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2025-05-28T17:44:25Z

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Der '''Satz von der impliziten Funktion''' ist ein wichtiger Satz in der [[Analysis]]. Er beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite [[Gleichung]] oder ein [[Gleichungssystem]] (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann.

Der Satz gibt an, unter welcher Bedingung eine Gleichung oder ein Gleichungssystem <math>F(x,y)=0</math> implizit eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>y = f(x)</math> definiert, für die <math>F(x,f(x)) = 0</math> gilt. Eine derartige Funktion kann im Allgemeinen nur lokal in einer Umgebung einer Stelle <math>x_0</math> gefunden werden. Unter strengeren Annahmen existiert jedoch auch eine globale Version des Satzes.<ref>[[David Gale (Ökonom)|D. Gale]], H. Nikaidō: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0159?tify={%22pages%22:%5B91%5D,%22panX%22:0.898,%22panY%22:0.823,%22view%22:%22toc%22,%22zoom%22:0.3} The Jacobian Matrix and Global Univalence of Mappings.]'' Mathematische Annalen 159 (1965), S. 81–93.</ref>

Ist die Bedingung des Satzes erfüllt, kann die Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d x}</math> als Funktion von <math>x</math> und <math>y</math> ohne Kenntnis der expliziten Funktion <math>y = f(x)</math> gewonnen werden; man nennt dies auch [[Implizite Differentiation|''implizites Differenzieren'']].

== Begriffsbestimmung ==
Eine ''implizit definierte Funktion'' (kurz '''implizite Funktion''') ist eine Funktion, die nicht durch eine explizite Zuordnungsvorschrift <math>y = f(x)</math> gegeben ist, sondern deren Funktionswerte implizit durch eine Gleichung <math>F(x,y)=0</math> definiert sind. Dabei ist <math>F</math> eine [[vektorwertige Funktion]], die genauso viele Einzelfunktionen enthält, wie <math>y</math> Komponenten hat. Wird <math>x</math> fixiert, so ergibt sich ein Gleichungssystem in <math>y</math> mit genauso vielen Gleichungen wie Unbekannten. Der ''Satz über die implizite Funktion'' beschreibt Voraussetzungen, unter denen die folgende Aussage gilt:
:''Wenn eine Lösung <math>y_0</math> für einen Parametervektor <math>x_0</math> bekannt ist, dann kann auch für jeden Parametervektor <math>x\approx x_0</math> aus einer hinreichend kleinen Umgebung von <math>x_0</math> eine eindeutig bestimmte Lösung <math>y\approx y_0</math> des Gleichungssystems <math>F(x,y)=0</math> gefunden werden, die in einer Umgebung der ursprünglichen Lösung <math>y_0</math> liegt.''

Diese Aussage ermöglicht es, eine Funktion <math>f</math> zu definieren, die jedem Parametervektor <math>x\approx x_0</math> gerade den Lösungsvektor <math>y=f(x)\approx y_0</math> zuordnet, sodass diese Funktion auf ihrem Definitionsbereich die Gleichung <math>F(x,f(x))=0</math> erfüllt. Der ''Satz von der impliziten Funktion'' stellt zudem sicher, dass diese Zuordnung <math>x\mapsto f(x)</math> unter gewissen Bedingungen und Einschränkungen an <math>F</math>, <math>x</math> und <math>y</math> wohldefiniert ist – insbesondere, dass sie eindeutig ist.

=== Beispiel ===
[[Datei:Implicit circle.svg|mini|200px|Der Einheitskreis wird als die Menge aller Punkte <math>(x,y)</math> beschrieben, welche die Gleichung <math>F(x,y)=0</math> mit <math>F(x,y)=x^2+y^2-1</math> erfüllen. In einer Umgebung des Punktes A kann <math>y</math> als Funktion von <math>x</math> ausgedrückt werden: <math>y=f(x)=\sqrt{1-x^2}</math>. Bei Punkt B geht das nicht.]]

Setzt man <math>F(x,y)=x^2+y^2-1</math>, so beschreibt die Gleichung <math>F(x,y)=0</math> den Einheitskreis in der Ebene. Der Einheitskreis kann nicht als Graph einer Funktion <math>y=f(x)</math> geschrieben werden, denn zu jedem <math>x</math> aus dem offenen Intervall <math>(-1,1)</math> gibt es zwei Möglichkeiten für <math>y</math>, nämlich <math>y=\pm\sqrt{1-x^2}</math>.

Es ist jedoch möglich, Teile des Kreises als [[Funktionsgraph]] darzustellen. Den oberen Halbkreis bekommt man als Graph der Funktion
:<math>f_1\colon (-1,1) \to \R, f_1(x)=\sqrt{1-x^2}</math>,
den unteren als Graph von
:<math>f_2\colon (-1,1) \to \R, f_2(x)=-\sqrt{1-x^2}</math>.
Der Satz von der impliziten Funktion gibt Kriterien für die Existenz von Funktionen wie <math>f_1</math> oder <math>f_2</math>. Er garantiert auch, dass diese Funktionen differenzierbar sind.

