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2024-11-06T21:28:21Z

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Der '''Satz von Riemann-Roch''' (nach dem Mathematiker [[Bernhard Riemann]] und seinem Schüler [[Gustav Roch]]) ist eine zentrale Aussage der Theorie [[Kompakter Raum|kompakter]] [[Riemannsche Fläche|riemannscher Flächen]]. Er gibt an, wie viele linear unabhängige [[meromorph]]e Funktionen mit vorgegebenen Null- und Polstellen auf einer kompakten riemannschen Fläche existieren. Der Satz wurde später auf [[algebraische Kurve]]n über beliebige Körper ausgedehnt, noch weiter verallgemeinert und wird auch in der aktuellen Forschung noch weiterentwickelt.

== Divisor ==
{{Hauptartikel|Divisor}}

Um Null- und Polstellen einer Funktion an bestimmten Stellen vorschreiben zu können, wird der Begriff ''Divisor'' eingeführt. Sei <math>X</math> eine riemannsche Fläche. Eine Funktion <math>D \colon X \rightarrow \mathbb{Z}</math> heißt ''Divisor'', falls sie nur an [[Isolierter Punkt|isolierten Punkten]] von null verschieden ist.

Der Divisor einer [[meromorph]]en Funktion <math>f:X \rightarrow \mathbb{P}^1</math> in die riemannsche Sphäre wird mit <math>(f)</math> bezeichnet und ist so definiert, dass jedem Punkt <math>x \in X</math> die Null- bzw. Polstellenordnung von <math>f</math> in <math>x</math> zugeordnet wird:

<math>\left(f\right)(x) := \begin{cases} 0, & f \mbox{ holomorph und ungleich null in } x \\
k, & f \mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung } k \mbox{ in } x \\
-k, & f \mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung } k \mbox{ in } x \\
\infty, & f \mbox{ verschwindet in einer Umgebung von } x \end{cases}</math>

Damit ist der Divisor einer Funktion tatsächlich ein Divisor nach der ersten Definition, wenn die Funktion auf jeder Zusammenhangskomponente von <math>X</math> von der [[Nullfunktion]] verschieden ist. Für eine meromorphe [[1-Form]] <math>\omega</math> auf <math>X</math> wird der Divisor <math>(\omega)</math> wie bei einer Funktion definiert. Ein Divisor <math>D</math> heißt '''kanonischer Divisor''', wenn er sich als Divisor einer meromorphen 1-Form <math>(\omega)</math> schreiben lässt, also wenn <math>D = (\omega)</math>.

Für eine kompakte riemannsche Fläche ist der Grad eines Divisors <math>D</math> definiert durch <math>\textstyle \deg D := \sum_{x \in X} D(x)</math>. Die Summe ist endlich, da aufgrund der Kompaktheit der Träger aus isolierten Punkten eine endliche Menge sein muss.

== Aussage über riemannsche Flächen ==

Sei <math>X</math> eine kompakte riemannsche Fläche vom [[Geschlecht (Fläche)|topologischen Geschlecht]] <math>g \in \mathbb{N}_0</math> und <math>D</math> ein Divisor auf <math>X</math>. Dann gilt:

: <math>\ell(D) - \ell(K-D) = \deg D + 1 - g</math>

<math>K</math> steht für einen beliebigen [[Kanonischer Divisor|kanonischen Divisor]] auf <math>X</math>.
<math>\ell(E)</math> bezeichnet für einen Divisor <math>E</math> die Dimension des <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraums <math>L(E)</math> der meromorphen Funktionen auf <math>X</math>, deren Null- und Polstellen durch den Divisor wie folgt eingeschränkt werden:
: <math>L(E) := \left\{ f : X \rightarrow \mathbb{P}^1 \mbox{ meromorph} \,|\, \left(f\right)(x) \geq -E(x) \; \forall \, x \in X \right\}</math>

== Aussage über algebraische Kurven ==

Für nicht-singuläre projektive algebraische Kurven <math>X</math> über einem algebraisch abgeschlossenen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> wird der Satz von Riemann-Roch üblicherweise mit Hilfe der [[Kohomologietheorie]] formuliert.

Er lautet dann:

: <math>\dim_K H^0\left(X, \mathcal{O}_X\right) - \dim_K H^1\left(X, \mathcal{O}_X\right) = 1 - g</math>

<math>\mathcal{O}_X</math> ist die [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] der regulären Funktionen auf <math>X</math>. Anstelle des topologischen Geschlechts tritt das [[Geschlecht (algebraische Kurve)|arithmetische Geschlecht]] der Kurve, welches im Falle <math>K = \mathbb{C}</math> mit dem topologischen zusammenfällt. Der [[Dualitätssatz von Serre]] besagt, dass die Formulierung im Falle <math>K = \mathbb{C}</math> mit der des Abschnitts über riemannsche Flächen übereinstimmt.

== Konsequenzen ==

* Als ein erstes Klassifikationsresultat folgt sofort, dass jede riemannsche Fläche vom Geschlecht <math>0</math> isomorph ist zur riemannschen Sphäre <math>\mathbb{P}^1</math>, insbesondere kann also auf der Sphäre <math>{S}^2</math> nur eine einzige holomorphe Struktur definiert werden. Für nicht-singuläre projektive Kurven vom Geschlecht <math>0</math> gilt entsprechend, dass sie birational äquivalent zu <math>\mathbb{P}^1</math> sind.
* Die [[Formel von Riemann-Hurwitz]] über das Abbildungsverhalten [[Holomorphe Funktion|holomorpher Funktionen]] zwischen zwei kompakten riemannschen Flächen bzw. über das Abbildungsverhalten von Morphismen zwischen zwei nicht-singulären projektiven Kurven.
* Ein Einbettungssatz: Jede kompakte riemannsche Fläche bzw. jede nicht-singuläre projektive Kurve kann in den [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] <math>\mathbb{P}^3</math> eingebettet werden.

== Weitere Verallgemeinerungen ==

* [[Satz von Riemann-Roch-Hirzebruch]]
* [[Satz von Riemann-Roch-Grothendieck]]
* [[Atiyah-Singer-Indexsatz]]

== Literatur ==

* [[Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'' (= ''Heidelberger Taschenbücher'' 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: ''Lectures on Riemann Surfaces'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
* [[Robin Hartshorne]]: ''Algebraic Geometry'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 0-387-90244-9.
* [[Klaus Lamotke]]: ''Riemannsche Flächen.'' Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-57053-5.
*[https://eudml.org/doc/223239 Jeremy Gray, The Riemann-Roch theorem and geometry, 1854-1914], ICM Berlin 1998, Documenta Mathematica, 1998, S. 811–822

[[Kategorie:Satz (Komplexe Geometrie)|Riemann-Roch]]
[[Kategorie:Satz (Algebraische Geometrie)|Riemann-Roch]]
[[Kategorie:Bernhard Riemann als Namensgeber]]

Satz von Riemann-Roch - Versionsgeschichte

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