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2023-06-09T11:51:36Z

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Der '''Satz von Silver''', benannt nach [[Jack Silver]], ist ein Satz aus der [[Mengenlehre]], der sich mit möglichen Verallgemeinerungen der [[Kontinuumshypothese]] befasst.
Die [[verallgemeinerte Kontinuumshypothese]] ist von den üblichen Axiomen der Mengenlehre, das heißt von [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]], unabhängig, man kann sie also dort weder beweisen noch widerlegen.
Der hier zu besprechende Satz liefert eine Einschränkung für die Ungültigkeit der verallgemeinerten Kontinuumshypothese; er besagt, dass die kleinste [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]], für die die verallgemeinerte Kontinuumshypothese falsch ist, keine [[singuläre Kardinalzahl]] mit [[Überabzählbarkeit|überabzählbarer]] [[Konfinalität]] sein kann. Dieses Resultat war überraschend, Silver selbst schreibt<ref>Jack Silver: ''On the singular cardinals problem'', Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Band 1, Seiten 265–268, Canad. Math. Congress, Montreal, {{Webarchiv|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/ICM1974.1.ocr.pdf |wayback=20131113045006 |text=hier online verfügbar }} (PDF; 56,8 MB)</ref>:

::''This result is contrary to the previous expectations of nearly all set-theorists, including myself. (deutsch: Dieses Ergebnis widerspricht den früheren Erwartungen fast aller Mengentheoretiker, einschließlich meiner selbst.)''

Die Beweismethoden führen auch zu einem Satz über die [[singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese]], der ebenfalls als Satz von Silver bekannt ist.

== Formulierung ==
Die [[verallgemeinerte Kontinuumshypothese]] besagt, dass <math>2^\kappa = \kappa^+</math> für ''alle'' unendlichen Kardinalzahlen <math>\kappa</math> gilt. Dabei ist <math>2^\kappa</math> die Kardinalität der [[Potenzmenge]] einer Menge der Kardinalität <math>\kappa</math> und <math>\kappa^+</math> die Nachfolgerkardinalzahl von <math>\kappa</math>. Der folgende Satz sagt, dass die Eigenschaft <math>2^\kappa = \kappa^+</math> für gewisse Kardinalzahlen erhalten bleibt, wenn sie bereits für alle kleineren gilt.

'''Satz von Silver''':<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory'', Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 8.12</ref> Ist <math>\kappa</math> eine singuläre Kardinalzahl mit <math>\operatorname{cf} \kappa > \aleph_0</math> und gilt <math>2^\lambda = \lambda^+</math> für alle unendlichen Kardinalzahlen <math>\lambda < \kappa</math>, so gilt auch <math>2^\kappa = \kappa^+</math>.

Dabei ist <math>\operatorname{cf} \kappa</math> die [[Kofinalität]] von <math>\kappa</math> und <math>\aleph_0</math> die [[Aleph-Funktion|erste unendliche Kardinalzahl]].

Die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese sagt, dass <math>\kappa^{\operatorname{cf}\kappa} = \kappa^+</math> (''siehe auch [[Gimel-Funktion]]'') für singuläre Kardinalzahlen <math>\kappa</math> mit <math>2^{\operatorname{cf}\kappa}<\kappa</math> gilt.
Sie ist ebenfalls unabhängig von ZFC und sie folgt aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese, ist also schwächer als diese. Für die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt der folgende Satz:

'''Satz von Silver'''<ref>Thomas Jech: ''Set Theory'', Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 8.13</ref>: Die Singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt bereits dann, wenn sie für alle singulären Kardinalzahlen mit abzählbarer Kofinalität gilt.

== Zum Beweis ==
Beide Sätze verwenden ein Lemma über die Fortsetzung der Eigenschaft <math>\kappa^{\operatorname{cf}\kappa} = \kappa^+</math> in dem Sinne, dass wenn diese Gleichung für hinreichend viele kleinere Kardinalzahlen als <math>\kappa</math> gilt, dann gilt sie auch für <math>\kappa</math>. Genauer wird folgende technische Aussage bewiesen:

