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2026-04-14T20:06:01Z

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Der '''Satz von Varignon''' (auch als '''Satz vom Mittenviereck''' bezeichnet) beschreibt in der [[Geometrie]] eine Eigenschaft von [[Viereck]]en. Namensgeber ist [[Pierre de Varignon]], dessen [[Lehrsatz]] nach seinem Tod ''Elémens de mathématiques'' (1731) veröffentlicht wurde.

== Formulierung ==
[[Datei:Rectangle-varignon.svg|mini|hochkant|Mittenviereck mit konstruiertem Parallelogramm]]
:
:''Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein [[Parallelogramm]], welches (auch) als '''Varignon-Parallelogramm''' bezeichnet wird.''<ref group="A">Kurz gesagt gilt also: ''In einem Viereck ist das [[Mittenviereck]] stets ein Parallelogramm.''</ref>

=== Beweis ===
Sei <math>ABCD</math> ein Viereck und seien <math>E, F, G, H</math> die Mittelpunkte der Seiten (siehe Abbildung). Betrachte das Dreieck <math>ABC</math>. Nimmt man <math>B</math> als Streckzentrum einer [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]], werden <math>A</math> auf <math>E</math> und <math>C</math> auf <math>F</math> mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bild[[gerade]] und Urgerade sind [[Parallel (Geometrie)|parallel]] – folgt <math>AC \parallel EF </math>. Ebenso zeigt man, dass auch <math>AC\parallel GH</math>. Per [[Transitive Relation|Transitivität]] der Parallelitätsrelation folgt <math>EF\parallel HG</math>. Auf analoge Weise zeigt man, dass auch die beiden anderen Seiten des Mittenvierecks parallel zueinander sind. Das Viereck <math>EFGH</math> besteht also aus zwei Paaren paralleler Seiten, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

== Folgerungen ==
Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck, und die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

== Der räumliche Fall ==
Der varignonsche Satz gilt auch für jedes beliebige Viereck im [[Anschauungsraum]], also unabhängig davon, ob ein ebenes Viereck oder ein konvexes Viereck vorliegt. Ebenso gilt stets die oben genannte erste Folgerung.<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik.'' Springer Spektrum 2013, S. 125–126</ref>

=== Weiteres Resultat ===
Darüber hinaus gilt noch der folgende Zusatz:<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik.'' Springer Spektrum 2013, S. 126–127</ref>
:
:In einem konvexen Viereck halbiert der Schnittpunkt der beiden [[Verbindungsstrecke]]n zwischen den jeweils einander gegenüberliegenden Seitenmitten stets die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]].<ref group="A">Ist im Grenzfall das vorliegende konvexe Viereck selbst schon ein Parallelogramm, so besteht nach dem [[Diagonalensatz]] die zuletzt genannte Verbindungsstrecke aus einem einzigen Punkt, welcher dann mit dem genannten Schnittpunkt und dem gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Diagonalen zusammenfällt und zugleich das [[Symmetriezentrum]] bildet.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Claudi Alsina, Roger B. Nelsen
|Titel=Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik
|TitelErg=Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-34792-4
|Seiten=125 ff.}}
* {{Literatur
|Herausgeber=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis.
|TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
|Auflage=4.
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1985
|Seiten=652–653}}
* [[Siegfried Krauter]], Christine Bescherer: ''Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken''. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. [https://books.google.de/books?id=4LfZSrgysFAC&pg=PA77 76-77]
* [[H. S. M. Coxeter]], [[S. L. Greitzer]]: ''Geometry Revisited''. MAA, Washington 1967, S. 52–54
* Peter N. Oliver: ''Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem.'' In: ''Mathematics Teacher.'' Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319 ([[doi:10.5951/MT.94.4.0316]]).
* Peter N. Oliver: ''Consequences of Varignon Parallelogram Theorem.'' In: ''Mathematics Teacher.'' Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408 ([[doi:10.5951/MT.94.5.0406]]).

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=VarignonsTheorem |title=Varignon’s Theorem}}
* [http://www.vias.org/comp_geometry/geom_quad_varignon.html Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry] (englisch)
* ''[https://matheplanet.com/default3.html?article=1097 Satz von Varignon]'' bei ''[[Matroids Matheplanet]]''
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Varignon.shtml Varignon parallelogram] auf cut-the-knot-org

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)|Varignon, Satz von]]

Satz von Varignon - Versionsgeschichte

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