== Satz von der impliziten Funktion ==
=== Aussage ===
Seien <math>U \subseteq \mathbb{R}^m</math> und <math>V \subseteq \mathbb{R}^n</math> offene Mengen und
:<math>F\colon U \times\, V \to \mathbb{R}^n,\quad (x,y)=(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n) \mapsto F(x,y)=(\,F_1(x,y), \dots,F_n(x,y)\,)</math>
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Die [[Jacobi-Matrix]]
:<math>
\mathrm D F = \frac{\partial F}{\partial (x, y)}
= \frac{\partial (F_1,\dots,F_n)}{\partial(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)}
= \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_m} &
\frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_n} \\
\vdots & & \vdots &\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_m} &
\frac{\partial F_n}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix}
</math>
besteht dann aus zwei [[Untermatrix|Teilmatrizen]]
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}
= \frac{\partial (F_1,\dots,F_n)}{\partial(x_1,\dots,x_m)}
= \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_m} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_m}
\end{pmatrix}
</math>
und
:<math>\frac{\partial F}{\partial y}
= \frac{\partial (F_1,\dots,F_n)}{\partial(y_1,\dots,y_n)}
= \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix},
</math>
wobei letztere quadratisch ist.

Der Satz von der impliziten Funktion besagt nun:

Erfüllt <math> (x_0, y_0) \in U \times\ V </math> die Gleichung
<math>F(x_0, y_0)=0</math>
und ist die zweite Teilmatrix <math>\tfrac{\partial F}{\partial y}</math> im Punkt <math> (x_0,y_0)</math> [[Reguläre Matrix|invertierbar]], so existieren offene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]]
<math>U_0 \subseteq U</math> von <math>x_0</math> und <math>V_0 \subseteq V</math> von <math>y_0</math>
sowie eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung
:<math>f\colon U_0 \to V_0</math>
mit <math>f(x_0) = y_0</math> so, dass für alle <math>x \in U_0</math>, <math>y \in V_0</math> gilt:
:<math>F(x,y) = 0 \;\Leftrightarrow\; y = f(x)</math>.

=== Beispiel ===
Man wende nun diesen Satz auf das anfangs gegebene Beispiel der Kreisgleichung an: Dazu sind die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] nach den <math>y</math>-Variablen zu betrachten. (In diesem Fall ist <math>n=1</math>, daher ergibt das eine <math>1 \times 1</math>-Matrix, also einfach eine reelle Funktion.)
Die partielle Ableitung der Funktion <math>F(x,y) = x^2 + y^2 -1</math> nach <math>y</math> ergibt
<math>\tfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = 2 y</math>. Der [[Kehrwert]] dieses Terms existiert genau dann, wenn <math>y \neq 0</math> ist.
Damit folgert man mit Hilfe des Satzes, dass diese Gleichung für <math>y \neq 0</math> lokal nach <math>y</math> auflösbar ist.
Der Fall <math>y=0</math> tritt nur an den Stellen <math>x = -1</math> oder <math>x = 1</math> auf. Dies sind also die Problempunkte. Tatsächlich sieht man, dass die Formel <math>y = \pm \sqrt{1 - x^2}</math> sich genau in diesen Problempunkten in eine positive und negative Lösung verzweigt. In allen anderen Punkten ist die Auflösung lokal eindeutig.

=== Beweisansatz ===
Der ''klassische Ansatz'' betrachtet zur Lösung der Gleichung <math>F(x,y)=0</math> das [[Anfangswertproblem]] der gewöhnlichen Differentialgleichung
:<math>
\phi_v'(t)=-G(x_0+tv,\phi_v(t))\, v
\;\text{ mit }\;
G(x,y)=\left(\tfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)\right)^{-1}\tfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)
\;\text{ und }\;
\phi_v(0)=y_0
</math>.
Da <math>\tfrac{\partial F}{\partial y}</math> in <math>(x_0,y_0)</math> invertierbar ist, ist dies auch in einer kleinen Umgebung der Fall, d. h., für kleine Vektoren <math>v</math> existiert die Differentialgleichung und ihre Lösung für alle <math>t\in [0,1]</math>. Die Lösung der impliziten Gleichung ist nun durch
:<math>f(x)=\phi_{x-x_0}(1)</math>
gegeben, die oben angegebenen Eigenschaften dieser Lösung ergeben sich aus den Eigenschaften der Lösungen parameterabhängiger Differentialgleichungen.

