imported>Winkekatze: Änderung 262930738 von ~2026-14517 rückgängig gemacht; $\mu \leq 2+\varepsilon$ wird auch in den Formeln benutzt, aus Konsistenzgründen bitte beibehalten

2026-01-21T12:41:12Z

Änderung 262930738 von ~2026-14517 rückgängig gemacht; <math>\mu \leq 2+\varepsilon</math> wird auch in den Formeln benutzt, aus Konsistenzgründen bitte beibehalten

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Der '''Satz von Thue-Siegel-Roth''' aus der Theorie [[Diophantische Approximation|diophantischer Approximationen]] in der [[Zahlentheorie]] wurde von [[Klaus Friedrich Roth]] nach Vorarbeiten von [[Axel Thue]] und [[Carl Ludwig Siegel]] 1955 bewiesen.<ref>[[Klaus Friedrich Roth]]: ''Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum.'' In: ''Mathematika.'' Bd. 2, 1955, {{ISSN|0025-5793}}, S. 1–20 und 168.</ref>

Er besagt, dass für jede [[algebraische Zahl]] <math>\alpha</math> und jedes <math>\varepsilon >0</math> die Ungleichung (''p'', ''q'' [[Teilerfremdheit|teilerfremd]])

{{NumBlk|:|<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-(2 + \varepsilon)}</math>|Ungleichung 1}}

nur endlich viele Lösungen hat. Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseitelässt, lässt sich aus (Ungleichung 1) folgern, dass für genügend große ''q'' für jedes irrationale <math>\alpha</math> gilt:

{{NumBlk|:|<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > C(\varepsilon , \alpha)q^{-(2 + \varepsilon)}</math>|Ungleichung 2}}

mit einem nur von <math>\varepsilon</math> und <math>\alpha</math> abhängigen ''C''. In dieser Form wird der Satz von Thue-Siegel-Roth meist präsentiert. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] ([[Dirichletscher Approximationssatz]]) jede reelle Zahl <math>\alpha</math> Approximanten ''p/q'' hat, die näher als <math>q^{-2}</math> liegen. Es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der [[Kettenbruch]]-Darstellungen dieser Zahlen (deren Sonderrolle der Satz somit ebenfalls aufzeigt).<ref>Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 421 </ref> Das heißt, es gibt für jede irrationale Zahl <math>\alpha</math> unendlich viele rationale Zahlen <math>\frac {p}{q}</math> mit <math> q >0</math> so dass:

:<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-2}</math>

Danach waren schrittweise obere Schranken für Exponenten <math> \mu </math> bestimmt worden, so dass es endlich viele rationale Näherungslösungen <math>\frac {p}{q}</math> für algebraische irrationale Zahlen <math>\alpha</math> mit

{{NumBlk|:|<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-\mu}</math>|Ungleichung 3}}

gibt. [[Joseph Liouville]] zeigte 1844 <math>\mu < n</math>, mit <math> n >1</math> (siehe [[Diophantische Approximation]]). Hierbei ist ''n'' der Grad der [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichung]] mit Wurzel <math>\alpha</math>. Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass <math>\mu > 2</math> ist (siehe oben). Damit war <math> 2 < \mu \leq n</math> bekannt und es wurden verfeinerte Schranken gesucht.<ref>Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 418</ref> [[Axel Thue]] zeigte 1908, dass <math>\mu \leq n/2+1</math> und [[Carl Ludwig Siegel]] 1921 in seiner Dissertation (wobei er das Ergebnis schon 1916 seinem Lehrer Frobenius mitteilte), dass <math>\mu \leq 2 \sqrt {n} </math>. Roth zeigte, dass 2 tatsächlich die optimale Schranke ist, denn für <math>\mu \leq 2+\varepsilon</math> gibt es nur endlich viele Lösungen.

Der Beweis des Satzes ist umfangreich und findet sich zum Beispiel in den Lehrbüchern von [[Theodor Schneider (Mathematiker)|Theodor Schneider]]<ref>Schneider, Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer 1957</ref> oder [[John Cassels]].<ref>Cassels, An introduction to diophantine approximation, Cambridge UP 1957</ref>

Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. ''C'' einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das <math>\alpha</math> in (Ungleichung 2) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von [[Alan Baker (Mathematiker)|Alan Baker]] in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt. Der Satz von Thue-Siegel-Roth folgt auch aus dem Subspace-Theorem von [[Wolfgang Schmidt (Mathematiker)|Wolfgang Schmidt]]. Dieser gab auch eine Verallgemeinerung für simultane Näherung mehrerer algebraischer Zahlen <math>x_1 , \cdots , x_n</math>. Seien <math> 1, x_1, \cdots , x_n </math> linear unabhängig über den rationalen Zahlen und <math>\varepsilon </math> eine beliebige positive reelle Zahl, dann gibt es nur endliche viele n-Tupel rationaler Zahlen <math> \frac {p_1}{q}, \cdots , \frac {p_n}{q}</math> mit

:<math>\left|x_i-\frac {p_i}{q}\right|<q^{-(1+\frac{1}{n}+\varepsilon)},\quad i=1,\ldots,n.</math>

Es gibt auch eine [[P-adische Zahl|p-adische Version]] des Satzes von Thue-Siegel-Roth.<ref>Bewiesen von D. Ridout, The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem, Mathematika, Band 5, 1958, S. 40–48</ref>

Als Anwendung des Satzes von Thue-Siegel-Roth kann man neue transzendente Zahlen finden. Der [[Diophantische Approximation|Satz von Liouville]] lieferte diese in Form [[Liouvillesche Zahl|Liouvillescher Zahlen]]. Mit dem Satz von Thue-Siegel-Roth braucht man nur irrationale Zahlen zu finden, die besser als <math>\frac {1}{q^2}</math> durch rationale Zahlen approximierbar sind und nicht <math>\frac {1}{q^n}</math> wie beim Satz von Liouville. Ein Beispiel ist der Nachweis der Transzendenz für die Zahl

:<math>\tau = 0 {,} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 \cdots </math>

also der Zahl die entsteht wenn man alle Dezimalzahlen hintereinanderschreibt.<ref>Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 420</ref> Das Gleiche gilt wenn man die Zahl nicht basierend auf dem Dezimalsystem, sondern etwa dem Stellwertsystem zur Basis 3 konstruiert. Der ursprüngliche Beweis stammt von [[Kurt Mahler]] (1946) und der Beweis erfordert nicht unbedingt den Satz von Thue-Siegel-Roth. <math>\tau</math> ist keine Liouvillesche Zahl.

== Literatur ==
*Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer 1957
*John Cassels: An introduction to diophantine approximation, Cambridge UP 1957
*[[William LeVeque]]: Topics in number theory, Band 2, 1956, Kapitel 4, Nachdruck Dover 2002

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:302893/FULLTEXT01 Ishak ''The Thue-Siegel-Roth-Theorem'' mit dem Beweis aus dem Buch von Leveque ''Topics in Number Theory'' 1956, PDF-Datei]

[[Kategorie:Satz (Zahlentheorie)|Thue-Siegel-Roth, Satz von]]

Satz von Thue-Siegel-Roth - Versionsgeschichte

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