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2026-04-01T06:58:09Z

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{{Dieser Artikel|bezieht sich auf den stokesschen Integralsatz. Weitere Gesetzmäßigkeiten, Regeln und Sätze, die der Physiker und Mathematiker Sir George Gabriel Stokes aufgestellt hat, unter [[Stokessche Gesetze]].}}

Der '''Satz von Stokes''' oder '''stokessche Integralsatz''' ist ein nach [[George Gabriel Stokes|Sir George Gabriel Stokes]] benannter Satz aus der [[Differentialgeometrie]]. In der allgemeinen Fassung handelt es sich um einen sehr grundlegenden Satz über die Integration von [[Differentialform]]en, der den [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] erweitert und eine Verbindungslinie von der Differentialgeometrie zur [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]] eröffnet. Dieser Zusammenhang wird durch den [[Satz von de Rham]] beschrieben, für den der Satz von Stokes grundlegend ist.

Es geht darum, <math>n</math>-dimensionale ''Volumenintegrale'' über das Innere in <math>(n-1)</math>-dimensionale ''Randintegrale'' über die Oberfläche des Volumenstücks umzuwandeln. Häufig werden nur spezielle Varianten des allgemeinen Satzes betrachtet, aus denen das allgemeine Prinzip mehr oder minder gut ersichtlich ist, die aber für die jeweiligen Anwendungen wichtig sind. Die beiden wichtigsten Spezialfälle, der [[Gaußscher Integralsatz|Gauß'sche Integralsatz]] und der spezielle Stokes’sche Integralsatz (siehe unten) entstammen der [[Vektoranalysis]]. In der [[Physik]] und der [[Elektrotechnik]] erlaubt der spezielle Satz von Stokes beziehungsweise der von Gauß elegante Schreibweisen physikalischer Zusammenhänge, zum Beispiel bei den integrierten Formen der [[Maxwell-Gleichungen]].

== Integralsatz von Stokes ==
=== Aussage ===
Sei <math>M</math> eine orientierte [[Dimension (Mathematik)#Dimension einer Mannigfaltigkeit|n-dimensionale]] [[Kompakter Raum|kompakte]] [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] mit abschnittsweise glattem [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Rand]] <math>\partial M</math> mit induzierter [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre) oder den Torus (Rettungsring), gegeben.

Sei ferner <math>\omega</math> eine auf <math>M</math> (bzw. in einer hinreichend großen offenen Umgebung) definierte [[Differentialform|alternierende Differentialform]] vom Grad <math>n-1</math>, die als [[Differentialrechnung|stetig differenzierbar]] vorausgesetzt wird.

Dann gilt die folgende Aussage, die nach Stokes benannt wurde:

:<math> \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega</math>

wobei <math>\mathrm{d}</math> die [[Cartan-Ableitung]] bezeichnet. Das rechte Integral kann man als [[Oberflächenintegral]] verstehen oder allgemeiner als Integral über die Mannigfaltigkeit <math>\partial M</math>.

Die Cartan-Ableitung <math>\mathrm{d} \omega</math> ist hier gewissermaßen „dual“ zu der topologischen Operation <math>\partial M</math>, wodurch sich die in dieser Formel enthaltene Querbeziehung zwischen Aspekten der Analysis und topologisch-algebraischen Aspekten ergibt.

=== Anmerkungen ===
[[Datei:Green's-theorem-simple-region.svg|mini|Ein [[Normalgebiet]]]]
Unter der sehr allgemeinen Voraussetzung, dass <math>\textstyle \omega = \sum_{i=1}^{n} f_i\,\omega_i</math>   gilt, mit <math>(n-1)</math>-dimensionalen Basisformen <math>\omega_i</math>, zum Beispiel mit
: <math>\omega_1=\mathrm dx_2\wedge \mathrm dx_3\wedge \cdots \wedge\mathrm dx_{n-1}\wedge \mathrm dx_n,</math>
: <math>\omega_2=\mathrm dx_3\wedge\mathrm dx_4 \wedge \cdots \wedge\mathrm dx_n\wedge\mathrm dx_1,\ldots,</math>

und mit dem [[Graßmann-Algebra|äußeren Produkt]] <math>\wedge</math>, das unter anderem die Bedingung der [[Antisymmetrische Bilinearform|Antisymmetrie]] erfüllt, <math>-\mathrm dx_k\wedge\mathrm dx_i=\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_k</math>, besagt die äußere Ableitung konkret das Folgende:
:<math>\textstyle \mathrm{d}\omega \equiv\sum_{k,i=1}^n\,{\frac{\partial f_i}{\partial x_k}}\mathrm{d}x_k\wedge\omega_i.</math>

