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2025-07-05T14:31:17Z

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[[Datei:Satz von Rolle (1).svg|mini|450px|Ist eine reellwertige Funktion <math>f</math> mit <math>f(a)=f(b)</math> stetig auf <math>[a,b]</math> und differenzierbar auf <math>(a,b)</math>, so gibt es ein <math>x_0\in(a,b)</math>, so dass <math>f'(x_0)=0</math> gilt.]]

Der '''Satz von Rolle''' (benannt nach dem französischen [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Michel Rolle]]) ist ein zentraler Satz der [[Differentialrechnung]]. Er besagt anschaulich, dass eine differenzierbare Funktion, die an zwei Stellen denselben Wert annimmt, an zumindest einer dazwischenliegenden Stelle eine Steigung von null bzw. eine waagerechte Tangente hat.

Der Satz hat vor allem theoretische Bedeutung und wird häufig benutzt, um den [[Mittelwertsatz der Differentialrechnung|Mittelwertsatzes der Differentialrechnung]] zu beweisen.

== Geschichte ==
Rolle formulierte das nach ihm benannte Theorem 1691 (in seiner Schrift ''Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalitéz de tous les dégrez''), allerdings nur für Polynome und rein algebraisch.<ref name="cajori">{{Literatur |Autor=[[Florian Cajori]] |Titel=On Michel Rolle's book “Méthode pour resoudre les égalitez” and the history of “Rolle's theorem” |Sammelwerk=Bibliotheca Mathematica |Datum=1911 |Seiten=300–313}}</ref> Benannt wurde der Satz nach Rolle 1834 von [[Moritz Wilhelm Drobisch]],<ref>{{Literatur |Autor=Moritz Wilhelm Drobisch |Titel=Grundzüge der Lehre von den höheren numerischen Gleichungen |Verlag=Verlag Leopold Voß |Ort=Leipzig |Datum=1834 |Seiten=179}}</ref> 1860 von [[Giusto Bellavitis]] und 1868 in der deutschen Ausgabe von [[Joseph Serret|Serret]]s Vorlesungen über [[Infinitesimalrechnung]] (Band 1, S. 216).<ref name="cajori"/>

Der [[Mittelwertsatz der Differentialrechnung]] wurde erstmals von [[Joseph Louis Lagrange]] (1797) und erneut von [[Augustin Louis Cauchy]], veröffentlicht 1823 in seinen Vorlesungen über Infinitesimalrechnung (Calcul infinitésimal, Vorlesung 7), bewiesen. Einen expliziten Zusammenhang mit dem Satz von Rolle zog erst [[Pierre Ossian Bonnet]], dargestellt in den Vorlesungen über Infinitesimalrechnung von [[Joseph Serret]] 1868 (wobei er Rolle nicht erwähnt).<ref name="cajori" /> Ein Vorläufer des Satzes von Rolle wurde im astronomischen Werk von [[Bhaskara II.]] im 12. Jahrhundert formuliert.

== Aussage ==
Ist <math>f \colon [a,b]\to\R</math> eine [[stetige Funktion]], die im offenen Intervall <math>(a,b)</math> [[differenzierbar]] ist und für die <math>f(a) = f(b)</math> gilt, so gibt es eine Stelle <math>x_0\in(a,b)</math> mit
:<math>f '(x_0) = 0</math>.

== Visualisierungen ==
<gallery widths="300" heights="200">
Datei:Satz von Rolle2.svg|Funktion, die ein Minimum innerhalb des Definitionsbereichs hat. Dort ist die Ableitung gleich null.
Datei:Satz von Rolle3.svg|Die Funktion <math>f</math> besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Maximum und kein Minimum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
Datei:Satz von Rolle4.svg|Die Funktion <math>f</math> besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Minimum und kein Maximum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
Datei:Satz von Rolle5.svg|Wenn die Funktion konstant ist, dann ist die Ableitung überall gleich null.
</gallery>

== Beweis ==
Da <math>f</math> über dem kompakten Intervall <math>[a, b]</math> stetig ist, nimmt sie (nach dem [[Satz vom Minimum und Maximum]]) an einer Stelle <math>m\in[a,b]</math> ein Minimum und an einer Stelle <math>M\in[a, b]</math> ein Maximum an. Ist <math>f</math> nicht konstant, so muss wegen <math>f(a) = f(b)</math> mindestens <math>m\in(a,b)</math> oder <math>M\in(a,b)</math> gelten. Diese Extremalstelle sei mit <math>x_0</math> bezeichnet. Ist <math>f</math> konstant, so ist <math>x_0=\frac{a+b}2</math> eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls <math>(a,b)</math>.

Ist die innere Extremalstelle <math>x_0</math> eine '''Maximalstelle''', so folgt aus der [[Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math>, dass
:<math>f'(x_0)=\lim_{h\searrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\leq 0</math>
:<math>f'(x_0)=\lim_{h\nearrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\geq 0</math>
Somit ist <math>f'(x_0)=0</math>.

Ist <math>x_0</math> eine '''Minimalstelle''' von <math>f</math>, so ist <math>x_0</math> eine Maximalstelle von <math>-f</math> und wir erhalten <math>-f'(x_0)=0</math> und somit <math>f'(x_0)=0</math>.

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Rolle}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Satz von Rolle|Beweisarchiv: Satzes von Rolle}}
{{Commonscat|Rolle's theorem|Satz von Rolle}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis|Rolle, Satz von]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Rolle, Satz von]]

Satz von Rolle - Versionsgeschichte

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