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2020-05-11T19:08:56Z

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Der '''Satz von Winogradow''', benannt nach [[Iwan Matwejewitsch Winogradow]], besagt, dass sich jede ausreichend große ungerade Zahl als die Summe dreier [[Primzahl]]en darstellen lässt. Die bisher unbewiesene (ternäre) [[Goldbach-Vermutung]] behauptet, dass dies für alle ungeraden Zahlen größer als 5 gilt.

Winogradow bewies diesen Satz 1937.<ref>In: ''Dokl.Akad.Nauka SSSR'', Band 15, 1937, S. 291 und in ''The Method of trigonometrical sums in the theory of numbers'', 1947</ref> Zuvor hatten [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] und [[John Edensor Littlewood|Littlewood]] 1923 bewiesen, dass unter Annahme der Gültigkeit der [[Riemannsche Vermutung|verallgemeinerten riemannschen Vermutung]] (GRH) alle bis auf endlich viele ungeraden Zahlen als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden können. Winogradows Beweis setzte dagegen die Gültigkeit der GRH nicht voraus.

„Ausreichend groß“ bedeutet im ursprünglichen Beweis von Winogradow allerdings eine Grenze von <math>n > 10^{6800000}</math> und in der besten bekannten Verfeinerung des Satzes<ref>M. C. Liu, T. Z. Wang: [https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/acta-arithmetica/all/105/2/82946/on-the-vinogradov-bound-in-the-three-primes-goldbach-conjecture ''On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture''.] In: ''[[Acta Arithmetica]]'', Band 105, 2002, S. 133.</ref> immer noch <math>n > 10^{1346}</math>, weit jenseits der Möglichkeiten einer Computer-Suche für die restlichen Fälle.

Weitere Beweise gaben [[Juri Wladimirowitsch Linnik]] 1946 und [[Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow]] 1947.

== Genaue Formulierung ==
Sei <math>r(N)</math> die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl <math>N</math> als Summe dreier Primzahlen. Dann besagt der Satz, dass

: <math>r(N)=\frac{N^2}{2 {(\log N)}^3}G(N)+ O\left(\frac{N^2} {{(\log N)}^4}\right)</math>
mit
: <math>G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right)</math>

(das linke Produkt geht über die Primteiler von <math>N</math> und das rechte über die übrigen Primzahlen).

Für gerade <math>N</math> ist <math>G(N) = 0</math>, für ungerade <math>N</math> ist <math>G(N) \geq 1</math> und asymptotisch von der [[Landau-Symbole|Ordnung]] <math> \mathcal{O}\left( 1 \right)</math>. Für genügend große ungerade <math>N</math> folgt, dass <math>r(N) \geq 1</math>.
→ Siehe zur von Winogradow verwendeten Beweismethode (einer Variante der ''Kreismethode'') auch [[trigonometrisches Polynom]].

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=VinogradovsTheorem |title=Vinogradov’s Theorem}}
* Kumchev, Tolev: [http://www.tolev.org/publications/tolev_publ_19.pdf ''An invitation to additive prime number theory''.] (PDF) 2005

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Zahlentheorie)|Winogradow]]

Satz von Winogradow - Versionsgeschichte

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