Besonders einfach wird der Beweis des „Hauptsatzes“, wenn wie beim nebenstehenden Beispiel eines Normalgebietes die Integrationsmannigfaltigkeit (in der Zeichnung <math>D</math> genannt) in vertikale Streifen (in <math>x_n</math>-Richtung) so segmentiert werden kann, dass nur an der gelb eingezeichneten „Oberseite“ und an der rot eingezeichneten „Unterseite“ nichttriviale Beiträge entstehen, und zwar wegen der ebenfalls eingezeichneten Orientierung (die Pfeilrichtungen) mit entgegengesetztem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]].

=== Folgerung ===
Sei <math>U \subset \R^n</math> offen und <math>\omega</math> eine stetig differenzierbare <math>(k-1)</math>-Form in <math>U</math>. Dann gilt für jede orientierte kompakte randlose {{nowrap|1=<math>k</math>-dimensionale}} Untermannigfaltigkeit <math>M \subset U</math> die Aussage:
: <math>\int_M \mathrm{d} \omega = 0.</math>

== Anwendungen ==
Der (allgemeine) Satz von Stokes wird vor allem in der Mathematik verwendet. Er
* enthält als Spezialfälle für Physiker und Elektro-Ingenieure den Satz von Gauß und den speziellen Satz von Stokes (siehe unten), und
* bildet zweitens eine konkrete Verbindung zwischen differentialgeometrischen und [[Algebra|algebraischen]] Aspekten der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], indem etwa in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zwei verschiedene Wege <math>\mathcal W_1</math> und <math>\mathcal W_2</math>, die vom gleichen Anfangspunkt ausgehen und zum gleichen Endpunkt führen, als [[Algebraische Topologie|topologisch homolog]] definiert werden, wenn für gewisse einstufige Differentialformen <math>\omega</math> das Kurvenintegral <math>\textstyle \oint_{\,\mathcal W_1-\mathcal W_2}\,\omega</math> verschwindet. Entsprechende Begriffe der algebraischen Topologie kann man auch mit dem höherdimensionalen Stokes’schen Satz aufbauen.

== Integralsatz von Stokes für Ketten ==
=== Integration über Ketten ===
Sei <math>\sigma : \Delta_p \to M</math> ein glatter <math>p</math>-Simplex und <math>\omega</math> eine glatte, [[geschlossene Differentialform]] auf der [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] <math>M</math>. Dann ist das Integral über <math>\sigma</math> definiert durch
:<math>\int_\sigma \omega = \int_{\Delta_p} \sigma^*\omega</math>.
Dabei bezeichnet <math>\sigma^*\omega</math> den [[Rücktransport]] von <math>\omega</math> bezüglich <math>\sigma</math>. Die Definition ergibt Sinn, da <math>\Delta_p</math> eine glatte [[Untermannigfaltigkeit]] mit Rand und induzierter Orientierung von <math>\R^p</math> ist. (Oder man versteht <math>\Delta_p</math> einfach als [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene Teilmenge]] des <math>\R^p</math>.) Im Fall <math>p=1</math> entspricht die Definition dem gewöhnlichen [[Kurvenintegral]]. Ist <math>\textstyle c = \sum_{i=1}^k c_i \sigma_i</math> eine glatte {{nowrap|1=<math>p</math>-[[Kettenkomplex|Kette]]}} des [[Singulärer Komplex|singulären Komplexes]], dann ist das Integral von <math>\omega</math> über <math>c</math> definiert als
:<math>\int_c \omega := \sum_{i=1}^k c_i \int_{\sigma_i} \omega = \sum_{i=1}^k c_i \int_{\Delta_p} \sigma_i^*\omega.</math>
Für den Fall <math>p=1</math> findet man die Definition und weitere Informationen im Artikel [[Zyklus (Funktionentheorie)]].

=== Aussage ===
Sei <math>c</math> eine glatte <math>p</math>-Kette des singulären Komplexes und <math>\omega</math> eine glatte <math>(p-1)</math>-Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Dann gilt
:<math>\int_{\partial c} \omega = \int_c \mathrm{d} \omega.</math>
Mit <math>\partial \colon C_p \to C_{p-1}</math> wird der [[Randoperator]] des singulären Komplexes bezeichnet.

