imported>Jule Glühwurm: Die letzte Textänderung von Weiße Ziege wurde verworfen und die Version 223563927 von Ernsts wiederhergestellt. Siehe auch [Wikipedia:Assoziative Verweise]

2025-06-10T10:38:21Z

Die letzte Textänderung von Weiße Ziege wurde verworfen und die Version 223563927 von Ernsts wiederhergestellt. Siehe auch [Wikipedia:Assoziative Verweise]

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Der '''Satz von [[Arthur Sard|Sard]]''', auch als '''Lemma von Sard''' oder '''Satz von Morse–Sard''' bekannt, ist eine Grundlage der [[Differentialtopologie]], und dort der [[Morse-Theorie]], sowie der [[Transversalitätssatz|Transversalitätstheorie]] bis hin zur Klassifizierung der [[Keim (Mathematik)|Keime]] [[Differenzierbarkeit|differenzierbarer Abbildungen]] in der [[Singularitätentheorie]] bzw. der [[René Thom|thomschen]] [[Katastrophentheorie (Mathematik)|Katastrophentheorie]].

Dieser Satz macht eine Aussage über das [[Maß (Mathematik)|Maß]] der [[Menge (Mathematik)|Menge]] der kritischen Werte einer [[Differentialrechnung|differenzierbaren]] Abbildung zwischen zwei [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]]. Dabei nennt man einen Wert genau dann kritisch, wenn er Bild eines [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischen Punktes]] ist. Für [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en gibt es zwar im Allgemeinen keine sinnvolle Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes, der Begriff der [[Lebesgue-Maß|Lebesgue]]-[[Nullmenge]]n kann dennoch sinnvoll übertragen werden: Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und <math>C\subset M</math>, dann heißt <math>C</math> eine [[Nullmenge#Differenzierbare Mannigfaltigkeiten|Lebesgue-Nullmengen]], wenn für jede [[Atlas (Mathematik)|Karte]] <math>h \colon U\rightarrow V</math> mit <math>V \subset \R^n</math> die Menge <math>h\left(C \cap U\right)</math> eine Lebesgue-Nullmenge in <math>\R^n</math> ist.<ref name="broecker_jaenich">{{Literatur |Autor=[[Theodor Bröcker]], [[Klaus Jänich]] |Hrsg= |Titel=Einführung in die Differentialtopologie |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=143 |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg u. a. |Datum=1990 |ISBN=3-540-06461-3 |Kapitel=§ 6. Der Satz von Sard, Definition 6.3 |Seiten=58–59 |Kommentar=Korrigierter Nachdruck. Mit „differenzierbar“ ist hier immer <math>C^{\infty}</math> gemeint.}}</ref>

Der Satz von Sard besagt, dass die kritischen Werte einer Abbildung <math>f \colon M\to N</math> zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Lebesgue-Nullmengen sind, falls die Abbildung aus <math>C^r(M, N)</math> ist, also <math>r</math>-mal stetig differenzierbar ist, für ein <math>r > \max(0, \dim(M)-\dim(N))</math>.

Spezialfälle davon sind:
* Ist <math>f \colon \R \to \R</math> eine differenzierbare Funktion, so hat die Menge <math>\{f(x)\mid f'(x)=0\}</math> der kritischen Werte Maß <math>0</math>.
* Eine [[Untermannigfaltigkeit]] kleinerer Dimension hat stets Maß 0, beispielsweise der [[Funktionsgraph|Graph]] einer differenzierbaren Funktion <math>\R \to \R</math> als [[Teilmenge]] von <math>\R^2</math>.
* Eine differenzierbare Abbildung <math>f \colon M \to N</math> zwischen zwei Mannigfaltigkeiten kann für <math>\dim(M) < \dim(N)</math> nicht [[Surjektivität|surjektiv]] sein.

Für Abbildungen vom <math>\R^m</math> in den <math>\R^n</math> wurde der Satz 1942 von [[Arthur Sard]] bewiesen, wodurch er den drei Jahre früher von [[Anthony Morse]] gezeigten Spezialfall <math>n=1</math> verallgemeinern konnte.

== Literatur ==
* [[Arthur Sard|A. Sard]]: ''The measure of the critical values of differentiable maps.'' Bull. Amer. Math. Soc. 48, (1942). 883–890.
* M. Golubitsky, [[Victor Guillemin|V. Guillemin]]: ''Stable Mappings and Their Singularities'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 14). Springer-Verlag, New York NY u. a. 1973, ISBN 0-387-90073-X.
* Victor Guillemin, Alan Pollack: ''Differential Topology.'' Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ 1974, ISBN 0-13-212605-2.
* [[Morris W. Hirsch]]: ''Differential Topology'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 33). Springer-Verlag, New York NY u. a. 1976, ISBN 0-387-90148-5.
* [[Michel Demazure]]: ''Catastrophes et Bifurcations.'' Editions Marketing, Paris 1989, ISBN 2-7298-8946-9 (französisch), (Englisch: ''Bifurcations and Catastrophes. Geometry of Solutions to Nonlinear Problems.'' Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-52118-6).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Differentialtopologie)|Sard]]

Satz von Sard - Versionsgeschichte

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