Der ''moderne Ansatz'' formuliert das Gleichungssystem <math>F(x,y)=0</math> mit Hilfe des vereinfachten [[Newton-Verfahren#Das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen|Newton-Verfahrens]] als Fixpunktproblem und wendet darauf den [[Fixpunktsatz von Banach]] an. Für die dazugehörige Fixpunktabbildung wird die Inverse <math>A</math> der Teilmatrix <math>\tfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)</math> der Jacobi-Matrix von <math>F</math> im vorgegebenen Lösungspunkt <math>(x_0,y_0)</math> gebildet. Zu der Abbildung
:<math>T(y)=y-A\,F(x,y)</math>
kann man nun zeigen, dass sie für Parametervektoren <math>x</math> nahe <math>x_0</math> auf einer Umgebung von <math>y_0</math> kontraktiv ist. Dies folgt daraus, dass <math>T</math> stetig differenzierbar ist und <math>\tfrac{\partial T}{\partial y}(x_0,y_0)=0</math> gilt.

=== Zusammenfassung ===
Der Vorteil des Satzes ist, dass man die Funktion <math>f</math> gar nicht explizit kennen muss, um eine Aussage über deren Existenz und Eindeutigkeit machen zu können. Oft ist die Gleichung auch gar nicht durch [[elementare Funktion]]en nach <math>y</math> auflösbar, sondern nur mit numerischen Verfahren. Interessant ist, dass die Konvergenz solcher Verfahren meist gleiche oder ähnliche Voraussetzungen wie der Satz von der impliziten Funktion (die Invertierbarkeit der Matrix der <math>y</math>-Ableitungen) erfordert.

Eine weitere wertvolle Schlussfolgerung des Satzes ist, dass die Funktion <math>f</math> differenzierbar ist, falls <math>F(x,y)</math> es ist, was bei Anwendung des ''Satzes über implizite Funktionen'' vorausgesetzt wird. Die Ableitung kann sogar explizit angegeben werden, indem man die Gleichung <math>F(x,f(x)) = 0</math> nach der [[Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] ableitet:
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x) = 0</math>,
und dann nach <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x)</math> auflöst:
:<math>\frac{\partial f }{\partial x}(x) = - \left( \frac{\partial F }{\partial y}(x,f(x)) \right)^{-1} \cdot \frac{\partial F }{\partial x}\big(x,f(x)\big)</math>.

Eine ähnliche Folgerung gilt für höhere Ableitungen. Ersetzt man die Voraussetzung „<math>F</math> ist stetig differenzierbar“ durch „<math>F</math> ist <math>k</math>-mal stetig differenzierbar“ (oder beliebig oft differenzierbar oder analytisch), kann man folgern, dass <math>f</math> <math>k</math>-mal differenzierbar (bzw. beliebig oft differenzierbar bzw. analytisch) ist.

== Satz von der Umkehrabbildung ==
Ein nützliches [[Korollar]] zum Satz von der impliziten Funktion ist der '''Satz von der Umkehrabbildung''' oder auch '''Umkehrsatz'''. Er gibt eine Antwort auf die Frage, ob man eine (lokale) [[Umkehrfunktion]] finden kann, und besagt Folgendes:

Sei <math>U \subseteq \mathbb{R}^n</math> offen und
:<math>f \colon U \to \mathbb{R}^n</math>
eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei <math>a \in U</math> und <math>b := f(a)</math>. Die [[Jacobi-Matrix]] <math>\mathrm{D}f(a)</math> sei invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung <math>U_a \subseteq U</math> von <math>a</math> und eine offene Umgebung <math>V_b</math> von <math>b</math>, sodass <math>f</math> die Menge <math>U_a</math> bijektiv auf <math>V_b</math> abbildet und die Umkehrfunktion
:<math>g = f^{-1} \colon V_b \to U_a</math>
stetig differenzierbar ist, oder kurz: <math>f|_{U_a}</math> ist ein [[Diffeomorphismus]]. Es gilt:
:<math>\mathrm{D} (f^{-1})(b) = \mathrm{D} g(b) = (\mathrm{D} f(a))^{-1} = (\mathrm{D} f(g(b)))^{-1}</math>

== Literatur ==
* Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis II.'' Birkhäuser, Basel, 1999, ISBN 3-7643-6133-6, S. 230 ff.
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 2.'' Differentialrechnung im R<sup>n</sup>, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 3-7643-6133-6, S. 86–99 ([https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-8348-8103-8_8#page-1 S. 90 ff.]).
* {{Literatur
|Autor=[[Klaus Jänich]]
|Titel=Mathematik 2
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin/Heidelberg
|Datum=2002
|ISBN=978-3-540-42839-8
|DOI=10.1007/978-3-642-55944-0
|Online=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-55944-0_4 Kap. 26: ''Das lokale Verhalten nichtlinearer Abbildungen an regulären Stellen.'']}} Geschrieben für Physiker.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Implizite Funktion]]

Satz von der impliziten Funktion - Versionsgeschichte

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