=== Anwendung ===
Dieser Satz zeigt eine Verbindung zwischen differentialgeometrischen und topologischen Eigenschaften einer glatten Mannigfaltigkeit auf. Betrachtet man nämlich die [[De-Rham-Kohomologie]] <math>H_{dR}^*(M)</math> und die [[singuläre Homologie]] <math>H^\text{sing}_*(M)</math> von <math>M</math>, so erhält man durch
:<math>\begin{align}
J \colon H^p_{dR}(M) &\to \operatorname{Hom}(H_p^\text{sing}(M),\R) \\
\omega &\mapsto \left(c \mapsto \int_c \omega \right)
\end{align}</math>
mit <math>c \in H_p^\text{sing}(M)</math> einen [[Homomorphismus]]. Aufgrund des Satzes von Stokes ist dieser Homomorphismus [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] und es kommt nicht auf die Wahl des Repräsentanten <math>c</math> der Homologieklasse an. Seien <math>c_1</math> und <math>c_2</math> zwei Repräsentanten der gleichen singulären Homologieklasse, dann gilt <math>c_1 - c_2 = \partial b</math>, denn zwei Repräsentanten unterscheiden sich nur um ein Element des Randes. Daher folgt mit dem Satz von Stokes
:<math>\int_{c_1} \omega - \int_{c_2} \omega = \int_{\partial b} \omega = \int_b \mathrm{d} \omega = 0.</math>
Die letzte Gleichheit gilt, da <math>\omega</math> ein Element der De-Rham-Kohomologie ist und daher <math>\mathrm{d} \omega = 0</math> gilt. Ist <math>\omega = \mathrm{d} \nu</math> eine [[exakte Differentialform]], dann gilt
:<math>\int_c \omega = \int_c \mathrm{d} \nu = \int_{\partial c} \nu = 0.</math>
Nach dem zentralen Satz von de Rham ist der Homomorphismus sogar ein [[Isomorphismus]].

== Zugrundeliegendes topologisches Prinzip ==
Hinter dem Stokes’schen Satz steckt ein allgemeines topologisches Prinzip, das in seiner einfachsten Form besagt, dass sich bei „orientierter Pflasterung eines Flächenstücks“ im Innern die Wege „wegen Gegenverkehrs“ paarweise aufheben, sodass nur die Randkurve übrig bleibt.

[[Datei:Stokes-patch.png|mini|links|Pflasterung]]
Links in der Skizze sieht man vier kleine, gleich orientierte „Pflastersteine“. Die in der Mitte eingezeichneten „inneren Wege“ werden paarweise in entgegengesetzter Richtung durchlaufen; ihre Beiträge zum Linienintegral heben sich deshalb gegenseitig auf, sodass nur der Beitrag der Randkurve übrigbleibt. Es genügt also, die Integralsätze nur für möglichst kleine „Pflastersteine“ zu beweisen.

Bei hinreichender Verfeinerung der ''Pflasterung'' ist das im Allgemeinen fast elementar.
{{Absatz}}

== Spezialfälle ==
Mehrere Spezialfälle des allgemeinen Satzes von Stokes sind in der klassischen Vektoranalysis von Bedeutung. Dazu gehört natürlich der klassische Satz von Stokes. Er folgt aus dem allgemeinen Satz mit <math>\omega:=F_1 dx_1+F_2 dx_2+F_3 dx_3</math>. Außerdem sind auch der [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]], der [[Satz von Green]] und der Gauß’sche Integralsatz Spezialfälle des allgemeinen Stokes’schen Satzes.

=== Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ===
Sei <math>(a,b) \subset \R</math> ein offenes Intervall und <math>f \colon [a,b] \to \R</math> eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist <math>\mathrm{d}f(x)</math> eine 1-Form (sog. [[Pfaffsche Form|Pfaff’sche Form]]), und der allgemeine Stokes’sche Integralsatz entartet zu
: <math>\int_a^b\mathrm{d}f(x) = \int_a^b f'(x) \, \mathrm{d}x = \left. f(x)\right|_a^b = f(b) - f(a).</math>
Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

=== Gaußscher Integralsatz ===
{{Hauptartikel|Gaußscher Integralsatz}}

Für eine kompakte Teilmenge <math>V</math> des <math>\mathbb{R}^n</math> und ein n-dimensionales [[Vektorfeld]] <math>\mathrm F</math> erhält man als einen weiteren Spezialfall den gaußschen Integralsatz.