Es seien <math>\kappa</math> eine singuläre Kardinalzahl mit <math>\operatorname{cf} \kappa > \aleph_0</math> und <math>(\kappa_\alpha)_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa}</math> eine mit [[Ordinalzahl]]en indizierte aufsteigende Folge von Kardinalzahlen, so dass gilt
# <math>\lambda^{\operatorname{cf} \kappa} < \kappa</math> für alle <math>\lambda < \kappa</math>
#<math>\textstyle \lim_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa} \kappa_\alpha = \kappa</math> (das ist äquivalent zu <math>\textstyle \sup_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa}\kappa_\alpha = \kappa</math>)
#<math>\textstyle \sup_{\alpha < \beta}\kappa_\alpha = \kappa_\beta</math> für alle [[Limes-Ordinalzahl]]en <math>\beta < \operatorname{cf} \kappa</math> (solche Folgen heißen normal)
#Die Menge <math>\{\alpha<\operatorname{cf} \kappa; \kappa_\alpha^{\operatorname{cf} \kappa_\alpha} = \kappa_\alpha^+\}</math> ist [[Stationäre Menge|stationär]] in <math>\operatorname{cf} \kappa</math>
Dann gilt <math>\kappa^{\operatorname{cf}\kappa} = \kappa^+</math>.

Auf den Beweis dieses Lemmas verzichten wir, aber es soll kurz erläutert werden, wie sich daraus der Satz von Silver über die Kontinuumshypothese ergibt:

Es sei also <math>\kappa</math> eine singuläre Kardinalzahl mit <math>\operatorname{cf} \kappa > \aleph_0</math> und es gelte <math>2^\lambda = \lambda^+</math> für alle Kardinalzahlen <math>\lambda < \kappa</math>. Zur Anwendung obigen Lemmas wählen wir eine beliebige normale Folge <math>(\kappa_\alpha)_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa}</math> mit Limes <math>\kappa</math>, die es nach Definition der Kofinalität gibt, und überprüfen der Reihe nach die Voraussetzungen des Lemmas.

Zu 1. beachte, dass <math>\lambda < \lambda^{\operatorname{cf}\lambda} \le \lambda^\lambda = 2^\lambda = \lambda^+</math> für alle <math>\lambda < \kappa</math>, wobei der Reihe der [[Satz von König (Mengenlehre)|Satz von König]], Monotonie-Eigenschaften der Potenz von Kardinalzahlen, [[Kardinalzahlarithmetik]] und die vorausgesetzte Kontinuumshypothese für alle kleineren Kardinalzahlen verwendet wurden. Aus dieser Ungleichungskette ergibt sich <math>\lambda^{\operatorname{cf}\lambda} = \lambda^+</math> für alle Kardinalzahlen <math>\lambda < \kappa</math>. Dann gilt auch <math>\lambda^{\operatorname{cf}\kappa} < \kappa</math> für alle <math>\lambda<\kappa</math>, denn die Potenz kann wegen der vorausgesetzten Kontinuumshypothese für alle Kardinalzahlen <math><\kappa</math> höchstens gleich <math>\max\{\lambda, \operatorname{cf}\kappa\}^+ \le \kappa</math> sein, aber Gleichheit kann nicht gelten, da <math>\kappa</math> als singuläre Kardinalzahl keine Nachfolgerkardinalzahl ist.
Die Voraussetzungen 2. und 3. gelten nach Wahl der normalen Folge <math>(\kappa_\alpha)_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa}</math>.
Zu 4. beachte, dass im Nachweis von 1. die Gleichung <math>\lambda^{\operatorname{cf}\lambda} = \lambda^+</math> für alle Kardinalzahlen <math>\lambda < \kappa</math> festgestellt wurde. Daher gilt <math>\{\alpha<\operatorname{cf} \kappa; \kappa_\alpha^{\operatorname{cf} \kappa_\alpha} = \kappa_\alpha^+\} \supset \{\lambda;\lambda <\operatorname{cf}\kappa\}</math>, woraus sich die Stationarität in <math>\operatorname{cf}\kappa</math> ergibt.

Damit sind alle Voraussetzungen des Lemmas erfüllt, und es folgt <math>\kappa^{\operatorname{cf}\kappa} = \kappa^+</math>.
Da <math>\kappa</math> als singuläre Kardinalzahl eine Limes-Kardinalzahl ist, gilt <math>2^\kappa = (2^{<\kappa})^{\operatorname{cf} \kappa}</math> (siehe [[Kardinalzahlarithmetik]]) und wegen der Voraussetzung über <math>\kappa</math> ist <math>\textstyle 2^{<\kappa} := \sup_{\lambda < \kappa}2^\lambda = \sup_{\lambda < \kappa}\lambda^+ = \kappa</math>, insgesamt also <math>2^\kappa = \kappa^{\operatorname{cf} \kappa} = \kappa^+</math>, was den Beweis beendet.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)|Silver, Satz von]]

Satz von Silver - Versionsgeschichte

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