rein imaginär.
* Der Realteil ist [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrisch]], der Imaginärteil ist [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]].
* Ist <math>B</math> schiefhermitesch, dann ist <math>iB</math> [[Hermitesche Matrix|hermitesch]].
* Die [[Eigenwert]]e schiefhermitescher Matrizen sind rein [[Komplexe Zahl|imaginär]], die [[Eigenvektor]]en bilden ein [[Orthonormalsystem]] für die [[Hermitesche Sesquilinearform#Hermitesche Standardform|hermitesche Standardform]].
* Schiefhermitesche Matrizen lassen sich immer [[Diagonalmatrix|diagonalisieren]].
* Im [[Reelle Zahl|Reellen]] fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen. Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit <math>(2\times 2)</math>-Blöcken
::<math>\begin{pmatrix}0&r\\-r&0\end{pmatrix}\ ,\ r\in\mathbb{R}</math>.
* Ist <math>B</math> schiefhermitesch, dann ist <math>B^k</math> hermitesch bei geradem <math>k</math> und schiefhermitesch bei ungeradem <math>k</math>.
* Ist <math>B</math> schiefhermitesch, dann ist <math>e^B</math> [[Unitäre Matrix|unitär]].
* Eine beliebige quadratische Matrix <math>C</math> kann eindeutig als die Summe einer [[Hermitesche Matrix|hermiteschen Matrix]] <math>A</math> und einer schiefhermiteschen Matrix <math>B</math> geschrieben werden:
::<math>C = A+B</math>
:mit <math>A=(C+C^\mathsf{H})/2</math> und <math>B=(C-C^\mathsf{H})/2</math>.

== Die Lie-Algebra der schiefhermiteschen Matrizen ==

Der [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] schiefhermitescher Matrizen ist wieder schiefhermitesch. Die schiefhermiteschen <math>(n\times n)</math>-Matrizen bilden also eine [[Lie-Algebra]], diese wird mit <math>\mathfrak u(n)</math> bezeichnet.

:<math>\mathfrak u(n)=\left\{X\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb C) \colon X+{\overline X}^\mathsf{T}=0\right\}</math>
ist die Lie-Algebra der [[Lie-Gruppe]] der unitären Matrizen
:<math>U(n)=\left\{A\in \mathrm{GL}(n,\mathbb C) \colon A{\overline A}^\mathsf{T}=E_n\right\}</math>.

== Literatur ==
* [[Hans-Joachim Kowalsky]], [[Gerhard O. Michler]]: ''Lineare Algebra.'' de Gruyter, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-11-017963-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]

Schiefhermitesche Matrix - Versionsgeschichte

imported>Rigormath: Transponieren mit aufrechtem T statt kursivem T; analog ^H. Siehe Tabelle 15 Matrices in ISO 80000-2, frei zugänglich unter https://fr.wikipedia.org/wiki/ISO/CEI_80000-2#Lien_externe [archive].