imported>Mathewally: Der der Begriff "(unendliche) Linearkombination" und der Link dazu wurden entfernt, da Linearkombinationen immer endliche Summen sind (oder nur endlich viele nicht-Null-Summanden enthalten, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination#Linearkombinationen_beliebig_vieler_Vektoren ). Andernfalls ist die Exponentialfunktion eine Linearkombination der Monome im Raum der beschränkten Funktionen auf [0,1] mit der sup-Norm. Das kann man nicht wollen.

2021-04-29T15:24:57Z

Der der Begriff "(unendliche) Linearkombination" und der Link dazu wurden entfernt, da Linearkombinationen immer endliche Summen sind (oder nur endlich viele nicht-Null-Summanden enthalten, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination#Linearkombinationen_beliebig_vieler_Vektoren ). Andernfalls ist die Exponentialfunktion eine Linearkombination der Monome im Raum der beschränkten Funktionen auf [0,1] mit der sup-Norm. Das kann man nicht wollen.

Neue Seite

In der [[Funktionalanalysis]] wird eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(b_n)_{n\in \N}</math> eines [[Banachraum]]s als '''Schauderbasis''' bezeichnet, falls jeder Vektor bezüglich ihr eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe <math> \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}</math> hat. Sie ist zu unterscheiden von der [[Hamelbasis]], von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als ''endliche'' Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt.

Benannt sind die Schauderbasen nach dem polnischen Mathematiker [[Juliusz Schauder]] (1899–1943), der sie 1927 beschrieb.

== Definition ==
Sei <math>(X, \left\|\cdot\right\|)</math> ein Banachraum über dem Grundkörper <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>. Eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> in <math>X</math> heißt '''Schauderbasis''', falls jedes <math>x \in X</math> eindeutig als konvergente Reihe <math>\textstyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n \cdot b_n, \; \xi_n \in \mathbb{K}</math>, dargestellt werden kann.

== Beispiele ==
* Im [[Folgenraum]] <math>\textstyle \ell^p := \left\{ (x_j)_{j=1}^\infty, x_j \in \mathbb{R} \,:\, \sum_{j=1}^\infty |x_j|^p < \infty \right\}</math> mit der [[Norm (Mathematik)#ℓp-Normen|''ℓp''-Norm]] <math>\textstyle \left\| x \right\|_{\ell^p} = \sqrt[p]{\sum_{j=1}^\infty |x_j|^p} </math> bilden für <math>1 \leq p < \infty</math> die Einheitsvektoren <math>(1, 0, 0, \dotsc), (0,1,0,0, \dotsc), \dotsc</math> eine Schauderbasis.

* Setze <math>h_1(x)=1</math> für alle <math>x\in [0,1]</math>, und für <math>1\le i\le 2^n</math>, <math>n \in \mathbb{N}_0</math> definiere <math>h_{2^n+i}\colon[0,1]\rightarrow \R</math> durch
:: <math style="margin-left:2em">h_{2^n+i}(x)=\begin{cases}1,&(2i-2)/2^{n+1} \le x < (2i-1)/2^{n+1},\\-1,&(2i-1)/2^{n+1} \le x < 2i/2^{n+1},\\0&\mbox{sonst}.\end{cases}</math> 
: Bis auf einen konstanten Faktor ist jedes <math>h_k</math> eine auf <math>[0,1)</math> eingeschränkte [[Haar-Wavelet]]-Funktion. Die Folge <math>(h_k)_{k\in\mathbb{N}}</math>, die man nach [[Alfréd Haar]] auch das ''Haar-System'' nennt, ist eine Schauderbasis für den Raum [[Lp-Raum|''Lp''([0,1])]] für <math>1\le p < \infty</math>.

* Zur Konstruktion einer Schauderbasis des [[Funktionenraum|Raums]] <math>C([0,1])</math> sei <math>(q_n)_{n\in \N}</math> eine dichte Folge in <math>[0,1]</math> ohne Wiederholungen und es sei <math>q_1=0, q_2=1</math>. Man nehme dazu zum Beispiel eine bijektive [[Abzählbare Menge|Abzählung]] der rationalen Punkte des Einheitsintervalls oder eine Folge der Art <math>0, 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{5}{8}, \tfrac{7}{8}, \ldots, \tfrac{2k+1}{2^n}, \ldots</math> und so weiter mittels fortgesetzter Halbierung der bisher von der gebildeten Folge gelassenen Lücken.

: Für jedes <math>n\in \N</math> sei <math>e_n\in C([0,1])</math> definiert durch <math>e_1</math> = konstant 1 und für alle weiteren <math>n>1</math> sei <math>e_n(q_n)=1</math>, <math>e_n(q_k)=0</math> für alle <math>k=1,\ldots,n-1</math> und <math>e_n</math> sei affin-linear auf <math>[0,1]\setminus\{q_1,\ldots, q_n\}</math>. Dann ist die Folge <math>(e_n)_{n\in \N}</math> eine Schauderbasis von ''C''([0,1]).<ref>F. Albiac, N.J. Kalton: ''Topics in Banach Space Theory'': Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 9f</ref> Die Idee zur Konstruktion dieser Schauderbasis geht auf [[Juliusz Schauder]] zurück und man nennt eine solche Basis daher auch ''die'' Schauderbasis.