: <math>\int_{V} \operatorname{div}F \,\mathrm{d}V = \oint_{\partial V} \langle F, \nu\rangle \, \mathrm{d} S</math>

Dabei ist <math>\nu</math> der <math>n</math>-dimensionale Normalen-Einheitsvektor und die Integrale sind jetzt <math>n</math>- beziehungsweise <math>(n-1)</math>-dimensional, wobei die Größe <math>\operatorname{div} F</math> auch als <math>\nabla\cdot F</math> geschrieben wird. Wählt man
:<math>\omega = F_1 \mathrm{d} x_2 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x_n + F_2 \mathrm{d} x_3 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x_n \wedge \mathrm{d} x_1 + \ldots + F_n \mathrm{d}x_1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x_{n-1}</math>
so ergibt sich der gaußsche Integralsatz aus dem stokesschen.

Man kann diesen Satz auch zur Definition der [[Divergenz eines Vektorfeldes]] benutzen, wobei diese Definition unabhängig von den benutzten Koordinaten ist.

=== Klassischer Integralsatz von Stokes ===
[[Datei:Stokes' Theorem.svg|mini|'''Zum klassischen Satz von Stokes''': Dargestellt ist die (gekrümmte) Fläche <math>\Sigma</math>, deren Randkurve <math>\partial \Sigma</math> (angedeutet durch die Pfeile) und der Normalenvektor <math>n</math> (im Text <math>\nu</math> genannt).]]
[[Datei:SS-stokes.jpg|mini|links|100px|[[George Gabriel Stokes|George Stokes]]]]
[[Datei:Kelvin-1200-scale1000.jpg|mini|links|100px|[[William Thomson, 1. Baron Kelvin|William Thomson]] (Lord Kelvin)]]

Der '''klassische Integralsatz von Stokes''' ist auch als '''Satz von Kelvin-Stokes''' oder '''Rotationssatz''' bekannt. Er findet bei Physikern und Elektrotechnikern Anwendung vor allem im Zusammenhang mit den Maxwell-Gleichungen. Er besagt, dass ein Flächenintegral über die [[Rotation eines Vektorfeldes]] in ein geschlossenes Kurvenintegral über die Tangentialkomponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Dies ist hilfreich, da das Kurvenintegral das Vektorfeld allein enthält und in der Regel einfacher zu berechnen ist als Flächenintegrale, zumal dann, wenn die betrachtete Fläche gekrümmt ist. Darüber hinaus sind die Kurvenintegrale in vielen Anwendungen unmittelbar betroffen – und erst in zweiter Linie die zugehörigen Flächenintegrale –, zum Beispiel beim faradayschen [[Induktionsgesetz]]. Ist speziell <math>\partial \Sigma </math> ''gegeben'', so führt die Tatsache, dass viele verschiedene Mannigfaltigkeiten <math>\Sigma</math> in eine einzige geschlossene Randmannigfaltigkeit <math>\partial \Sigma</math>  „eingezwängt“ werden können, zur [[Eichtheorie|Eichinvarianz]] von Theorien wie der von [[James Clerk Maxwell|Maxwell]].

==== Aussage ====
Es sei <math>V \subset \R^3</math> eine offene Teilmenge des dreidimensionalen Raumes und <math>F \colon V \to \R^3</math> ein auf <math>V</math> definiertes einmal stetig differenzierbares Vektorfeld. Dies wird gefordert, damit der Ausdruck <math>\operatorname{rot}(F)</math> gebildet werden kann. Weiter sei <math>\Sigma \subset V</math> eine in <math>V</math> enthaltene zweidimensionale [[reguläre Fläche]], die durch ein [[Einheitsnormale#Normalenvektoren von Kurven und Flächen|Einheitsnormalenfeld]] <math>\mathbf\nu</math> orientiert ist (das heißt, es sei definiert, was die „Oberseite“ der Fläche ist). Außerdem sei <math>\tau</math> der Tangenteneinheitsvektor der Randkurve. Mit der Eigenschaft ''regulär'' wird sichergestellt, dass der Rand hinreichend glatt ist.

Der Rand von <math>\Sigma</math> wird mit <math>\partial \Sigma</math> bezeichnet. Im Folgenden wird dieser Rand <math>\partial \Sigma</math> stets mit einer geschlossenen Kurve identifiziert. Mit all diesen Voraussetzungen gilt

:<math> \int_\Sigma \langle \operatorname{rot}\, F, \mathbf\nu \rangle \,\mathrm{d} S = \oint_{\partial \Sigma} \langle F, \mathbf\tau\rangle \,\mathrm{d} s</math>.

