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2023-05-29T13:15:10Z

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Ein '''Schergesetz''' gibt in den [[Materialwissenschaften]] an, wie sich ein [[Werkstoff|Material]] unter dem Einfluss von [[Scherkraft|Scherkräften]] verhält.

Schergesetze werden in technischen Gebieten wie [[Maschinenbau]] und [[Bauwesen]] verwendet, um die maximale Belastbarkeit einer Konstruktion abzuschätzen. In der [[Geotechnik]] dienen sie zur Bestimmung der maximalen [[Tragfähigkeit (Technik)#Bauwesen|Tragfähigkeit]] des Bodens und zur Vorhersage von [[Setzung (Bauwesen)|Setzung]]en.

== Schergesetz von Charles Augustin de Coulomb ==
[[Bild:BW-SG-Coulomb.png|mini|hochkant=1.2| Schergesetz von Coulomb. Bei Scherspannungen oberhalb der blauen Linie kommt es zu bleibenden Verformungen.]]
Bei der [[Scherung (Mechanik)|Scherung]] eines Körpers treten [[Spannung (Mechanik)|Spannung]]en sowohl in Richtung der Scherung als auch senkrecht dazu auf. Eine Spannung senkrecht zur Scherung wirkt hemmend auf die Scherung. Je größer sie ausfällt, desto größer kann die Scherspannung <math>\tau</math> werden, bevor eine dauerhafte [[Verformung]] eintritt. Dies ist ähnlich wie bei der [[Reibung]], die in der Lage ist, einen Körper auf einer [[Schiefe Ebene|schiefen Ebene]] an der Bewegung zu hindern.

Zusätzlich kann zwischen Körnern oder [[Molekül]]en des Körpers eine Haltekraft wirken, die überwunden werden muss, bevor ein Teil des Körpers abschert. Die durch diese Kräfte bewirkte Spannung wird [[Kohäsion (Bodenmechanik)|Kohäsion]] genannt.

Die Spannung <math>\tau_\text{scher}</math>, oberhalb der eine dauerhafte Verformung eintritt, heißt [[Scherfestigkeit]]. Sie kann für alle [[Boden (Bodenkunde)|Böden]] und [[Fels]]en sowie für andere natürliche Stoffe (Schütt- und Lagerstoffe mit fester Konsistenz) und für [[Metalle]] mit dem Schergesetz von [[Charles Augustin de Coulomb|Coulomb]] bestimmt werden:
:<math>\tau_\text{scher} = \sigma \cdot \tan \varphi + c</math>
mit
* der senkrecht zur Scherung wirkenden Normalspannung <math>\sigma</math>, die [[Proportionalität|proportional]] ist zum [[Druck (Physik)|Druck]] an der betrachteten Stelle im Körper
* den vom Material abhängigen [[Scherparameter]]n
** [[Kohäsion (Bodenmechanik)|Kohäsion]] ''c''
** innerer [[Reibungswinkel]] ''φ''.

== Mohr-Coulombsches Bruchkriterium ==
[[Bild:MohrCoulBruchkrit.svg|Mohr-coulombsches Bruchkriterium|mini]]

Das Mohr-Coulombsche [[Bruchkriterium]] besagt, dass ein Bruch des [[Festkörper]]s (Boden, Fels usw.) dann eintritt, wenn die Schubspannungen aus der äußeren [[Belastung (Physik)|Belastung]] größer werden als die Scherfestigkeit, die definiert ist durch die o. g. Gleichung der „Bruchgeraden“ oder Coulombschen Schergeraden. Die Gerade lässt sich im [[Mohrscher Spannungskreis|Mohrschen Diagramm]] darstellen;

dort bedeutet das Bruchkriterium, dass
* der Mohrsche Spannungskreis jedes Bodenteilchens ''unter'' der Bruchgeraden liegen muss, damit ''kein'' Bruch eintritt: <math>\tau < \tau_\text{bruch}</math>
* berührt er sie, ist der Grenzzustand gerade erreicht.
* Spannungskreise, die ''über'' der Schergeraden liegen, kann es nicht geben, denn der Boden würde ausweichen. Stattdessen schert die Bodenprobe (z. B. in einem Prüfgerät wie einem [[Triaxialgerät]]) entlang einer Bruchfläche ab, d. h. sie bricht für <math>\tau > \tau_\text{bruch}</math>.