== Eigenschaften ==
=== Allgemeine Eigenschaften ===
* Ein Banachraum mit Schauderbasis ist [[Separabler Raum|separabel]], denn die Menge der endlichen [[Linearkombination]]en mit Koeffizienten aus <math>\Q</math> bzw. <math>\Q + i\Q</math> ist eine dichte, abzählbare Menge.
* Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.<ref>[[Per Enflo]]: ''A counterexample to the approximation problem in Banach spaces.'' Acta Mathematica, Band 130, Nr. 1, Juli 1973, S. 309–317</ref>
* Banachräume mit Schauderbasis haben die [[Approximationseigenschaft]].
* In unendlichdimensionalen Banachräumen ist eine Schauderbasis nie [[Hamelbasis]] des Vektorraums, da eine solche in unendlichdimensionalen Banachräumen stets [[überabzählbar]] sein muss (siehe [[Satz von Baire]]).

=== Koeffizientenfunktionale ===
Die Darstellung eines Elements <math>x \in X</math> bezüglich einer Schauderbasis ist nach Definition eindeutig. Die Zuordnungen <math>b_n^\ast \colon x \mapsto \xi_n</math> werden als ''Koeffizientenfunktionale'' bezeichnet; sie sind linear und stetig und daher Elemente des [[Dualraum]]s von <math>X</math>.

=== Eigenschaften der Basis ===
Schauderbasen können weitergehende Eigenschaften haben. Die Existenz von Schauderbasen mit solchen Eigenschaften hat dann weitere Konsequenzen für den Banachraum.

Ist <math>(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Schauderbasis des Banachraums <math>X</math>, so gibt es eine Konstante <math>K>0</math>, so dass für <math>p<q</math> und jede Wahl von Skalaren <math>\xi_n\in {\mathbb K}</math> die Ungleichung
<math>\textstyle \left\|\sum_{n=1}^p \xi_nb_n\right\| \, \le \, K\cdot \left\|\sum_{n=1}^q \xi_nb_n\right\|</math>
gilt. Das Infimum über die <math>K>0</math>, die zu vorgegebener Basis diese Ungleichung erfüllen, nennt man die ''Basiskonstante''. Man spricht von einer ''monotonen Basis'', wenn die Basiskonstante gleich 1 ist.

Man nennt eine Basis <math>(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> ''beschränkt vollständig'' (englisch: boundedly complete), wenn es zu jeder Folge <math>(\xi_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Skalaren mit <math>\textstyle \sup_{m \in \N}\left\| \sum_{n=1}^m \xi_nb_n\right\|<\infty</math> ein <math>x\in X</math> gibt mit <math>\textstyle x = \sum_{n=1}^\infty \xi_nb_n </math>.

Weiter sei <math>X_n\subset X</math> der von <math>(b_j)_{j\ge n}</math> erzeugte [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Untervektorraum]], und für <math>f\in X\,'</math> sei <math>\|f|_{X_n}\|</math> die Norm des eingeschränkten Funktionals <math>f|_{X_n} \in X_n'</math>. Die Basis heißt ''schrumpfend'' (englisch: shrinking), wenn <math>\lim_{n\to\infty}\|f|_{X_n}\| = 0</math> für alle <math>f\in X\,'</math>.

Schließlich spricht man von einer ''unbedingten'' Basis (englisch: unconditional), wenn alle Reihen <math>\textstyle x=\sum_{n=1}^\infty \xi_nb_n</math> in den Entwicklungen bezüglich der Basis [[Unbedingte Konvergenz|unbedingt konvergieren]]. Die Standard-Basen der <math>\ell^p</math>-Räume sind offenbar unbedingt. Der Raum <math>C([0,1])</math> hat keine unbedingte Basis. Mittels der [[Eigenschaft (u) von Pelczynski]] kann man sogar zeigen, dass er nicht einmal Unterraum eines Banachraums mit unbedingter Basis ist.
Weiter kann man zeigen, dass das Haar-System in <math>L^p([0,1])</math> für <math>1<p<\infty</math> eine unbedingte Basis ist, nicht aber für <math>p=1</math>. Der Raum <math>L^1([0,1])</math> besitzt keine unbedingte Basis.

=== Zwei Sätze von R. C. James ===
Die folgenden beiden Sätze von [[Robert C. James]] zeigen die Bedeutung der Basisbegriffe.

* R. C. James: Sei <math>X</math> ein Banachraum mit Schauderbasis. <math>X</math> ist genau dann [[Reflexiver Raum|reflexiv]], wenn die Basis beschränkt vollständig und schrumpfend ist.

Für unbedingte Schauderbasen kann man das Vorhandensein gewisser Unterräume charakterisieren. Sei <math>X</math> ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. Dann gilt:
* <math>X</math> enthält keinen zu ''[[Folgenraum|c0]]'' isomorphen Unterraum. <math>\Leftrightarrow</math> Die Basis ist beschränkt vollständig.
* <math>X</math> enthält keinen zu <math>\ell^1</math> isomorphen Unterraum. <math>\Leftrightarrow</math> Die Basis ist schrumpfend.

Als Konsequenz ergibt sich daraus:
* R. C. James: Sei <math>X</math> ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. <math>X</math> ist genau dann reflexiv, wenn <math>X</math> keinen zu <math>c_0</math> oder <math>\ell^1</math> isomorphen Unterraum enthält.

== Siehe auch ==
* [[Basisfolge]]

== Literatur ==
* Bernard Beauzamy: ''Introduction to Banach Spaces and their Geometry'', Elesevier Science Publishers (1985) ISBN 0-444-87878-5
* Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolas S. Papageorgiou: ''An introduction to nonlinear analysis.'' Kluwer, Boston 2003, ISBN 0-306-47392-5
* Joseph Diestel: ''Sequences and Series in Banach Spaces.'' 1984, ISBN 0-387-90859-5.
* Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis: ''Functional analysis. An introduction.'' American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3646-3
* Ivan Singer: ''Bases in Banach spaces I'' (1970) und ''Bases in Banach spaces II'' (1981), Springer Verlag

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Schauderbasis - Versionsgeschichte