In den Anwendungen schreibt man auch
:<math>\iint_{\Sigma\,\subset \,\mathbb R^3}\mathrm{rot}(F) \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \oint_{\partial\Sigma} F\cdot\mathrm d r</math>

mit <math>\mathrm d \vec{S}= \nu\,\mathrm{d}S</math> und <math> \mathrm d r= \tau\,\mathrm{ds}</math>. Ferner sind <math>\operatorname{rot} F</math> die Rotation und <math>\langle V_1, V_2\rangle</math> (beziehungsweise <math>V_1\cdot V_2</math>) das [[Skalarprodukt]] der zwei Vektoren <math>V_1, V_2</math>. Die Form <math>\mathrm{d}S</math> ist die [[Volumenform]] der zweidimensionalen Fläche <math>\Sigma</math> und <math>\mathrm ds</math> ist das Längenelement der Randkurve.

==== Anmerkungen ====
In dem Fall, dass <math>\Sigma</math> eine [[Flache Mannigfaltigkeit|flache Teilmenge]] darstellt, gilt in geeigneten Koordinaten <math>\mathrm dS\equiv\mathrm{d} x \mathrm{d}y</math>. Ist <math>\Sigma</math> nicht flach, so lässt sich unter der Voraussetzung, dass sich die zweidimensionale Fläche mit der Parametrisierung
:<math>r(u,v)_{\,|i}=\{x(u,v), \,\,y(u,v), z(u,v)\}_{\,|i}</math> mit <math>a_{\,i}\le u\le b_{\,i}\,\,,c_{\,i}\le v\le d_{\,i}\,, i=1,\ldots,N</math>
in <math>N</math> Segmente zerlegen lässt, die Volumenform für festes <math>i</math> durch
:<math>\textstyle \mathrm dS\equiv\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\right )^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}-\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}\right )^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}\right )^2\,}\mathrm du\mathrm dv</math>
berechnen. Auch der Vektor <math>\nu</math> lässt sich analog berechnen, und zwar ist <math>\nu</math> der aus den drei Komponenten des [[Vektorprodukt]]s <math>\boldsymbol a=\tfrac{\partial r}{\partial u} \times \tfrac{\partial r}{\partial v}</math> gebildete Einheitsvektor, das heißt
:<math>a_1=\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v},\ a_2=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v},\ a_3=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}</math>.

==== Beispiel ====
Es sei <math>\Sigma</math> eine als [[Normalgebiet]] bezeichnete flache Mannigfaltigkeit, welche den Anforderungen des Satzes genügt, und das Vektorfeld <math>F</math> gegeben durch <math>\,F = (v_1, v_2, 0)</math>. Das Einheitsnormalenfeld <math>\nu</math> sei gegeben durch <math>\,\nu = (0 , 0 , 1)\,.</math> Dann gilt
:<math>\langle \operatorname{rot} F , \nu \rangle = \frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}.</math>
Nach dem Satz von Stokes gilt
:<math>\oint_{\partial \Sigma} \langle F, \tau \rangle \,\mathrm{d} s = \iint_\Sigma \langle \operatorname{rot} \,F, \nu \rangle \,\mathrm{d} S = \iint_\Sigma\left( \frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y} \right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.</math>
Dieses Beispiel zeigt, dass der [[Satz von Green]] ein Spezialfall des stokesschen Integralsatzes ist.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]
|Titel=Analysis. ''Band 3''
|Auflage=2.
|Verlag=Birkhäuser Verlag
|Ort=Basel u. a.
|Datum=2008
|ISBN=978-3-7643-8883-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Königsberger]]
|Titel=Analysis. ''Band 2''
|Auflage=4. überarbeitete
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2002
|ISBN=3-540-43580-8}}
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer, New York NY u. a., 2. Aufl. 2012, ISBN 978-1-44199981-8.
* [[Hans Grauert]], [[Ingo Lieb]]: ''Differential- und Integralrechnung.'' Band 3: ''Integrationstheorie. Kurven- und Flächenintegrale, Vektoranalysis'' (= ''Heidelberger Taschenbücher'' 43). 2. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08383-9.

[[Kategorie:Satz (Differentialgeometrie)|Stokes, Satz von]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]
[[Kategorie:George Gabriel Stokes als Namensgeber]]

Satz von Stokes - Versionsgeschichte

imported>Sokrates 399: Typografie.