=== Druckfestigkeit ===
Aus dem Mohrschen Spannungskreis lässt sich auch die [[Druckfestigkeit]] eines Materials als Funktion der Scherparameter ''c'' und ''φ'' ableiten. Der Mohrsche Kreis wird für den Bruchzustand des Materials gezeichnet. Nach dem Mohr-Coulombschen Bruchkriterium beschreiben die [[Tangente]] an den Kreis (Bruchgerade) unter dem Winkel ''φ'' zur Horizontalen und ihr Schnittpunkt mit der vertikalen Koordinatenachse mit dem Abstand ''c'' zum Nullpunkt den Bruchzustand. Die größte aufnehmbare [[Druckspannung]] <math>\sigma_{d}</math> ist dann der rechts liegende Schnittpunkt des Kreises mit der horizontalen Koordinatenachse.

In Formeln ausgedrückt gilt für die zweiaxiale Druckfestigkeit:

:<math>\sigma_\mathrm{d} = \frac{1 + \sin \varphi}{1 - \sin \varphi} \cdot \sigma_{3} + c \cdot \frac{2 \cdot \cos \varphi}{1 - \sin \varphi}</math>

und für den Sonderfall <math>\sigma_{3} = 0</math> (einaxiale Druckfestigkeit):

:<math>\sigma_\mathrm{d} = c \cdot \frac{2 \cdot \cos \varphi}{1 - \sin \varphi}</math>

== Anwendung auf Böden mit Porenwasser ==
Eine Besonderheit bei körnigen Medien wie Boden ist das [[Porenwasser]].

Drückt man auf einen trockenen Boden, so werden hauptsächlich die [[Pore]]n zusammengedrückt. Die einzelnen Körner rücken damit näher zusammen und übernehmen den [[Druck (Physik)|Druck]]. Sind nun die Poren mit Wasser gefüllt, so ist die Situation etwas komplizierter. Das Wasser ist [[Inkompressibles Fluid|inkompressibel]] und nimmt zuerst die äußere [[Belastung (Physik)|Belastung]] als Porenwasserdruck auf. Da seitlich der Last ein geringerer [[Porendruck]] herrscht, fließt das Wasser zum niedrigen Druck ab, die Poren können sich deformieren (verringern), und die Belastung kann auf die Körner des Bodens abgeleitet werden. Diesen Vorgang nennt man [[Konsolidation (Bodenmechanik)|Konsolidation]] des Bodens. Der Porenwasserdruck, der durch die Belastung entsteht, nennt man [[Porenwasserüberdruck]]. Dieser wird bei der Konsolidierung abgebaut.

Bei einem wassergesättigten Boden werden die Gewichtskräfte von Korn zu Korn übertragen. Diese Übertragung erfolgt nach dem Stoffgesetz von Coulomb. Wird nun ein wassergesättigter Boden durch eine Zusatzlast belastet, so entsteht dadurch die ein Porenwasserüberdruck. Das Korngerüst spürt vorerst nichts von dieser Zusatzbelastung, da das Wasser den Druck aufnimmt. So ist die Korn-zu-Korn-Spannung im ersten Moment gleich groß wie ohne Zusatzbelastung.

Erst mit der Zeit, wenn das Porenwasser abrinnt, werden die Korn-zu-Korn-Spannungen sich vergrößern, bis die Zusatzspannung voll von der Korn-zu-Korn-Spannung aufgenommen wird. Dies muss auch beim Schergesetz berücksichtigt werden. Das Schergesetz von Coulomb gilt aber nur für Korn-zu-Korn-Spannungen. Für die Berechnung der Korn-zu-Korn-Spannung <math>\sigma'</math> muss nach dem Gesetz von Terzaghi der Porenwasserüberdruck <math>u</math> noch von der Gesamtspannung <math>\sigma</math> abgezogen werden:

:<math>\sigma' = \sigma - u</math>

damit kommt man zum erweiterten Stoffgesetz von Coulomb:

:<math>\begin{align}
& \tau = c + \sigma' \cdot \tan \varphi\\
\Leftrightarrow \quad & \tau = c + (\sigma-u) \cdot \tan \varphi
\end{align}</math>.

== Literatur ==
* [[Bernhard Wietek]]: ''Grundbau – Einführung in Theorie und Praxis.'' 4. Auflage; Manz-Verlag, Wien 2004, ISBN 978-3706812061
* Bernhard Wietek: ''Stahlfaserbeton.'' 2. Auflage; Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3834805928
* [[Achim Hettler]], [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Erddruck''. Ernst & Sohn, Berlin 2019, S. 66ff, ISBN 978-3-433-03274-9
[[Kategorie:Scherfestigkeit]]

Schergesetz - Versionsgeschichte

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